不等式證明的教學(xué)研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　不等式證明的教學(xué)研究</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要： 不管是在中學(xué)還是大學(xué)，不等式的學(xué)習(xí)都是一大難點(diǎn)。本文首先對(duì)不等

3、式及其最基本的性質(zhì)進(jìn)行了簡(jiǎn)單的介紹，然后對(duì)不等式證明的教學(xué)對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)邏輯思維能力等方面進(jìn)行了研究，并得出這樣的作用是非常重要的。證明不等式?jīng)]有固定的模式，方法因題而異，靈活多變，技巧性強(qiáng)。正因?yàn)槿绱?，本文采用了幾種不同的方法，主要包括：利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)極值，中值定理，中學(xué)常用的數(shù)學(xué)歸納法，分析綜合法，放縮法等。而對(duì)于不等式的應(yīng)用方面，本文主要涉及貝努利不等式證明極限問(wèn)題。在最后以Cauchy不等式為例，講述了不等式

4、的教育價(jià)值。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 不等式；中值定理；函數(shù)思想；教育價(jià)值；證明</p><p>　　Inequality proof of teaching research</p><p>　　Abstract: Whether in high school or college ,inequality of learning is a great dif

5、ficulty.First this paper briefly introduced the most basic of inequality and the nature.After that fac the teaching of inequality proof to develop the students' mathematical thinking, cultivate logical thinking abili

6、ty etc aspects studied ,and draw the effect is very important .Prove the inequality has no fixed mode , methods due to a problem and vision, agile and changeable, powerful skills.Just because of this pa</p><p&

7、gt;　　Keywords: inequality;Mean-value theorem;Function thought;Education value; proof</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1、序論5</b></p><p>　　1.1 不等式研究的背景、意義5<

8、;/p><p><b>　　2 不等式6</b></p><p>　　2.1 不等式6</p><p>　　2.2 不等式的基本性質(zhì)6</p><p>　　2.3 不等式可遵循的一些同解原理6</p><p>　　3 不等式的證明7</p><p>　　3.

9、1 利用函數(shù)思想證明不等式7</p><p>　　3.2 利用中值定理證明不等式10</p><p>　　3.3 利用高等數(shù)學(xué)解決初等數(shù)學(xué)不等式12</p><p>　　3.4 Cauchy-schwarz 不等式的證明14</p><p>　　3.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明14</p>

10、<p>　　3.6 中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明的幾種方法15</p><p>　　3.6.1 構(gòu)造法證明不等式15</p><p>　　3.6.2 分析與綜合法16</p><p>　　3.6.3 數(shù)學(xué)歸納法16</p><p>　　3.6.4 放縮法（增減法）17</p><p>　　3.6.

11、5 換元法證明不等式17</p><p>　　4、不等式的應(yīng)用19</p><p>　　4.1 Jensen不等式19</p><p>　　4.2 貝努利不等式19</p><p>　　4.3 貝努利不等式的應(yīng)用21</p><p>　　5、不等式的教育價(jià)值23</p><p>

12、;<b>　　總結(jié)部分25</b></p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)26</b></p><p><b>　　1 序論</b></p><p>　　1.1 不等式研究的背景、意義</p><p>

13、　　不等式的理論很早就被Gauss、 Cauchy等人關(guān)注并研究過(guò)，但是不等式作為一門系統(tǒng)的學(xué)科出現(xiàn)始于1934年，Hardy、 Littlewood和G.Polya合作出版《不等式》（Inequalities）之后。在此之前不等式只是出現(xiàn)于數(shù)學(xué)家們研究領(lǐng)域中所使用的引理，證明及研究得到的副成果而已。直到Hardy等人對(duì)不等式做了系統(tǒng)的研究和總結(jié)之后，不等式才真正成為了一門系統(tǒng)學(xué)科。于此同時(shí)，更給后人提供了一個(gè)嶄新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。繼Hard

14、y等人之后，Beckenhach，E.F, R.Bellman的名著《不等式》（1961年）反映了1934年至1960年不等式的研究成果。此后不等式的研究方法與方向進(jìn)一步多樣化。J.Diendonne在他的《無(wú)窮小分析》中賦予不等式以特別的重要性，它采用了以“較大的，較小的，接近的”等術(shù)語(yǔ)為特色的敘述方法。之后Mitrinovic于1970年出版了《解析不等式》（Analytic Inequalities）對(duì)于不等式的總結(jié)和發(fā)展達(dá)到了一

15、個(gè)新的高度。</p><p>　　此后，關(guān)于不等式的研究就從未停頓過(guò)。20世紀(jì)80年代以來(lái)，在中國(guó)也出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。我國(guó)匡繼昌于1989年出版的《常用不等式》是首次由中國(guó)人撰寫的不等式著作，并首次大量收入了中國(guó)數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的新不等式。此外，楊路，楊學(xué)枝，張景中，常庚哲等對(duì)幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國(guó)幾何不等式的研究推向高潮，并取得了豐碩的成果。同時(shí)，王挽瀾，祁鋒，王伯英等著名數(shù)學(xué)家在代

16、數(shù)不等式方面，同樣取得了舉世矚目的成果。</p><p>　　另外，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國(guó)科學(xué)》上的論文《一個(gè)不等式及其若干應(yīng)用》針對(duì)Holder不等式的缺陷提出一個(gè)全新的不等式，被美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論稱之為“一個(gè)杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱之為胡克（HK）不等式。</p><p>　　在過(guò)去數(shù)年里，數(shù)學(xué)不等式的有用性在諸多領(lǐng)域內(nèi)體現(xiàn)的很明顯。例如，在研究凸函數(shù)的一些性質(zhì)時(shí)，離不開不

17、等式的幫助。20世紀(jì)數(shù)學(xué)已經(jīng)確認(rèn)數(shù)學(xué)不等式的力量已經(jīng)上升到一個(gè)全新的高度。對(duì)不等式研究所得到的一些成果被廣泛運(yùn)用到其他領(lǐng)域中去，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)，游戲理論，數(shù)學(xué)規(guī)劃，控制理論，變分理論，運(yùn)籌學(xué)，概率統(tǒng)計(jì)等。由此可以看出不等式的有用性，研究不等式的重要性。 </p><p><b>　　2 不等式</b></p><p>　

18、　我們先對(duì)不等式進(jìn)行一下簡(jiǎn)要的介紹：</p><p><b>　　2.1 不等式</b></p><p>　　用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連接起來(lái)所成的式子就稱為不等式。在一個(gè)式子中的數(shù)的關(guān)系，不全是等號(hào)，含不等號(hào)的式子就是不等式。例如，，，，等。不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。一般地，用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)，連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)（大于或等于號(hào)）、不大

19、于號(hào)（小于或等于號(hào)），連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。 </p><p>　　2.2 不等式的基本性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)1 如果，那么；如果，那么；（對(duì)稱性）</p><p>　　性質(zhì)2 如果，；那么；（傳遞性）</p><p>　　性質(zhì)3 如果，而為任意實(shí)數(shù)或整式，那么；（加法法則）</p>&l

20、t;p>　　性質(zhì)4 如果，，那么；如果，，那么；（乘法法則）</p><p>　　性質(zhì)5 如果，，那么；如果，，那么；</p><p>　　性質(zhì)6 如果，，則；（充分不必要條件）</p><p>　　性質(zhì)7 如果，，那么；</p><p>　　性質(zhì)8 如果，那么的次冪的次冪，即表示為（n為正數(shù)）。</p><

21、;p>　　2.3 不等式可遵循的一些同解原理</p><p>　　一、不等式與不等式同解。</p><p>　　二、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含，那么不等式與不等式同解。</p><p>　　三、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含，并且，那么不等式與不等式同解；如果，那么不等式與不等式同解。</p><p>　　以上

22、三條是不等式同解原理中的主要表現(xiàn)形式。</p><p><b>　　3 不等式的證明</b></p><p>　　3.1 利用函數(shù)思想證明不等式</p><p>　　函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和求解問(wèn)題,它是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法,函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律,所以只要有變量的問(wèn)題就可以利用函數(shù)思想。</p

23、><p>　　在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題中，根據(jù)問(wèn)題的條件，構(gòu)想、組合一種新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新的觀點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)解決原問(wèn)題是一種行之有效的解題手段。即通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性來(lái)解決。</p><p>　　例3.1.1 對(duì)任意實(shí)數(shù)和，成立不等式。</p><p>　　分析 不等式中三個(gè)式子形

24、狀相似，相當(dāng)于函數(shù)在相應(yīng)三個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值，為此我們根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造輔助函數(shù)，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)增減性與極值來(lái)研究。</p><p>　　證 設(shè)。在內(nèi)嚴(yán)格遞增。于是由，就有。即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解決含有絕對(duì)值不等式問(wèn)題的基本思想是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式去解，但有些分式

25、不等式中出現(xiàn)了絕對(duì)值，也不便于去掉時(shí)，我們所采取的方法是通過(guò)分析不等號(hào)左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當(dāng)做是所構(gòu)造的函數(shù)的兩個(gè)取值點(diǎn)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明。</p><p>　　例3.1.2 設(shè)，證明：</p><p>　　（1）； （2）</p><p><b>　　證 （1）令，則</b></p>

26、<p>　　令，則， 所以當(dāng)時(shí)，。所以所以，所以 即</p><p><b>　?。?）令，則。</b></p><p>　　由（1）可知，從而，即</p><p><b>　　，即。</b></p><p>　　說(shuō)明1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式時(shí)，如果一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)不能確定，可以利

27、用二階或三階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)確定。</p><p>　　說(shuō)明2 在利用單調(diào)性證明不等式時(shí)，如能對(duì)欲證的不等式作適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，往往可以使?wèn)題得以簡(jiǎn)單。</p><p>　　例3.1.3 證明：若，則對(duì)于中的任意有：</p><p><b>　　證 設(shè)函數(shù)。有</b></p><p>　　令，得唯一駐點(diǎn)。從而</p>

28、;<p>　　所以，是極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)。最小值為。兩邊界為。所以 。</p><p>　　說(shuō)明3 當(dāng)題設(shè)滿足以下條件時(shí)可以用該方法：</p><p>　?。?）所設(shè)函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，但在所討論的區(qū)間上不是單</p><p><b>　　調(diào)函數(shù)時(shí)；</b></p>

29、<p>　　（2）只能證不嚴(yán)格的不等式而不能證明嚴(yán)格的不等式。</p><p>　　定義1設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)上任意兩點(diǎn)和實(shí)數(shù)，總有</p><p>　　則稱為上的凸函數(shù)。反之，則稱為凹函數(shù)。</p><p>　　例3.1.4 對(duì)任意實(shí)數(shù)有。</p><p>　　證 設(shè)，則， 故為上的凸函數(shù)，由凸函數(shù)的定義：對(duì)，有<

30、;/p><p>　　即 。</p><p>　　定義2 所謂多變量不等式,就是一個(gè)不等式中有多個(gè)變量,而且一般情況下是齊次變量,如果是二次的,那么可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于其中一個(gè)變量的二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性或者求最值或者利用二次函數(shù)的圖像分析問(wèn)題,從而得到想要證明的結(jié)果。</p><p>　　例3.1.5 設(shè)，，為任意三角形的三個(gè)內(nèi)角,對(duì)于

31、任意實(shí)數(shù)。求證：。</p><p>　　證 根據(jù)題意,先將特征式整理為關(guān)于的二次函數(shù)模型,再利用函數(shù)及方程的有關(guān)性進(jìn)</p><p>　　行推理論證。將看做是常數(shù)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)</p><p><b>　　因?yàn)椤?lt;/b></p><p>　　又因?yàn)楹瘮?shù)圖像開口向上，所以。</p><p><

32、;b>　　故</b></p><p>　　例3.1.6 已知，求證。</p><p>　　證 原不等式化為：。將看作自變量，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只須證：</p><p>　　當(dāng)時(shí)，恒為正數(shù)。因而可構(gòu)造函數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　若，原不等式顯然成立

33、。若，則是的一次函數(shù)。在上為單調(diào)函數(shù)。而</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所以，即。</b></p><p>　　對(duì)于像例3.1.5，例3.1.6這樣的不等式的形式，我們可以看出兩者是齊次形式，那么根據(jù)

34、問(wèn)題的條件和結(jié)論，對(duì)不等式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏螅ǔＮ覀儤?gòu)造的函數(shù)有一次函數(shù)，二次函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等。然后巧妙的利用各類函數(shù)的基本性質(zhì)，最常用的性質(zhì)就是函數(shù)特有的單調(diào)性，最值性。當(dāng)碰到的不等式的變量時(shí)二次的時(shí)候，我們常常構(gòu)造二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)特有的判別式來(lái)獲得不等式。</p><p>　　3.2 利用中值定理證明不等式</p><p>　　拉格朗日中值定理 如果函數(shù)

35、在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使</p><p>　?。ㄟ@個(gè)定理的特殊情形稱羅爾定理）。</p><p><b>　　推論 1、</b></p><p><b>　　2、</b></p><p><b>　　3、。</b></p><

36、;p>　　柯西中值定理 設(shè)都在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且，則存在，使得</p><p><b>　　成立。</b></p><p>　　例3.2.1 已知，求證：。</p><p>　　證 設(shè)，由拉格朗日中值定理及得</p><p><b>　　，</b></p><p>

37、<b>　　因而。又</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是，所以。</b></p><p>　　例3.2.2 設(shè)，證明</p><p>　　證 設(shè)，則，對(duì)于在應(yīng)用拉格朗日中值定理有</p><p><b&

38、gt;　　。</b></p><p>　　即，因?yàn)椋?。又因?yàn)椋?lt;/p><p><b>　　，因?yàn)樗浴?lt;/b></p><p>　　注 拉格朗日中值定理將函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值連接在一起。這里沒(méi)有給出的確切位置，而對(duì)于不等式而言，也不需，不必精確。因此可利用中值定理證明，關(guān)鍵是選擇及區(qū)間。</p><p>　　

39、例3.2.3 設(shè)，證明。</p><p>　　證 設(shè)則。對(duì)于在上應(yīng)用柯西中值定理有</p><p>　　設(shè)，考察，。顯然當(dāng)時(shí)，</p><p>　　即，。所以在時(shí)單調(diào)遞減。從而。即，故。</p><p>　　注 柯西中值定理是研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)變量關(guān)系的中值定理，當(dāng)一個(gè)函數(shù)取作自變量自身時(shí)，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理證明不等

40、式一定能用柯西中值定理來(lái)證，反之則不然。</p><p>　　3.3 利用高等數(shù)學(xué)解決初等數(shù)學(xué)不等式</p><p>　?。?） 伯努利不等式 對(duì)，（i）若或，則。</p><p><b>　　（ii）若，則。</b></p><p>　　例3.3.1 已知，求證。</p><p>　　證 此題

41、用常規(guī)的做法不容易證明，事實(shí)上，我們稍作變形。由于且，有伯努利不等式可知，所以成立。</p><p>　?。?） 柯西不等式 設(shè)有兩組實(shí)數(shù)和，則有</p><p><b>　　或?qū)懗?lt;/b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。</p>&l

42、t;p><b>　　推論</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。</p><p>　　例3.3.2 設(shè)，且，求證：。</p><p>　　證 由柯西不等式的推論可知，又因?yàn)椋?，即?lt;/p><p>　　（3）泰勒定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間內(nèi)存在的階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意，至少存

43、在一點(diǎn)，使得</p><p><b>　　。</b></p><p>　　例3.3.3 設(shè)，且，求證：。</p><p>　　證 由知。根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義 </p><p><b>　　由及，知。</b></p><p>　　說(shuō)明 泰勒公式應(yīng)用的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)的條件如何選擇

44、要展開的函數(shù)、在哪一點(diǎn)的領(lǐng)域?qū)⒑瘮?shù)展開、展開的階數(shù)以及余項(xiàng)形式。</p><p>　　由以上的幾個(gè)例子可以看出，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)去解決初等數(shù)學(xué)，不僅方法新穎，而且簡(jiǎn)單明了。除了上述這些證明不等式的方法外，中學(xué)數(shù)學(xué)中還用到了一些并不常見(jiàn)的方法，通過(guò)這些方法以啟迪學(xué)生思維和開拓學(xué)生視野。</p><p>　　形如式子式子中任意兩個(gè)量交換位置后結(jié)果仍不變,這就是“式”的對(duì)稱，可以用對(duì)稱關(guān)系來(lái)解決一些

45、不等式的證明。</p><p>　　例3.3.4 設(shè)是正數(shù)，且滿足，求證：</p><p>　　證 由。注意到對(duì)稱性有</p><p><b>　　即。命題得證。 </b></p><p>　　例3.3.5 證明：當(dāng)時(shí)，有。</p><p>　　證 在的情況下討論。令</p><

46、;p><b>　　則有 于是。</b></p><p>　　按極限的定義，對(duì)于，取。當(dāng)有</p><p><b>　　，即有。從而。</b></p><p>　　3.4 Cauchy-schwarz 不等式的證明</p><p>　　Cauchy-schwarz 不等式 設(shè)均在上可積，則有以

47、下不等式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　并且當(dāng)存在一組不全為零的數(shù)使得時(shí)等號(hào)成立。</p><p>　　證利用變上限的積分函數(shù)構(gòu)造輔助函數(shù)，令</p><p>　　則顯然有，所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明，從而可以轉(zhuǎn)化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于<

48、/p><p>　　在區(qū)間上均連續(xù)，所以由變上限的積分函數(shù)的性質(zhì)可以知道在區(qū)</p><p>　　間上可導(dǎo)，并且可以由求導(dǎo)法則計(jì)算得到</p><p>　　所以當(dāng)時(shí)，。故在上單調(diào)非增，從而。</p><p>　　3.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明</p><p>　　Young 不等式 設(shè)，則對(duì)任意，成立

49、，其中等號(hào)成立的充要條件是。</p><p>　　證 當(dāng)，不等式顯然成立；設(shè)，注意到當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。設(shè)，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。</p><p>　　Young逆不等式 設(shè)，此時(shí)，則對(duì)，成立，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。</p><p>　　證 注意到當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。設(shè)，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是

50、得到。</p><p>　　注：帶的Young 不等式：設(shè)且滿足，則 。</p><p>　　3.6 中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明的幾種方法</p><p>　　3.6.1 構(gòu)造法證明不等式</p><p>　　所謂構(gòu)造法，就是依據(jù)題目自身的特點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)、基本不等式、數(shù)列、幾何圖形等輔助工具鋪路架橋，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到證明不等式的目的的一

51、種方法。在證明不等式的過(guò)程中應(yīng)用構(gòu)造思想，能夠開闊思路，并運(yùn)用更多的知識(shí)為證明不等式服務(wù)。</p><p>　　例3.6.1 若，求證：。</p><p>　　證 構(gòu)造數(shù)列，使得，則易得。下面證明：，即。因?yàn)椋钥苫癁椋?。即證：等價(jià)于，顯然對(duì)此式成立。故：。</p><p>　　3.6.2 分析與綜合法</p><p>　　綜合法是由已知

52、的條件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法則要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件，最后歸結(jié)為已知的不等式或已知條件。對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的不等式，往往要通過(guò)分析法或分析法與綜合法交替使用來(lái)尋找證明的途徑．學(xué)習(xí)中還要注意：第一，要熟練掌握各種基本的不等式和一些特殊的不等式：第二，要善于利用題中的各種隱含條件；第三，應(yīng)用不等式的各種變換技巧。</p><p>　　例3.6.2 設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其

53、前項(xiàng)和，求證：。</p><p>　　證 設(shè)的公比為，由題意</p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí)，所以。</b></p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí)，所以</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　由（1），（2）得，即

54、。</p><p>　　3.6.3 數(shù)學(xué)歸納法</p><p>　　與自然數(shù)N 有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。但要注意：第一，數(shù)學(xué)歸納法有多種形式。第二，數(shù)學(xué)歸納法常與其他方法綜合運(yùn)用；第三，數(shù)學(xué)歸納法不是萬(wàn)能的，即并不是所有的含有n 的不等式都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明的。</p><p>　　例3.6.3 已知，求證：。</p><p

55、>　　證 （1）當(dāng)時(shí)，顯然成立。</p><p>　　（2）若時(shí)，成立。則：</p><p><b>　　即成立。</b></p><p>　　根據(jù)（1），（2）得，（對(duì)于大于1的自然數(shù)n都成立）。</p><p>　　3.6.4 放縮法（增減法）</p><p>　　在證題過(guò)程中，根據(jù)不

56、等式的傳遞性，常采用舍去有些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的項(xiàng)之和變大（或變小），或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較小）的數(shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達(dá)到證明的目的．值得注意的是“放”，“縮”得當(dāng)，不要過(guò)頭．常用的方法為：改變分子（分母）放縮法，拆補(bǔ)放縮法，尋找“中介量”放縮法等。</p><p>　　例3.6.4 設(shè)，求證：</p><p><b>　　

57、。</b></p><p><b>　　證 由可得，</b></p><p><b>　　又因?yàn)?，所?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　結(jié)論成立。</b></p><p>　　

58、3.6.5 換元法證明不等式</p><p>　　在證題過(guò)程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問(wèn)題的證明達(dá)到簡(jiǎn)化。此方法在立體幾何學(xué)習(xí)中應(yīng)用更加廣泛。</p><p>　　例3.6.5 設(shè)，為常數(shù)，不等式恒成立，求證: 。</p><p>　　分析 原不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，而觀察可考慮實(shí)行三角換元，化歸為三角問(wèn)題。</p><

59、p>　　證 因?yàn)?，令，因?yàn)楹愠闪?，故恒成立，而?dāng)時(shí)，取最大值，從而得證。</p><p>　　不等式的證明方法及其相關(guān)的應(yīng)用，在日常學(xué)習(xí)，研究，生活中都可以遇到。我們要養(yǎng)成聯(lián)系，總結(jié)的好習(xí)慣。以至發(fā)現(xiàn)各種規(guī)律，最終達(dá)到系統(tǒng)的掌握知識(shí)，有效的解決問(wèn)題的目的。</p><p><b>　　4 不等式的應(yīng)用</b></p><p>　　4.1

60、 Jensen不等式</p><p>　　Jensen不等式 如果為連續(xù)實(shí)值凸函數(shù)，且</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則有 。</p><p>　　注 經(jīng)典的Jensen 不等式：設(shè)是凸函數(shù)，是上的可積函數(shù)，則</p><p&g

61、t;　　例4.1.1 設(shè)為的一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，若損失函數(shù)為凸的，則基于的無(wú)偏估計(jì)即為的無(wú)偏一致最小風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)。</p><p>　　證 設(shè)為的任意無(wú)偏估計(jì)，考慮條件期望</p><p>　　由的充分性，知此條件期望與無(wú)關(guān)，因而可作為的一個(gè)估計(jì)。由于</p><p>　　則為的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。由得凸性，用Jensen不等式，易得</p><p>　　

62、，故基于的無(wú)偏估計(jì)即為的無(wú)偏一致最小風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)。</p><p>　　4.2 貝努利不等式</p><p>　　貝努利 不等式 設(shè)，實(shí)數(shù)都大于-1，并且它們都有著相同的符號(hào)，則成立； 特別地，當(dāng)，</p><p><b>　　且，成立。</b></p><p>　　定理1 設(shè)都是正實(shí)數(shù)，且，則成立</p>&

63、lt;p><b>　?。?）；（2）</b></p><p>　　證 由條件，得；利用貝努利不等式，得</p><p><b>　　由，得出；</b></p><p><b>　　從而，得</b></p><p><b>　　，</b></p&

64、gt;<p>　　故（1）、（2）成立。</p><p>　　定理2 （1）設(shè)，對(duì)任一正整數(shù)，成立；</p><p>　?。?）對(duì)任意，對(duì)任一正整數(shù)，成立。</p><p>　　證 （1）不妨設(shè)。由，得，，取</p><p><b>　　得，，從而得。</b></p><p>　　（

65、2）在（1）式中取，即得到成立。</p><p>　　定理3 （幾何平均值-算術(shù)平均值不等式）對(duì)任意個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，成立</p><p><b>　　，</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p>　　證 利用貝努利不等式，多次套用定理2中的不等式（2），得</p><p>&l

66、t;b>　　，</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p>　　對(duì)任意，有理數(shù)，利用幾何平均算術(shù)平均不等式，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即。</b></p><p>　　對(duì)任何實(shí)數(shù)，存在有理點(diǎn)

67、列，使得，在中取極限，由連續(xù)性，即成立，由此不等式，可得Young不等式和Young逆不等式。Young不等式與Young逆不等式在空間、空間、泛函分析、調(diào)和分析、索伯列夫空間等理論中發(fā)揮著重要作用。</p><p>　　4.3 貝努利不等式的應(yīng)用</p><p>　?。ㄒ唬?貝努利不等式在證明重要極限時(shí)的應(yīng)用</p><p>　　例4.3.1 （1）為遞增數(shù)列

68、；（2）為遞減數(shù)列。</p><p>　　證 （1）在中取，，由于</p><p>　　故有，即為遞增數(shù)列。</p><p>　?。?）在中取， ，由于</p><p>　　故有，即為遞減數(shù)列。</p><p>　?。ǘ?貝努利不等式在證明數(shù)列極限存在時(shí)的應(yīng)用</p><p>　　例 4.3.

69、2 設(shè)，則有存在。</p><p>　　證 顯然，從而是單調(diào)增加的，下證是有界的。</p><p>　　方法1 利用貝努利不等式，得到</p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是，既得是有界的；</p><p>　　方法2 利用幾何-算術(shù)平均不等式，得于是是單調(diào)增加且是有界的

70、，故存在。</p><p>　　例4.3.3 設(shè)，則存在，且。</p><p>　　證 顯然，從而是單調(diào)增加的，下證是有界的。利用幾何-算術(shù)平均不等式，得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是是單調(diào)增加且是有界的，因此存在，又</p><p><b>　　，

71、</b></p><p><b>　　故。</b></p><p>　　例4.3.4 設(shè)，則存在，且。</p><p>　　證 顯然是單調(diào)減少且有界的，于是存在，又</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故。</b&

72、gt;</p><p>　　5 不等式的教育價(jià)值</p><p>　　在這里，我主要以Cauchy不等式為例，講述下不等式的教育價(jià)值所在。</p><p>　　認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種形式,理解它們的幾何意義，用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況?？挛鞑坏仁降慕虒W(xué)，實(shí)質(zhì)是完成一個(gè)包含“證明不等式的基本理論的總結(jié)、拓展,對(duì)不等式學(xué)習(xí)的感受、體會(huì)”的再深入,這樣,達(dá)到“特別

73、強(qiáng)調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景,以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問(wèn)題能力”。也從客觀上和實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了柯西不等式是一個(gè)數(shù)學(xué)探究性課題探討的典型案例,體現(xiàn)以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體包含著數(shù)學(xué)思想和方法，即從觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)的背景材料中,發(fā)現(xiàn)和建立意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題,猜測(cè)、探究適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律,給出解釋或證明,進(jìn)一步做類比推廣探究和實(shí)際應(yīng)用研究,促使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的過(guò)程中,發(fā)

74、現(xiàn)和提出自己的數(shù)學(xué)問(wèn)題,并加以自主探究,發(fā)展自己的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力</p><p>　　1）柯西不等式的學(xué)習(xí),能夠增強(qiáng)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的立足點(diǎn)和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題的方法是:發(fā)現(xiàn)問(wèn)題———猜測(cè)結(jié)論———分析論證———推廣結(jié)論———應(yīng)用結(jié)果。又如利用類比歸納的方法掌握對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多層次全方位的推廣研究,向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這

75、幾種推廣方法的聯(lián)合使用的再推廣。</p><p>　　2）對(duì)任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，從幾何直觀的角度進(jìn)行思考是最為順理成章的和自然的，感受到數(shù)學(xué)家是如何看問(wèn)題、想問(wèn)題和解決問(wèn)題的,進(jìn)而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)成為數(shù)學(xué)再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,并體悟到數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程之艱辛,但又能醒悟到做出來(lái)的數(shù)學(xué)竟是如此美妙,從而源自于本能的深深地愛(ài)上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程特別是數(shù)學(xué)思維習(xí)慣成為他們終生學(xué)習(xí)和生活的實(shí)踐者。&

76、lt;/p><p>　　3）數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程理應(yīng)注重分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的來(lái)龍去脈，明晰各知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，以其內(nèi)在的自然審美觀給出既簡(jiǎn)潔又相對(duì)繁瑣、既常規(guī)的通性通法又帶有相對(duì)自我創(chuàng)造性的構(gòu)造性方法，全面發(fā)展和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性、敏捷性、批判性和廣闊性。</p><p>　　4）數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，理應(yīng)強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)和掌握如何應(yīng)用結(jié)論的基本方法。如柯西不等式的應(yīng)用,

77、關(guān)鍵在于如何比照性的構(gòu)造出兩組數(shù)：積和數(shù)組、平方和數(shù)組以及題設(shè)條件的定值等方面,也就是說(shuō),使學(xué)生在應(yīng)用方面抓住問(wèn)題解決的本質(zhì)———構(gòu)造應(yīng)用結(jié)論的形式或轉(zhuǎn)化變形形式。</p><p>　　5)通過(guò)柯西不等式的學(xué)習(xí),促使學(xué)生在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題以及交流和反思等方面獲得發(fā)展。本質(zhì)上是:使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,有一個(gè)充滿親身經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)分析、歸納、類比、猜測(cè)、論證、概括、推廣、應(yīng)用、反思等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知過(guò)程,

78、形成質(zhì)疑問(wèn)題、勤于探究思考,真正讓學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程、發(fā)現(xiàn)過(guò)程和應(yīng)用過(guò)程,養(yǎng)成敢于發(fā)表自己的獨(dú)到見(jiàn)解,使發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題成為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的主旋律。</p><p>　　6）數(shù)學(xué)教育理應(yīng)成為崇尚自然、返樸歸真、倡導(dǎo)學(xué)習(xí)純潔真樸的自然之道。面對(duì)這種精神的向往，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教育教學(xué)過(guò)程的自然性，把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)演繹成每集故事情節(jié)相對(duì)獨(dú)立而具有完整性的一部?jī)?yōu)秀電視連續(xù)劇,使學(xué)生學(xué)起來(lái)既輕松、愉悅、自然，又充滿

79、興趣、渴望、好奇心。</p><p>　　7）數(shù)學(xué)教育理應(yīng)體現(xiàn)在時(shí)代性，應(yīng)喚起人們以出世心態(tài)做入世之事業(yè)，找回本態(tài)自我，把淡泊寧?kù)o、誠(chéng)實(shí)質(zhì)樸、超然物外作為數(shù)學(xué)教師職業(yè)的追求；也能從“苦其心志,勞其筋骨” 進(jìn)入到“智者樂(lè)水，仁者樂(lè)山”的崇高境界，定會(huì)成為數(shù)學(xué)教育工作們的最心愛(ài)的精神憩園和最愜意的棲身之地。中國(guó)數(shù)學(xué)教育之路定會(huì)成為創(chuàng)新型人才的搖籃。</p><p><b>　　總結(jié)部

80、分</b></p><p>　　證明不等式的方法很多，在證明過(guò)程中需要我們善于分析題目，運(yùn)用我們已學(xué)的知識(shí)去解決它。對(duì)于不易直接證明的不等式，我們需要通過(guò)借助參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的形式將其變形為我們熟知的類型加以解決。在教學(xué)方面，通過(guò)對(duì)不等式的證明，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)地提出、分析和解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新意識(shí)。不等式的運(yùn)用在許多領(lǐng)域內(nèi)廣受關(guān)注，許多問(wèn)題例如：研究凸函數(shù)的一些

81、性質(zhì)，研究概率論等都是非常重要的。在教學(xué)中熟練運(yùn)用不等式去解決問(wèn)題，不僅可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，還可以提高學(xué)生對(duì)不等式的運(yùn)用，發(fā)散學(xué)生思維，拓展學(xué)生視野。由此可見(jiàn)，不等式的證明及運(yùn)用的重要性。而對(duì)于不等式的證明還有待我們?nèi)ミM(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)與探究。</p><p>　　由于自己水平有限，文中所講述到的內(nèi)容也只是參照已有的成果，再結(jié)合自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)谋硎?，希望在今后的學(xué)習(xí)以及實(shí)踐中能夠加深對(duì)不等式相關(guān)問(wèn)題的學(xué)習(xí)即

82、研究，懇請(qǐng)老師能夠教導(dǎo)，指正。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1]崔小兵：概率論中不同條件下的Jensen不等式及應(yīng)用，南陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，（09）</p><p>　　[2]江南：關(guān)于Young不等式的證明及其應(yīng)用，連云港師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2006，（12）</p><p&

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85、任文龍：高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)不等式，甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）2008，（05）</p><p>　　[11]龔誼承：基于變限積分函數(shù)的Cauchy-schwards不等式的證明，河池學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，（04）</p><p>　　[12]李軍莊：Cauchy不等式的教育價(jià)值，商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，（08）</p><p>　　[13]張繼宏：淺談柯西不等式在

86、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，內(nèi)蒙古教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，（12）</p><p>　　[14]楊紅梅：試論柯西不等式的應(yīng)用，山西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2008（03）</p><p>　　[15]郝建華.凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應(yīng)用[J],山西經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院學(xué)報(bào),2003,(04) </p><p>　　[16]張?zhí)N：中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明方法簡(jiǎn)述，許昌市教研室，中國(guó)