數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-關(guān)于均值不等式的探討

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　關(guān)于均值不等式的探討</p><p>　　DISCUSSION ON INEQUALITY</p><p>　　學(xué)院（部）： 理學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)07-1</p><p>

2、;　　學(xué)生姓名： </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　2011年 6 月 8 日</p><p>　　關(guān)于均值不等式的探討</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　均值不等式是高二教材的一個(gè)教學(xué)內(nèi)容

3、,理解掌握均值不等式,研究均值不等式所得相關(guān)結(jié)果,用解決最值問題、不等式證明以及實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,具有極為重要的意義。</p><p>　　關(guān)鍵詞　均值不等式，最值，應(yīng)用</p><p>　　DISCUSSION ON INEQUALITY</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>

4、;　　Inequality is a sophomore course content materials, understand and grasp the mean value inequality, inequality of income related to the mean results, to address the most value problems, inequalities and matheatical ap

5、plication of real-life problems, is extremely important.</p><p>　　KEYWORDS：inequality ，the most value，the value of application</p><p><b>　　朗讀</b></p><p>　　顯示對(duì)應(yīng)的拉丁字符的拼音&l

6、t;/p><p><b>　　字典</b></p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　關(guān)于均值不等式的探討I</p><p>　　DISCUSSION ON INEQUALITYII</p><p>　　1、淺談均值不等式及類型1</p>

7、<p>　　1.1 淺談均值不等式1</p><p>　　1.1.1　均值不等式是攻破最值問題的有力武器1</p><p>　　1.1.2　均值不等式用于不等式的證明2</p><p>　　1.1.3　均值不等式的拓展及其相關(guān)結(jié)論2</p><p>　　1.1.4　均值不等式的應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣和認(rèn)知投入

8、4</p><p>　　1.2 試談運(yùn)用均值不等式的待定系數(shù)法“套路”5</p><p>　　1.3 運(yùn)用均值不等式解題的變形技巧8</p><p>　　1.4 利用均值不等式求最值的技巧10</p><p>　　2．均值不等式錯(cuò)例及“失效”時(shí)的對(duì)策15</p><p>　　2.1 均值不等式應(yīng)用錯(cuò)例

9、分析15</p><p>　　2.2用“均值不等式”求最值忽視條件致錯(cuò)舉例17</p><p>　　2.3均值不等式求最值“失效”時(shí)的對(duì)策19</p><p>　　3．均值不等式的推廣及應(yīng)用24</p><p>　　3.1均值不等式的推廣24</p><p>　　3．2應(yīng)用均值不等式的推廣證不等式29<

10、;/p><p>　　3.3均值不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用33</p><p>　　3.4均值不等式在一類數(shù)列收斂證明中的應(yīng)用37</p><p>　　3.5例說利用均值不等式解應(yīng)用問題40</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)42</b></p><p><b>　　謝辭43<

11、/b></p><p>　　1、淺談均值不等式及類型</p><p>　　1.1 淺談均值不等式</p><p>　　人民教育出版社出版的全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)第二冊(cè)第六章第二節(jié)說明,如果a、b是正數(shù),那么≥ ab,當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取“ = ”號(hào)。即兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。這個(gè)不等式,我們通常把它稱為均值不等式。對(duì)均值不等式的深刻

12、理解和掌握,弄清楚其運(yùn)用條件,便能在解題中快速找到突破口,進(jìn)而找到正確解決問題的方法。</p><p>　　1.1.1　均值不等式是攻破最值問題的有力武器</p><p>　　對(duì)均值不等式認(rèn)真觀察分析知道,若兩個(gè)正數(shù)的積為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),它們的和有最小值;若兩個(gè)正數(shù)的和為常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)它們相等時(shí),它們的積有最大值。最值問題在此便略有體現(xiàn)。經(jīng)研究后,歸納出3個(gè)用均值不等式求最值問題

13、的適用條件。條件一:在所求最值的代數(shù)式中,各變數(shù)都是正數(shù),否則變號(hào)轉(zhuǎn)換;條件二:各變數(shù)的和或積要為常數(shù),以確保不等式的一端為定值,否則執(zhí)行拆項(xiàng)或添項(xiàng)變形;條件三:各變數(shù)必須有相等的可能。一個(gè)題目同時(shí)滿足上述三個(gè)條件,或者可以變形成適合以上條件的,便可用均值不等式求,這就幫助學(xué)生在解題時(shí)迅速找到了突破口,從而找到正確方法,快速簡(jiǎn)易地求最值。下面舉出一些實(shí)例。</p><p>　　例1:代數(shù)式的最小值是_————&l

14、t;/p><p><b>　　解: ==1=3</b></p><p><b>　　故的最小值是3。</b></p><p>　　例2:若0 < x < 2,則函數(shù)f ( x) = 的最大值是————.</p><p>　　解: 　f ( x) = ≤=4，故f ( x)的最大值是4<

15、/p><p>　　例3:求函數(shù)y =的值域</p><p>　　解: ，故函數(shù)的值域?yàn)閇 4, + ∞) 。</p><p>　　例4:已知a > 0, b > 0, a + b = 1,求代數(shù)式的最小值</p><p><b>　　解:</b></p><p>　　故滿足條件的代數(shù)式的最

16、小值是9。</p><p>　　例5:過點(diǎn)P (2, 1)作直線L交X , Y軸正向于A, B 兩點(diǎn), 求L的方程,使三角形AOB 的面積最小。</p><p>　　解:設(shè)直線L的方程為y - 1 = k ( x - 2) , L 與x軸交點(diǎn)為( a, 0) , L 與y軸交點(diǎn)為(0, b) ,其中a > 0, b > 0, k < 0.則，, b = 1 - 2k　　于

17、是 </p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)= - 4k,即k = - 時(shí),三角形AOB 的面積的最小值為4.</p><p>　　故L的方程為y - 1 = - ( x - 2)</p><p>　　1.1.2　均值不等式用于不等式的證明</p><p>　　一般不等式的證明,常?？紤]比較法、綜合法、分析法,這是高中比較常用的方法,但有些不等式運(yùn)用上

18、述方法不好入手,故考慮均值不等式或者均值不等式與綜合法相結(jié)合,這樣處理,常常使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,從而達(dá)到證明的目的。下面舉兩個(gè)例子予以說明。</p><p>　　例6:已知a, b, c為互不相等的正數(shù),且abc = 1求證: </p><p>　　證明: 　故原不等式得證</p><p><b>　　例7:證: </b></p>

19、<p>　　證明: 由均值不等式得 ， </p><p>　　以上三式相加,得　 原不等式得證。 </p><p>　　1.1.3　均值不等式的拓展及其相關(guān)結(jié)論</p><p>　　1.1.3. 1　均值不等式的拓展</p><p>　　以上所談均值不等式,都是針對(duì)兩個(gè)正數(shù)而言,推廣到任意的n個(gè)正數(shù)ai ( i = 1, 2?

20、n)也有均值不等式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào),在中學(xué)教材中,大都是用兩個(gè)正數(shù)的均值不等式,有時(shí)也用三個(gè)正數(shù)的均值不等式,其不等式形式為:已知a, b, c為正數(shù),則,該式的證明在高二教材第24頁(yè)有說明,其應(yīng)用條件仍與兩個(gè)正數(shù)的均值不等式的三個(gè)條件相同。有些問題,表面只給出兩個(gè)正數(shù),需要巧妙地拆開部分項(xiàng),形成三個(gè)或者三個(gè)以上的正數(shù),才能湊成這些正數(shù)的“和”或“積”為定值,再用多個(gè)正數(shù)的均值不等式求解。下面舉兩個(gè)例子說明。</p>&

21、lt;p>　　例8:若x∈ ,求的最小值。</p><p>　　解：所以 最小值為6。</p><p>　　例9:已知xy > 0= 2,求的最小值,并求x, y的值。</p><p><b>　　解：</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng),即y = 2x時(shí),上式取等號(hào)。故取最小值是3。</p>

22、<p>　　由 解得即當(dāng)x = 1, y = 2時(shí), 取得最小值3</p><p>　　1.1.3. 2　研究均值不等式所得相關(guān)結(jié)果</p><p>　　對(duì)a > 0, b > 0,作進(jìn)一步研究,顯然有,又由于等價(jià)的均值不等式 因此,對(duì)于a > 0, b > 0,有三個(gè)重要結(jié)論:</p><p>　?、??、?; 　③ <

23、;/p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí),上面三式取等號(hào),這三個(gè)式子雖然是由均值不等式推廣而得,但掌握并應(yīng)用于解題之中,有時(shí)候比均值不等式更有效,起到事半功倍的效果。下面舉幾個(gè)例子予以說明:</p><p>　　例10:已知a≥0, b≥0, a + b = 1,求代數(shù)式的最大值</p><p><b>　　解:由②得。</b></p>

24、<p>　　故滿足條件的最大值是。</p><p>　　例11:已知a > b > 0,求的最小值。</p><p><b>　　解:由①式得, </b></p><p>　　所以,故的最小值是16。</p><p>　　例12:若a + b + c = 1,且a, b, c∈ ,求的最小值。&

25、lt;/p><p>　　解:由③式得 所以 ≥=</p><p>　　例13:一段長(zhǎng)為L(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大的面積是多少?</p><p>　　解:設(shè)矩形的長(zhǎng)為x,則寬為，于是,菜園面積為:</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)x =L - x,即時(shí)取等號(hào)。這時(shí)寬為故這個(gè)菜園的長(zhǎng)為,寬

26、為時(shí),菜園面積最大,最大面積是</p><p>　　1.1.4　均值不等式的應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的興趣和認(rèn)知投入</p><p>　　本人在這個(gè)內(nèi)容的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生思維,讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并相互探討,尋求以上例題的解法,直接或變形后運(yùn)用均值不等式及其相關(guān)結(jié)果,學(xué)生感到很輕松,非常感興趣,并能自覺或不自覺地用聯(lián)系和理解的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),不是依賴于死記硬背的方法,對(duì)完成學(xué)習(xí)任務(wù)有一種愉快的

27、感覺,學(xué)生在領(lǐng)會(huì)知識(shí)方面具有一定的獨(dú)立性,能夠舉一反三,觸類旁通,充分體現(xiàn)了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的熱情投入,這一良性循環(huán),對(duì)今后的學(xué)習(xí),對(duì)素質(zhì)的培養(yǎng),將具有深遠(yuǎn)的影響。</p><p>　　總之,對(duì)均值不等式的學(xué)習(xí)研究,理解掌握和運(yùn)用,對(duì)數(shù)學(xué)問題的解答,對(duì)實(shí)際生活和生產(chǎn)實(shí)際中應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的處理,對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和素質(zhì)的培養(yǎng),都具有極為重要的意義。</p><p>　　1.2 試談運(yùn)用均值不

28、等式的待定系數(shù)法“套路”</p><p>　　不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容, 均值不等式是不等式進(jìn)行變形的一個(gè)重要依據(jù), 在應(yīng)用時(shí)不僅要牢記三個(gè)條件“正、定、等”, 而且要善于根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件,利用待定系數(shù)法湊定值是常用的解題技巧, 本文舉例說明.</p><p>　　例1 　已知常數(shù)a , b都是正數(shù),變量x 滿足0 <x < 1. 求的最小值

29、.</p><p>　　解　設(shè)m > 0 ,則由1 = x + (1 - x) 及題設(shè)知0 < x < 1 ,0 < 1 - x < 1 ,且m = m[ x + (1 - x) ]= mx + m(1 - x) ,</p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　其中當(dāng)且僅當(dāng)&l

30、t;/b></p><p>　　即時(shí)取等號(hào).由 解得,即</p><p>　　從而 .移項(xiàng)得: ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).</p><p><b>　　故所求最小值為.</b></p><p>　　例2 　已知a > 0 , b > 0 ,且a + b = 1 ,求的最小值.</p><

31、p>　　解　設(shè)m > 0 ,則由題設(shè)及均值不等式可知: (1)</p><p>　　(1) 式當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).又,即</p><p><b>　　,亦即 (2)</b></p><p>　　顯然(1) , (2) 同時(shí)取等號(hào)的充要條件是 解之得m = 16. 代入(1) 得:</p><p>&

32、lt;b>　　.</b></p><p>　　故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取到最小值.</p><p>　　例3 　若a,且a + b = 1. 求證: </p><p>　　證明　設(shè)m > 0 ,則.由均值不等式得.</p><p>　　∴ (1)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).</p><p>　　同理可得:

33、 (2)其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).</p><p>　　顯然(1) , (2) 同時(shí)取等號(hào)的充要條件是.由于a + b = 1 , 故可解得</p><p>　　將m = 1 代入(1) , (2) ,并將兩式相加得</p><p><b>　　即.</b></p><p>　　例4 　已知a > 0 , b >

34、 0 ,且a + b = 1. 求證: .</p><p>　　證明　設(shè)m > 0 , 則由題設(shè)及均值不等式可得: (1)</p><p>　　(1) 式當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)取等號(hào).</p><p>　　同理可得 (2)</p><p>　　(2) 式當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).</p><p>　　再由題設(shè)及均值

35、不等式可得:. ∴ (3)</p><p>　　(3) 式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).</p><p>　　于是(1) , (2) , (3) 同時(shí)取等號(hào)的條件是. ∴.</p><p>　　將分別代入(1) 式, (2) 式可得.</p><p><b>　　兩式相乘得: </b></p><p>　

36、　. </p><p><b>　　故</b></p><p>　　例5 　(第42 屆IMO 試題) 已知a > 0 , b > 0 ,c > 0 ,求證: </p><p>　　證明　∵a > 0 , b > 0 , c > 0 ,.為了脫掉根號(hào),設(shè)M > 0 ,且 (1)

37、 而 ,故 (2)</p><p>　　比較(1) , (2) , 令, 則可得,代入(2) 得: .∴. 又 , 故 (3)</p><p>　　同理可得: (4) (5)</p><p>　　由(3) , (4) , (5) 相加知: .<

38、;/p><p>　　思考題1 　已知 ,且a + b + c = 1.求證: . (提示:1)可利用 ;2) 可推知. )</p><p>　　思考題2 　已知a + b + c = 1 , 求 的最大值. (答案: . )</p><p>　　1.3 運(yùn)用均值不等式解題的變形技巧</p><p>　　利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊“ 定和”和“

39、定積”，此時(shí)往往需要采用“ 拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、平衡系數(shù)”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來求解，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，收到事半功倍的效果!</p><p><b>　　1.3.1 拆項(xiàng)</b></p><p>　　例1（原人教版課本習(xí)題）已知n>0, 求證：</p><p>　　證明：因?yàn)閚>0，所以 當(dāng)且僅當(dāng)n=2 時(shí)等號(hào)成立!<

40、/p><p><b>　　1.3.2 拆冪</b></p><p>　　(1993年全國(guó)高考題）如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)為定值，那么圓柱體積的最大值（）</p><p>　　A． B. C. D. </p><p>　　解 設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則2h+4r= ，即</p><p&g

41、t;　　所以 ，故選 A.</p><p><b>　　1.3.3 升冪</b></p><p><b>　　設(shè)，求的最大值.</b></p><p>　　解 因?yàn)?，所以?，所以 所以當(dāng)且僅當(dāng)即tanx=時(shí)等號(hào)成立，故.</p><p>　　1.3.4 整體代換</p><

42、;p>　　例4 已知，且x+2y=1，求證：</p><p>　　證明：因?yàn)椋瑇+2y=1，所以. 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.</p><p>　　1.3.5 平衡系數(shù)</p><p>　　用總長(zhǎng)14.8米的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5米，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積!</p>&

43、lt;p>　　解 設(shè)容器底面短邊長(zhǎng)為x 米，則另一邊長(zhǎng)為x+0.5 米，并設(shè)容積為y ，其中容器的高為，0<x<1.6，</p><p><b>　　從而</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)，這時(shí)，所以，高為1.2米時(shí)容積最大，最大容積為1.8.</p><p>　　1.3.6 分離取倒數(shù)</p&

44、gt;<p><b>　　求函數(shù)的最大值.</b></p><p><b>　　解 </b></p><p><b>　　因?yàn)椋?所以</b></p><p>　　所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)，故</p><p><b>　　1.3.7 換元

45、</b></p><p><b>　　求函數(shù)的最大值.</b></p><p>　　解 令，則， 當(dāng)t=0時(shí)，y=0;</p><p>　　當(dāng)t>0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).</p><p>　　所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取最大值.</p><p>　　總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一

46、定要注意“一正二定三等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，靈活運(yùn)用均值不等式.</p><p>　　1.4 利用均值不等式求最值的技巧</p><p>　　均值不等式 ( a > 0 , b > 0 , 當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)等號(hào)成立) 是一個(gè)重要的不等式,利用它可以求解函數(shù)最值問題. 對(duì)于有些題目,可以直接利用公式求解. 但有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用,下面是一些常用的變形技

47、巧.</p><p><b>　　1.5.1 　配湊</b></p><p><b>　　1) 湊系數(shù)</b></p><p>　　例1 　當(dāng)0 < x < 4 時(shí),求 = x (8 - 2 x) .</p><p>　　解析　由0 < x < 4 , 有8 - 2 x &g

48、t; 0 , 利用均值不等式求最值,必須和為定值或積為定值,此題為2 個(gè)式子的積的形式,但其和不是定值. 注意到2 x + (8 - 2 x) = 8 為定值,故只需將y = x (8 - 2 x) 湊上一個(gè)系數(shù)即可.</p><p>　　,當(dāng)且僅當(dāng)2 x = 8 - 2 x 即x = 2 時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)x = 2時(shí), y = x (8 - 2 x) 的最大值為8.</p><p>　　

49、點(diǎn)評(píng)　本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解,但湊上系數(shù)后即可得到和為定值, 就可利用均值不等式求得最大值.</p><p><b>　　2) 湊項(xiàng)</b></p><p>　　例2 　已知 ,求函數(shù)的最大值.</p><p>　　解析　由已知4 x - 5 < 0 ,首先調(diào)整符號(hào),因?yàn)椴皇嵌ㄖ?故需對(duì)4 x - 2 進(jìn)行湊項(xiàng)得到定值. 因?yàn)?所

50、以5 - 4 x > 0 ,</p><p>　　.當(dāng)且僅當(dāng)即x = 1 時(shí)等號(hào)成立.</p><p>　　點(diǎn)評(píng)　本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào),又要配湊項(xiàng)的系數(shù),使其積為定值.</p><p><b>　　3) 　分離</b></p><p><b>　　例3 　求的值域.</b></p>

51、<p>　　解析　本題看似無法運(yùn)用均值不等式, 如將分子配方湊出( x + 1) ,再將其分離.</p><p><b>　　.</b></p><p>　　當(dāng)x + 1 > 0 ,即x > -1 時(shí), (當(dāng)且僅當(dāng)x = 1 時(shí)取“ = ”號(hào)) .</p><p>　　當(dāng)x + 1 < 0 ,即x < -

52、1 時(shí),(當(dāng)且僅當(dāng)x = - 3 時(shí)取“= ”號(hào)) .</p><p>　　故所求的值域?yàn)? - ∞,1 ] ∪[9 , + ∞) .</p><p>　　點(diǎn)評(píng)　分式函數(shù)求最值,通常化成 ( A > 0 , m > 0 , g ( x) 恒正或恒負(fù)) 的形式,然后運(yùn)用均值不等式來求.</p><p><b>　　鏈接練習(xí)</b>&l

53、t;/p><p>　　1. 某公司一年購(gòu)買某種貨物400 t ,每次都購(gòu)買x t ,運(yùn)費(fèi)為4 萬元/ 次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4 x 萬元. 要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x = ＿t .</p><p>　　2. 若a、b、c > 0 且a( a + b + c) + bc = ,則2 a + b + c的最小值為( 　　) .</p><p>　　A

54、　 ; 　　B ; C 　 ; 　　D </p><p>　　3. 已知 、 為雙曲線的2 個(gè)焦點(diǎn), P 為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn), O為坐標(biāo)原點(diǎn). 下面4 個(gè)命題中真命題的代號(hào)是＿(寫出所有真命題的代號(hào)) .</p><p>　　A 　 的內(nèi)切圓的圓心必在直線x = a 上;</p><p>　　B 　 的內(nèi)切圓的圓心必在直線x = b 上;</

55、p><p>　　C 　 的內(nèi)切圓的圓心必在直線O P 上;</p><p>　　D 　 的內(nèi)切圓必通過點(diǎn)( a ,0) .</p><p>　　4. 設(shè)a > 0 , b> 0 ,則下列不等式中不恒成立的是( 　　) .</p><p>　　A ; 　 B ;</p><p><b>　　C ;

56、 D</b></p><p>　　5. 已知平面上點(diǎn) ,求滿足條件的點(diǎn)P 在平面上所組成的圖形面積.</p><p><b>　　鏈接練習(xí)提示及答案</b></p><p>　　1. 20. (提示:可知共購(gòu)買次,所求即取最小值時(shí)x 的值,由均值不等式, ,當(dāng)且僅當(dāng) ,即x = 20 時(shí)取到. )</p>&

57、lt;p>　　2. D. 提示:由a( a + b + c) + bc = ,得( a + b) ( a + c) =</p><p><b>　　,則 .</b></p><p>　　3. A. 提示: 如圖3 , 設(shè)</p><p>　　的內(nèi)切圓與各邊交點(diǎn)是A 、B 、C,有 , , ,結(jié)合雙曲線的第一定義,有 , 即 , 由圓M

58、 與x軸相切, 設(shè)M ( m, n) , 則m = a , 即的內(nèi)心M 恒在直線x =a 上.</p><p>　　4. B. 提示:可證選項(xiàng)A、C、D 都是正確的,也可舉反例確定B不恒成立,如a = 3 , b = 4 ,則 ,而.</p><p>　　5. 動(dòng)點(diǎn) 在圓上,又 = 4 ,故點(diǎn)P的軌跡是到原點(diǎn)的距離不小于2 且不大于6 的點(diǎn)的集合,圖形實(shí)際是一個(gè)圓環(huán)面,可得所求面積是32π

59、.</p><p>　　1.5.2　整體代換</p><p>　　例4 　已知a > 0 , b > 0 , a + 2b = 1 ,求的最小值.</p><p><b>　　解析　</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ = ”號(hào).</p><p>　　由 ,得,即時(shí),的最小值為

60、.</p><p>　　點(diǎn)評(píng)　本題巧妙運(yùn)用“1”的代換,得到,而與的積為定值,即可用均值不等式求得的最小值.</p><p><b>　　1.5.3 　換元</b></p><p>　　例5 　求函數(shù)的最大值.</p><p>　　解析　變量代換,令 ,則 ( t ≥0) ,則,當(dāng)t = 0 時(shí), y = 0 ,當(dāng)t &

61、gt; 0 時(shí), , 當(dāng)且僅當(dāng), 即 時(shí)取“= ”號(hào), 所以時(shí), .</p><p>　　點(diǎn)評(píng)　本題通過變量代換,使問題得到了簡(jiǎn)化,而且將問題轉(zhuǎn)化成熟悉的分式型函數(shù)的最值問題,從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)設(shè)有利條件.</p><p><b>　　1.5.4　取平方</b></p><p>　　例6 　求函數(shù) 的最大值.</p><p

62、>　　解析　注意到2 x - 1 與5 - 2 x 的和為定值,</p><p><b>　　.</b></p><p>　　又y > 0 ,所以,當(dāng)且僅當(dāng)2 x - 1 = 5 -2 x ,即 時(shí)取“ = ”號(hào),所以</p><p>　　點(diǎn)評(píng)　本題將解析式2 邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用均值不等式創(chuàng)造了條件.</p>

63、;<p>　　總之,我們利用均值不等式求最值時(shí),一定要注意“一正二定三相等”,同時(shí)還要注意一些變形技巧,積極創(chuàng)造條件利用均值不等式.</p><p><b>　　鏈接練習(xí)</b></p><p>　　1. 當(dāng)0 < x < 2 時(shí),求 的最大值.</p><p>　　2. 求函數(shù) 的最小值.</p>&l

64、t;p>　　3. 求函數(shù)的最小值.</p><p>　　4. 已知x > 0 , y > 0 ,且,求x + y 的最小值.</p><p>　　5. 已知a > 0 , b > 0 , c > 0 ,且a + b + c = 1 ,求證:.</p><p><b>　　鏈接練習(xí)參考答案</b></p&

65、gt;<p>　　1. ; 　2. 5 ; 　3. 8 ; 　4. 4/ 9 ;</p><p>　　5. 提示: , , 三式相乘即可.</p><p>　　2．均值不等式錯(cuò)例及“失效”時(shí)的對(duì)策</p><p>　　2.1 均值不等式應(yīng)用錯(cuò)例分析</p><p>　　均值不等式在初等數(shù)學(xué)中有著非常重要而廣泛的應(yīng)用, 然而學(xué)生

66、往往對(duì)均值不等式“一正, 二定, 三相等”這個(gè)條件理解不透或運(yùn)用不慎, 出現(xiàn)下面常見的錯(cuò)誤。</p><p>　　2.1.1 漏記“一正”條件致誤</p><p>　　例1: 求函數(shù)的值域。在均值不等式a其中, </p><p><b>　　錯(cuò)解: </b></p><p>　　故得結(jié)論: y∈[4,+∞)</p&

67、gt;<p>　　上述解法中, 僅僅具備了相等、定值這兩個(gè)條件, 是否均為正數(shù)呢? 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)? - ∞, 0)U( 0, +∞) , 顯然, “一正”條件不夠充分的情況下, 貿(mào)然使用均值不等式, 得出不完全正確的結(jié)論。所以在運(yùn)用公式前, 應(yīng)先檢查公式的條件是不是已滿足, 若不滿足, 應(yīng)創(chuàng)造條件應(yīng)用公式或改用其它途徑去解決問題。</p><p>　　解: 當(dāng)x>0 時(shí), 可以滿足“一正

68、, 二定, 三相等”可得y≥4</p><p>　　當(dāng)x<0 時(shí), 可知f(x)是奇函數(shù), 由奇函數(shù)的性質(zhì)可得y≤- 4所以原函數(shù)的值域?yàn)? - ∞, - 4)U[4, +∞)</p><p>　　2.1.2、疏忽都相等致誤</p><p>　　例2: 已知a>0 b>0 a+b=1 求函數(shù)的最小值。</p><p><

69、;b>　　錯(cuò)解: </b></p><p>　　故, S 取得最大值8</p><p>　　根據(jù)均值不等式取等號(hào)的充分必要條件是每個(gè)數(shù)皆相等, 否則:</p><p>　　則: 2a=b,2b=a,從而a=b=0 這與已知a>0, b>0,a+b=1 相矛盾, 所以 事實(shí)上: </p><p>　　其中等號(hào)在

70、時(shí)取到。故當(dāng)a=b=時(shí), S 取得最小值9。</p><p>　　例3: 用總長(zhǎng)14.8m 的鋼條制作長(zhǎng)方體容器框架, 如果所制作容器框架的底邊的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 米, 當(dāng)長(zhǎng)方體的高為多少時(shí), 容器的容積最大? ( 2002 年數(shù)學(xué)高考題)</p><p><b>　　錯(cuò)解: 設(shè)則 </b></p><p><b>　　∴ 是定值

71、</b></p><p>　　∴長(zhǎng)方體容器最大值為3.7 立方米</p><p>　　事實(shí)上, x+0.5=3.2- 2x=x, 在這樣的等式下x 值是不存在的, 所以,結(jié)果為錯(cuò)誤的。但作適當(dāng)系數(shù)調(diào)整就滿足“相等”這個(gè)條件。</p><p>　　是定值 且3x=2x+1=8- 5x 的值存在, 為x=1, 則高為1.2 時(shí), 長(zhǎng)方體容器容積最大立方米。&

72、lt;/p><p>　　例4: 三棱錐, S-ABC 的例棱, SC與底面垂直,SA=SB=a AB=2.SC求此三棱錐體積V 的最值。</p><p>　　錯(cuò)解: 如圖所示, 設(shè)AB 中點(diǎn)為D, 連結(jié)CD, 令A(yù)B=2x,則SC=X 顯然AC=BC ∴CD 是等腰三角形ABC 底邊上的高,</p><p><b>　　即: </b></p

73、><p>　　當(dāng) 即時(shí), 三棱錐體積V 取得最大值, V 最</p><p><b>　　大</b></p><p>　　這里得出的結(jié)果是對(duì)的, 但推理的依據(jù)卻是錯(cuò)的。原因在于忽略了 不是定值這一點(diǎn)。即不滿足‘一正, 二定, 三相等, 這個(gè)條件。</p><p><b>　　解: </b></p&

74、gt;<p>　　而是定值。可見當(dāng)即時(shí)三棱錐體積V 取得最大值。</p><p>　　以上例子分析, 在使用均值定理時(shí)一定要搞清楚, 只有在“一正,二定, 三相等”都同時(shí)具備時(shí)方能使用公式, 否則得出的結(jié)論不可靠,甚至是錯(cuò)誤的結(jié)論。以上幾例僅是均值不等式應(yīng)用中的幾種常見錯(cuò)誤, 僅供老師們?cè)诮虒W(xué)中參考使用, 以引導(dǎo)學(xué)生找出錯(cuò)誤所在, 并且弄清產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因, 從而提高糾正錯(cuò)誤和正確應(yīng)用均值不等式的能力

75、。</p><p>　　2.2用“均值不等式”求最值忽視條件致錯(cuò)舉例</p><p>　　用“ 均值不等式”求最值是求最值問題中的一個(gè)重要方法, 也是高考考查的一項(xiàng)重要內(nèi)容, 運(yùn)用這種方法有三個(gè)條件:(1)正; (2)定; (3)相等。在此運(yùn)用過程中, 往往需要對(duì)相關(guān)對(duì)象進(jìn)行適當(dāng)?shù)胤糯?、縮小, 或不等式之間進(jìn)行傳遞等變形, 在此過程中, 學(xué)生常常因?yàn)楹鲆晽l件成立而導(dǎo)致錯(cuò)誤, 而且錯(cuò)誤不易察

76、覺。</p><p>　　2.2.1 忽視均值不等式中的各項(xiàng)為“ 正”致錯(cuò)</p><p><b>　　例1 求的值域。</b></p><p><b>　　錯(cuò)解因?yàn)樗?lt;/b></p><p>　　評(píng)注雖然的積是常數(shù), 但x- 1 不一定是正數(shù), 因此解法是錯(cuò)誤的。</p><

77、p>　　正確解當(dāng)x>1 時(shí), , 當(dāng)且僅當(dāng), 即x=2 時(shí)等號(hào)成立; 當(dāng)x<1 時(shí), , 所以y≤- 1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)取 等號(hào),所以原函數(shù)的值域?yàn)?lt;/p><p>　　2.2.2 忽視均值不等式中的等號(hào)成立條件致錯(cuò)</p><p><b>　　例2 求的最小值。</b></p><p>　　錯(cuò)解, 所以y 的最小值是

78、2。</p><p>　　評(píng)注在y≥2 中, 當(dāng)且僅當(dāng), 即, 這是不可能的, 所以等號(hào)不成立,故y 的最小值不是2。</p><p>　　正確解 因, 令, 則(t≥2), 易證在[2,+∞)上遞增,所以y 的最小值是, 當(dāng)且僅當(dāng)t=2 時(shí), 即, x=0, 取“ =”號(hào)。</p><p>　　例3 若正數(shù)x、y 滿足2x+y=1, 求的最小值。</p&g

79、t;<p>　　錯(cuò)解 因, 于是, 故的最小值是。</p><p>　　評(píng)注這里中, 當(dāng)且僅當(dāng)2x=y 時(shí)取“ =”號(hào)。而中, 當(dāng)且僅當(dāng), 即x=y 時(shí)取“ =”號(hào), 這兩個(gè)式子不可能同時(shí)成立, 因此不是的最小值。</p><p><b>　　正確解, </b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)(此時(shí))取“ =”號(hào), 故

80、的最小值是。</p><p>　　例4 實(shí)數(shù)x、y、m、n 滿足, 且, 求的最大值。</p><p>　　錯(cuò)解 因, </p><p>　　所以, 故的最大值是。</p><p>　　評(píng)注 這里兩次用到了均值不等式, 當(dāng)且僅當(dāng)m=x 且n=y 時(shí)取“ =”號(hào), 于是, 即與已知矛盾,

81、 因此等號(hào)不成立, 故的最大值不是.</p><p>　　正確解, 所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“ =”號(hào)。故的最大值是 (本題也可用三角代換解。)</p><p>　　2.2.3 忽視均值不等式中的定值致錯(cuò)。</p><p>　　例5 若正數(shù)x、y 滿足x+2y=6, 求xy 的最大值。</p><p>　　錯(cuò)解: , 當(dāng)且僅當(dāng)x=y 且x+2y=

82、6, 即x=y=2 時(shí)取“ =”號(hào), 將其代入上式, 可得xy 的最大值為4。</p><p>　　評(píng)注 初看起來, 很有道理, 其實(shí)在用均值不等式求最值時(shí), 在各項(xiàng)為正的前提下, 應(yīng)先考慮定值, 再考慮等號(hào)是否成立。但在中, x+y 不是定值, 所以xy 的最大值不是4 .</p><p>　　正確解因, 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y 時(shí)(此時(shí))取“ =”號(hào), 所以.</p>&l

83、t;p>　　在教學(xué)過程中, 這些錯(cuò)誤屢見不鮮, 為解決這個(gè)問題, 筆者認(rèn)為, 不妨采用“ 挫折”教育, 如例題出示后, 不加任何啟發(fā), 讓學(xué)生大膽嘗試, 積極探索, 對(duì)出現(xiàn)的每一個(gè)問題, 不必急于評(píng)價(jià), 而放手讓學(xué)生討論, 反思和質(zhì)疑, 讓他們自己在辨析中總結(jié)規(guī)律, 在“ 挫折”中形成知識(shí), 深刻思維。這樣經(jīng)過多次反復(fù), 會(huì)收到良好的效果。</p><p>　　2.3均值不等式求最值“失效”時(shí)的對(duì)策<

84、/p><p>　　運(yùn)用均值不等式是求最值的一種常用方法, 但由于其約束條件苛刻, 不少同學(xué)在使用時(shí)往往顧此失彼,從而導(dǎo)致均值不等式“失效”. 下面例說幾種常用的處理策略.</p><p>　　2.3.1 化負(fù)為正</p><p>　　例1 　已知0 < x < 1 ,求的最大值.</p><p>　　分析　本題滿足 為定值,但因?yàn)?&

85、lt; x < 1 , lgx < 0 , 所以此時(shí)不能直接應(yīng)用均值不等式,需將負(fù)數(shù)化正后再使用均值不等式.</p><p>　　解　∵0 < x < 1 , ∴l(xiāng)gx < 0 , - lgx > 0 ,</p><p>　　∴ , 即y ≤- 4. 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立, 故</p><p>　　2.3.2 　平衡系數(shù)<

86、;/p><p>　　例2 　求y = x(1 - 2x) 的最大值.</p><p>　　分析　x +(1 - 2 x) 不是定值,但可通過平衡系數(shù)來滿足和為定值.</p><p>　　解　 . 當(dāng)且僅當(dāng)2 x = 1 - 2 x ,即時(shí)等號(hào)成立. 故</p><p><b>　　2.3.3 　添項(xiàng)</b></p&g

87、t;<p>　　例3 　已知a > b > 0 , 求的最小值.</p><p>　　分析　不是定值,但可通過添項(xiàng)、減項(xiàng)來滿足積為定值.</p><p>　　解　. 當(dāng)且僅, 即a = 8 ,b = 4時(shí)等號(hào)成立. 故.</p><p><b>　　2.3.4 　拆項(xiàng)</b></p><p>　

88、　例4 　已知0 < x < π, 求的最小值.</p><p>　　分析　本題雖有為定值,但不可能成立. 故可通過拆項(xiàng)來滿足等號(hào)成立的條件.</p><p>　　解　y = sin x +</p><p>　　4. 當(dāng)且僅當(dāng)且,即sin x = 1 時(shí)等號(hào)成立. 故</p><p><b>　　2.3.5 　平方<

89、;/b></p><p>　　例5 　已知θ為銳角,求的最大值.</p><p>　　分析　本題直接使用均值不等式比較困難, 但通過平方便可使用.</p><p>　　解　,即,當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)等號(hào)成立. 故.</p><p><b>　　2.3.6 　分離</b></p><p>　　例6

90、　(2004 年高考·湖北卷) 已知, 則 有( 　　)</p><p>　　(A) 最大值 (B) 最小值 (C) 最大值1. (D) 最小值1.</p><p>　　分析　本題看似無法使用均值不等式, 但對(duì)函數(shù)式進(jìn)行分離,便可創(chuàng)造出使用均值不等式的條件.</p><p>　　解　. 當(dāng)且僅, 即x = 3 時(shí)等號(hào)成立. 故選(D) .</p&

91、gt;<p><b>　　2.3.7 　乘1</b></p><p>　　例7 　已知x > 0 , y > 0 , ,求x + y 的最小值.</p><p>　　分析　若直接運(yùn)用均值不等式, 則需使用兩次均值不等式,即由,得xy≥16 ,再由,得x + y ≥8 ,但此時(shí)兩次均值不等式中等號(hào)成立的條件不一致,從而x + y ≥8 中等號(hào)不

92、能成立. 但若將x + y 乘1 ,則只需使用一次均值不等式即可.</p><p>　　解　當(dāng)且僅當(dāng),且 ,即x = 3 , y = 6時(shí)等號(hào)成立,故</p><p>　　2.3.8 　取倒數(shù)</p><p>　　例8 　已知x > 0 ,a ,b 為正常數(shù), 求 的最大值.</p><p>　　解析　 , 當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立.故&l

93、t;/p><p>　　2.3.9 　三角代換</p><p>　　例9 　求 的最小值.</p><p>　　分析不是定值,但由0 < x < 2 可用三角代換來創(chuàng)造積為定值.</p><p>　　解　∵0 < x < 2 , ∴可設(shè) ,</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,故</p&g

94、t;<p>　　2.3.10 　整體代換</p><p>　　例10 　已知a ，b, c 為△A B C 的三邊長(zhǎng),求的最小值.</p><p>　　分析　本題似乎不能運(yùn)用均值不等式, 但通過整體代換便可創(chuàng)造出使用均值不等式的條件.</p><p>　　解　令b + c - a = x , c + a - b = y , a + b - c = z

95、,則x , y , z > 0 ,且, , .</p><p><b>　　∴</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)x = y = z 即a = b = c 時(shí)等號(hào)成立. 故.</p><p>　　評(píng)注　通過換元, 把陌生的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為重要不等式的形式,證題思路自然流暢.</p><p>　　2.3.11 　對(duì)偶代換

96、</p><p>　　例11 　已知,且x + 2 y = 1 ,求的最小值.</p><p>　　證明　∵, x + 2 y = 1 , ∴ 可設(shè), ,則</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng), 即 , , 時(shí)等號(hào)成立. 故的最小值為.</p><p>　　2.3.12 　公差代換</p><p>　　例12 　若a ,

97、 b 是正實(shí)數(shù), 且a + b = 1 , 求 的最小值.</p><p>　　解　∵a + b = 1 , ∴a , , b 是等差數(shù)列,設(shè)公差為d ,則,</p><p>　　∴∴ d = 0 即a = b =時(shí), 有最小值9.</p><p>　　2.3.13　用向量</p><p>　　例13 　已知 , ,求ax + by的最大值

98、.</p><p>　　分析　直接運(yùn)用均值不等式時(shí),等號(hào)成立的條件為a = x 且b = y ,從而 ,即4 = 9 ,顯然等號(hào)不能成立,故不能直接運(yùn)用均值不等式, 但此時(shí)利用向量則可迅速求出最值.</p><p>　　解法1 　令m = ( a , b) , n = ( x , y) , 則由內(nèi)積的性質(zhì)m ·n ≤| m| ·| n| ,得ax + by ≤6 ,當(dāng)且

99、僅當(dāng)m與n 同向即時(shí)等號(hào)成立,故ax + by 的最大值為6.</p><p>　　本題也可用柯西不等式求解.</p><p>　　解法2 　由柯西不等式 ,得</p><p>　　,即| ax + by| ≤6 ,故ax + by 的最大值為6.</p><p>　　2.3.14 　用函數(shù)的單調(diào)性</p><p>　

100、　例14 　求函數(shù)的最小值.</p><p>　　分析　直接運(yùn)用均值不等式 時(shí), 等號(hào)成立的條件為, 即, 無解, 所以等號(hào)不可能成立. 故不能直接用均值不等式求最小值,需另辟蹊徑,可利用函數(shù)的單調(diào)性解決.</p><p>　　解　設(shè),則 .易證函數(shù)在t ∈[ 2 , + ∞) 上是增函數(shù), ∴ t = 2 即x = 0 時(shí), </p><p>　　2.3.1

101、5　運(yùn)用放縮</p><p>　　例15 　求函數(shù) 在x ∈[ 1 , +∞) 上的最小值.</p><p>　　分析　此題看似無法使用均值不等式, 但可運(yùn)用兩次放縮便可達(dá)到求解目的.</p><p>　　解　.以上兩個(gè)“ ≥”號(hào)中“= ”成立的條件都是x = 1. ∴ y 的最小值為- 2.</p><p>　　3．均值不等式的推廣及應(yīng)用&

102、lt;/p><p>　　3.1均值不等式的推廣</p><p><b>　　3.1.1 引言</b></p><p>　　均值不等式在不等式理論中處于核心地位,是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一.巧妙地應(yīng)用此不等式在求最值,比較大小,證明不等式等各方面都可得到較為理想的解法.均值不等式的推廣是均值不等式的延伸,也是解題的重要依據(jù)之一.</

103、p><p>　　定理A(均值不等式) 設(shè)為n 個(gè)正數(shù),則其算術(shù)平均,幾何平均與調(diào)和平均有: </p><p>　　引理(Jensen 不等式）若函數(shù)f在區(qū)間I上存在二階導(dǎo)數(shù),且</p><p>　　有f"(x)≥0,則有其中xi∈I,qi >0,i=1,2,…,n,且=1,當(dāng)且僅當(dāng)x1 q1=x2 q2=…=xnqn時(shí)等號(hào)成立;若f"(x)≤0

104、,不等式反號(hào).</p><p>　　3.1.2 主要結(jié)論</p><p>　　定理1 設(shè) ＞0， ＞0，i＝1，2，…，n,則</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；</p><p><b>　　(2)</b></p>

105、<p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。</p><p>　　證明 設(shè)f（x）＝lnx，x∈（0，+∞）,則f"（x）= <0,即f（x）=lnx 在x∈（0，+∞）內(nèi)是嚴(yán)格凸函數(shù).由>0,λi >0,i=1,2,…,n,且 (3)</p><p>　　由Jensen 不等式得 由y=lnx 的單調(diào)性知 </p><

106、p>　　由Jensen 不等式取等號(hào)的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.</p><p>　　由于 >0, >0,i=1,2,…,n 及(3)式,運(yùn)用Jensen 不等式得從而有</p><p>　　由Jensen 不等式取等號(hào)的條件知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.</p><p>　　注1:當(dāng) 時(shí),定理1 即為定理A(均值不等式) </p>

107、;<p>　　推論1 設(shè)>0, >0,i=1,2,…,n,則 (4)</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； （5）</p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立</b></p><p>　　證明 由, ＞0，i=1,2,…,n,及(1)得即</p><p>　　由定理1

108、知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.</p><p>　　由，i=1,2,…,n,及(2)得即</p><p>　　由定理1 知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立.推論1 得證</p><p>　　推論2 設(shè) ＞0， ＞0，i=1,2,…,n,且,則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；</p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.</b></p&

109、gt;<p>　　注2：當(dāng)q=1時(shí)，則有當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立</p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.</b></p><p>　　例1 試證對(duì)任意正數(shù)a，b，c,d，有</p><p>　　證明 在(4)中令n＝3,得</p><p>　　令 , , , , 得 </p>&

110、lt;p>　　例2 設(shè)n 為自然數(shù),n≥2, 試證</p><p>　　證明 由(5)得</p><p>　　?。絠，＝1 ，i＝1，2，…，n,由(6)得</p><p>　　又?。絠，＝1 ，i＝1，2，…，n,由(6)得</p><p><b>　　從而有</b></p><p>

111、　　例3 設(shè)n 為自然數(shù),n≥2,試證</p><p>　　證明 記上式的左端為 ,對(duì)任意p＞0,有</p><p><b>　　由(6)得令，得</b></p><p>　　3．2應(yīng)用均值不等式的推廣證不等式</p><p>　　文[1] 用列表法證明了算術(shù)—— 幾何平均數(shù)不等式的推廣.本文應(yīng)用均值不等式的推廣證明

112、一些不等式.為了閱讀方便，將均值不等式的推廣擇錄如下:</p><p>　　符號(hào) A =A()與Г=Г()分別表示非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù).</p><p>　　推廣 設(shè)由n行和k列組成的長(zhǎng)方形表中，全部填寫著非負(fù)實(shí)數(shù):第一行填寫 ;第二行填;第n行填寫、在每一行中計(jì)算幾何平均數(shù)并分別用 表示.在每一列中計(jì)算算術(shù)平均數(shù)并分別用 表示(表1).</p><p>

113、;　　則Γ()≥A() (*) (證明詳見文[1]).</p><p>　　特別 ，當(dāng) 長(zhǎng)方形表為nn 的正方形表時(shí)(如表2填寫法)，便得到;.因此≥.即(*)式是均值不等式的推廣.課程卷頻頻出現(xiàn)這類綜合題.</p><p>　　例6 由原點(diǎn)向曲線引切線，切于異于點(diǎn)的點(diǎn)，再由引此曲線的切線，切于不同于的點(diǎn)，如此繼續(xù)地作下去??，得到點(diǎn)</p><p><b

114、>　　(I )求;</b></p><p>　　(II )求與的關(guān)系;</p><p>　　(III )若 a>0，比較與a的大小，并加以證明.</p><p>　　解 (I)因?yàn)?所以切線的斜率為,而的斜率又為.于是=.因?yàn)?故 </p><p>　　(II)切線的斜率為,而直線的斜率又為</p>&l

115、t;p>　　.于是 = .整理得</p><p><b>　　但 所以=0</b></p><p>　　(III)設(shè),得,令得.故數(shù)列是以合為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.于是</p><p>　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), >0，故>a; 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), <0，故<a.</p><p>　　評(píng)注 :本題以曲

116、線的斜率為背景，以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為依托，通過方程思想建立數(shù)列的遞推關(guān)系，最終通過待定系數(shù)法求得等比數(shù)列的通項(xiàng)，為分類討論不等關(guān)系提供了依據(jù).</p><p>　　例1 (第二屆友誼杯國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)已知a，b，c > 0, 證明</p><p>　　證明:作3x2長(zhǎng)方形表:</p><p>　　由(*)式，得≥，即兩邊 平 方 ，整理得</p>

117、<p>　　例 2 ( 2001)年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克試題)證明:對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b ,。，均有</p><p>　　證明作 3x3正方形表：</p><p>　　由(*)式，得≥，即</p><p><b>　　兩邊立方，化簡(jiǎn)，得</b></p><p>　　例3(第 24屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)如果正數(shù)的和為1，

118、則</p><p>　　證明 作nx2長(zhǎng)方形表:</p><p><b>　　由(*)式，得</b></p><p>　　注意到，將上述不等式兩邊平方，整理，即得</p><p>　　例4 (2003年第64屆普特蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)和都是非負(fù)實(shí)數(shù).證明</p><p>　　證明 作2x n

119、長(zhǎng)方形表:</p><p><b>　　由（*）式得即</b></p><p>　　例5 (第36屆IMO試題)設(shè)a,b ,c為正數(shù)，且abc=1.試證</p><p>　　證明 作3x2長(zhǎng)方形表</p><p><b>　　由（*）式，得</b></p><p>　　注

120、意到abc=1，兩邊平方，整理，得 即</p><p>　　例6 (第39屆IMO備選題)已知，且xyz=1</p><p><b>　　求證 </b></p><p>　　證明 作3x3正方形表</p><p><b>　　由（*）式，得</b></p><p&

121、gt;<b>　　由均值不等式，得</b></p><p>　　注意到xyz=1，化簡(jiǎn)，得</p><p>　　例 7 (第31屆IMO備選題)設(shè)a,b ,c,d>0,且 ab+bc+cd+da=1。求證</p><p>　　證明 作4x2長(zhǎng)方形表:</p><p><b>　　由（*）式，得<

122、;/b></p><p>　　因?yàn)榇肷鲜阶蠖?，所以上述不等式兩邊平方，整理，?lt;/p><p>　　3.3均值不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　極限概念是高等數(shù)學(xué)中的重要概念， 極限理論是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論。高等數(shù)學(xué)中有許多重要的概念都是以極限形式來定義的。而極限概念是用不等式刻畫的。這就決定了不等式運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算之一， 因此作為

123、基本不等式之一的均值不等式在解決高等數(shù)學(xué)的問題中發(fā)揮著重要的作用。</p><p>　　3.3.1 證明重要極限的存在性。［ １］</p><p>　　證明：先證數(shù)列單調(diào)遞增。令，則由均值不等式</p><p>　　得即 所以數(shù)列單調(diào)遞增。</p><p><b>　　再證數(shù)列有上界。</b></p>

124、<p>　　下面的證明可以看到一個(gè)更強(qiáng)的命題： 數(shù)列以（ k 為正整數(shù)） 為上界。先證不等式：當(dāng)n>k 時(shí)，.</p><p><b>　　設(shè) ，.</b></p><p>　　由均值不等式 因此， 其次由，有</p><p>　　當(dāng)n>k 時(shí)， 任取一個(gè)正整數(shù)k，均是數(shù)列的上界。又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，∴ 當(dāng)n≤k 時(shí)，

125、不等式仍然成立。</p><p>　　因此， 對(duì)于數(shù)列（ n=1，2…） 恒有（ k 為正整數(shù)） 。任意選定一個(gè)k值，均是數(shù)列的上界。</p><p>　　所以數(shù)列單調(diào)有界， 由單調(diào)有界定理， 數(shù)列極限存在。設(shè)極限值為e，即.</p><p>　　由上面的證明，我們不難用均值不等式證明：數(shù)列極限存在且其極限也是e。證明如下：</p><p>