不等式證明的教學研究【畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　不等式證明的教學研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要： 不管是在中學還是大學，不等式的學習都是一大難點。本文首先對不等

3、式及其最基本的性質(zhì)進行了簡單的介紹，然后對不等式證明的教學對發(fā)展學生的數(shù)學思維、培養(yǎng)邏輯思維能力等方面進行了研究，并得出這樣的作用是非常重要的。證明不等式?jīng)]有固定的模式，方法因題而異，靈活多變，技巧性強。正因為如此，本文采用了幾種不同的方法，主要包括：利用函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)極值，中值定理，中學常用的數(shù)學歸納法，分析綜合法，放縮法等。而對于不等式的應用方面，本文主要涉及貝努利不等式證明極限問題。在最后以Cauchy不等式為例，講述了不等式

4、的教育價值。</p><p>　　關鍵詞： 不等式；中值定理；函數(shù)思想；教育價值；證明</p><p>　　Inequality proof of teaching research</p><p>　　Abstract: Whether in high school or college ,inequality of learning is a great dif

5、ficulty.First this paper briefly introduced the most basic of inequality and the nature.After that fac the teaching of inequality proof to develop the students' mathematical thinking, cultivate logical thinking abili

6、ty etc aspects studied ,and draw the effect is very important .Prove the inequality has no fixed mode , methods due to a problem and vision, agile and changeable, powerful skills.Just because of this pa</p><p&

7、gt;　　Keywords: inequality;Mean-value theorem;Function thought;Education value; proof</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1、序論5</b></p><p>　　1.1 不等式研究的背景、意義5<

8、;/p><p><b>　　2 不等式6</b></p><p>　　2.1 不等式6</p><p>　　2.2 不等式的基本性質(zhì)6</p><p>　　2.3 不等式可遵循的一些同解原理6</p><p>　　3 不等式的證明7</p><p>　　3.

9、1 利用函數(shù)思想證明不等式7</p><p>　　3.2 利用中值定理證明不等式10</p><p>　　3.3 利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式12</p><p>　　3.4 Cauchy-schwarz 不等式的證明14</p><p>　　3.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明14</p>

10、<p>　　3.6 中學數(shù)學不等式證明的幾種方法15</p><p>　　3.6.1 構造法證明不等式15</p><p>　　3.6.2 分析與綜合法16</p><p>　　3.6.3 數(shù)學歸納法16</p><p>　　3.6.4 放縮法（增減法）17</p><p>　　3.6.

11、5 換元法證明不等式17</p><p>　　4、不等式的應用19</p><p>　　4.1 Jensen不等式19</p><p>　　4.2 貝努利不等式19</p><p>　　4.3 貝努利不等式的應用21</p><p>　　5、不等式的教育價值23</p><p>

12、;<b>　　總結部分25</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻26</b></p><p><b>　　1 序論</b></p><p>　　1.1 不等式研究的背景、意義</p><p>

13、　　不等式的理論很早就被Gauss、 Cauchy等人關注并研究過，但是不等式作為一門系統(tǒng)的學科出現(xiàn)始于1934年，Hardy、 Littlewood和G.Polya合作出版《不等式》（Inequalities）之后。在此之前不等式只是出現(xiàn)于數(shù)學家們研究領域中所使用的引理，證明及研究得到的副成果而已。直到Hardy等人對不等式做了系統(tǒng)的研究和總結之后，不等式才真正成為了一門系統(tǒng)學科。于此同時，更給后人提供了一個嶄新的數(shù)學領域。繼Hard

14、y等人之后，Beckenhach，E.F, R.Bellman的名著《不等式》（1961年）反映了1934年至1960年不等式的研究成果。此后不等式的研究方法與方向進一步多樣化。J.Diendonne在他的《無窮小分析》中賦予不等式以特別的重要性，它采用了以“較大的，較小的，接近的”等術語為特色的敘述方法。之后Mitrinovic于1970年出版了《解析不等式》（Analytic Inequalities）對于不等式的總結和發(fā)展達到了一

15、個新的高度。</p><p>　　此后，關于不等式的研究就從未停頓過。20世紀80年代以來，在中國也出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。我國匡繼昌于1989年出版的《常用不等式》是首次由中國人撰寫的不等式著作，并首次大量收入了中國數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)的新不等式。此外，楊路，楊學枝，張景中，常庚哲等對幾何不等式研究的一系列開創(chuàng)性工作，將我國幾何不等式的研究推向高潮，并取得了豐碩的成果。同時，王挽瀾，祁鋒，王伯英等著名數(shù)學家在代

16、數(shù)不等式方面，同樣取得了舉世矚目的成果。</p><p>　　另外，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國科學》上的論文《一個不等式及其若干應用》針對Holder不等式的缺陷提出一個全新的不等式，被美國數(shù)學評論稱之為“一個杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱之為胡克（HK）不等式。</p><p>　　在過去數(shù)年里，數(shù)學不等式的有用性在諸多領域內(nèi)體現(xiàn)的很明顯。例如，在研究凸函數(shù)的一些性質(zhì)時，離不開不

17、等式的幫助。20世紀數(shù)學已經(jīng)確認數(shù)學不等式的力量已經(jīng)上升到一個全新的高度。對不等式研究所得到的一些成果被廣泛運用到其他領域中去，比如經(jīng)濟學，游戲理論，數(shù)學規(guī)劃，控制理論，變分理論，運籌學，概率統(tǒng)計等。由此可以看出不等式的有用性，研究不等式的重要性。 </p><p><b>　　2 不等式</b></p><p>　

18、　我們先對不等式進行一下簡要的介紹：</p><p><b>　　2.1 不等式</b></p><p>　　用不等號將兩個解析式連接起來所成的式子就稱為不等式。在一個式子中的數(shù)的關系，不全是等號，含不等號的式子就是不等式。例如，，，，等。不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地，用純粹的大于號、小于號，連接的不等式稱為嚴格不等式，用不小于號（大于或等于號）、不大

19、于號（小于或等于號），連接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。 </p><p>　　2.2 不等式的基本性質(zhì)</p><p>　　性質(zhì)1 如果，那么；如果，那么；（對稱性）</p><p>　　性質(zhì)2 如果，；那么；（傳遞性）</p><p>　　性質(zhì)3 如果，而為任意實數(shù)或整式，那么；（加法法則）</p>&l

20、t;p>　　性質(zhì)4 如果，，那么；如果，，那么；（乘法法則）</p><p>　　性質(zhì)5 如果，，那么；如果，，那么；</p><p>　　性質(zhì)6 如果，，則；（充分不必要條件）</p><p>　　性質(zhì)7 如果，，那么；</p><p>　　性質(zhì)8 如果，那么的次冪的次冪，即表示為（n為正數(shù)）。</p><

21、;p>　　2.3 不等式可遵循的一些同解原理</p><p>　　一、不等式與不等式同解。</p><p>　　二、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含，那么不等式與不等式同解。</p><p>　　三、如果不等式的定義域被解析式的定義域所包含，并且，那么不等式與不等式同解；如果，那么不等式與不等式同解。</p><p>　　以上

22、三條是不等式同解原理中的主要表現(xiàn)形式。</p><p><b>　　3 不等式的證明</b></p><p>　　3.1 利用函數(shù)思想證明不等式</p><p>　　函數(shù)思想是利用函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象去分析問題、轉化問題和求解問題,它是一種很重要的數(shù)學思想方法,函數(shù)是研究變量的變化規(guī)律,所以只要有變量的問題就可以利用函數(shù)思想。</p

23、><p>　　在求解某些數(shù)學問題中，根據(jù)問題的條件，構想、組合一種新的函數(shù)關系，使問題在新的觀點下實行轉化并利用函數(shù)的相關性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段。即通過構造輔助函數(shù)，把原來的問題轉化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性來解決。</p><p>　　例3.1.1 對任意實數(shù)和，成立不等式。</p><p>　　分析 不等式中三個式子形

24、狀相似，相當于函數(shù)在相應三個點的函數(shù)值，為此我們根據(jù)不等式的特點構造輔助函數(shù)，將不等式的證明轉化為利用函數(shù)增減性與極值來研究。</p><p>　　證 設。在內(nèi)嚴格遞增。于是由，就有。即</p><p><b>　　。</b></p><p>　　解決含有絕對值不等式問題的基本思想是設法去掉絕對值符號，化為不含絕對值符號的不等式去解，但有些分式

25、不等式中出現(xiàn)了絕對值，也不便于去掉時，我們所采取的方法是通過分析不等號左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當做是所構造的函數(shù)的兩個取值點，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來證明。</p><p>　　例3.1.2 設，證明：</p><p>　　（1）； （2）</p><p><b>　　證 （1）令，則</b></p>

26、<p>　　令，則， 所以當時，。所以所以，所以 即</p><p><b>　?。?）令，則。</b></p><p>　　由（1）可知，從而，即</p><p><b>　　，即。</b></p><p>　　說明1 利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式時，如果一階導數(shù)的符號不能確定，可以利

27、用二階或三階導數(shù)符號來確定。</p><p>　　說明2 在利用單調(diào)性證明不等式時，如能對欲證的不等式作適當?shù)暮愕茸冃危梢允箚栴}得以簡單。</p><p>　　例3.1.3 證明：若，則對于中的任意有：</p><p><b>　　證 設函數(shù)。有</b></p><p>　　令，得唯一駐點。從而</p>

28、;<p>　　所以，是極小值點也是最小值點。最小值為。兩邊界為。所以 。</p><p>　　說明3 當題設滿足以下條件時可以用該方法：</p><p>　?。?）所設函數(shù)在某閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，但在所討論的區(qū)間上不是單</p><p><b>　　調(diào)函數(shù)時；</b></p>

29、<p>　?。?）只能證不嚴格的不等式而不能證明嚴格的不等式。</p><p>　　定義1設為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上任意兩點和實數(shù)，總有</p><p>　　則稱為上的凸函數(shù)。反之，則稱為凹函數(shù)。</p><p>　　例3.1.4 對任意實數(shù)有。</p><p>　　證 設，則， 故為上的凸函數(shù)，由凸函數(shù)的定義：對，有<

30、;/p><p>　　即 。</p><p>　　定義2 所謂多變量不等式,就是一個不等式中有多個變量,而且一般情況下是齊次變量,如果是二次的,那么可以構造一個關于其中一個變量的二次函數(shù),然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性或者求最值或者利用二次函數(shù)的圖像分析問題,從而得到想要證明的結果。</p><p>　　例3.1.5 設，，為任意三角形的三個內(nèi)角,對于

31、任意實數(shù)。求證：。</p><p>　　證 根據(jù)題意,先將特征式整理為關于的二次函數(shù)模型,再利用函數(shù)及方程的有關性進</p><p>　　行推理論證。將看做是常數(shù)，構造關于的函數(shù)</p><p><b>　　因為。</b></p><p>　　又因為函數(shù)圖像開口向上，所以。</p><p><

32、;b>　　故</b></p><p>　　例3.1.6 已知，求證。</p><p>　　證 原不等式化為：。將看作自變量，于是問題轉化為只須證：</p><p>　　當時，恒為正數(shù)。因而可構造函數(shù)</p><p><b>　　，</b></p><p>　　若，原不等式顯然成立

33、。若，則是的一次函數(shù)。在上為單調(diào)函數(shù)。而</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所以，即。</b></p><p>　　對于像例3.1.5，例3.1.6這樣的不等式的形式，我們可以看出兩者是齊次形式，那么根據(jù)

34、問題的條件和結論，對不等式適當?shù)暮愕茸冃魏螅ǔＮ覀儤嬙斓暮瘮?shù)有一次函數(shù)，二次函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等。然后巧妙的利用各類函數(shù)的基本性質(zhì)，最常用的性質(zhì)就是函數(shù)特有的單調(diào)性，最值性。當碰到的不等式的變量時二次的時候，我們常常構造二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)特有的判別式來獲得不等式。</p><p>　　3.2 利用中值定理證明不等式</p><p>　　拉格朗日中值定理 如果函數(shù)

35、在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，那么在內(nèi)至少有一點，使</p><p>　?。ㄟ@個定理的特殊情形稱羅爾定理）。</p><p><b>　　推論 1、</b></p><p><b>　　2、</b></p><p><b>　　3、。</b></p><

36、;p>　　柯西中值定理 設都在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導且，則存在，使得</p><p><b>　　成立。</b></p><p>　　例3.2.1 已知，求證：。</p><p>　　證 設，由拉格朗日中值定理及得</p><p><b>　　，</b></p><p>

37、<b>　　因而。又</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是，所以。</b></p><p>　　例3.2.2 設，證明</p><p>　　證 設，則，對于在應用拉格朗日中值定理有</p><p><b&

38、gt;　　。</b></p><p>　　即，因為，所以。又因為，</p><p><b>　　，因為所以。</b></p><p>　　注 拉格朗日中值定理將函數(shù)值與導數(shù)值連接在一起。這里沒有給出的確切位置，而對于不等式而言，也不需，不必精確。因此可利用中值定理證明，關鍵是選擇及區(qū)間。</p><p>　　

39、例3.2.3 設，證明。</p><p>　　證 設則。對于在上應用柯西中值定理有</p><p>　　設，考察，。顯然當時，</p><p>　　即，。所以在時單調(diào)遞減。從而。即，故。</p><p>　　注 柯西中值定理是研究兩個函數(shù)變量關系的中值定理，當一個函數(shù)取作自變量自身時，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理證明不等

40、式一定能用柯西中值定理來證，反之則不然。</p><p>　　3.3 利用高等數(shù)學解決初等數(shù)學不等式</p><p>　?。?） 伯努利不等式 對，（i）若或，則。</p><p><b>　?。╥i）若，則。</b></p><p>　　例3.3.1 已知，求證。</p><p>　　證 此題

41、用常規(guī)的做法不容易證明，事實上，我們稍作變形。由于且，有伯努利不等式可知，所以成立。</p><p>　?。?） 柯西不等式 設有兩組實數(shù)和，則有</p><p><b>　　或寫成</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　當且僅當時等號成立。</p>&l

42、t;p><b>　　推論</b></p><p>　　當且僅當時，等號成立。</p><p>　　例3.3.2 設，且，求證：。</p><p>　　證 由柯西不等式的推論可知，又因為，所以，即。</p><p>　?。?）泰勒定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上存在直到階連續(xù)導數(shù)，且在開區(qū)間內(nèi)存在的階導數(shù)，則對任意，至少存

43、在一點，使得</p><p><b>　　。</b></p><p>　　例3.3.3 設，且，求證：。</p><p>　　證 由知。根據(jù)導數(shù)定義 </p><p><b>　　由及，知。</b></p><p>　　說明 泰勒公式應用的關鍵在于根據(jù)題設的條件如何選擇

44、要展開的函數(shù)、在哪一點的領域將函數(shù)展開、展開的階數(shù)以及余項形式。</p><p>　　由以上的幾個例子可以看出，運用高等數(shù)學去解決初等數(shù)學，不僅方法新穎，而且簡單明了。除了上述這些證明不等式的方法外，中學數(shù)學中還用到了一些并不常見的方法，通過這些方法以啟迪學生思維和開拓學生視野。</p><p>　　形如式子式子中任意兩個量交換位置后結果仍不變,這就是“式”的對稱，可以用對稱關系來解決一些

45、不等式的證明。</p><p>　　例3.3.4 設是正數(shù)，且滿足，求證：</p><p>　　證 由。注意到對稱性有</p><p><b>　　即。命題得證。 </b></p><p>　　例3.3.5 證明：當時，有。</p><p>　　證 在的情況下討論。令</p><

46、;p><b>　　則有 于是。</b></p><p>　　按極限的定義，對于，取。當有</p><p><b>　　，即有。從而。</b></p><p>　　3.4 Cauchy-schwarz 不等式的證明</p><p>　　Cauchy-schwarz 不等式 設均在上可積，則有以

47、下不等式</p><p><b>　　，</b></p><p>　　并且當存在一組不全為零的數(shù)使得時等號成立。</p><p>　　證利用變上限的積分函數(shù)構造輔助函數(shù)，令</p><p>　　則顯然有，所要求證明的Cauchy-schwarz 不等式也即要證明，從而可以轉化為證明在上為單調(diào)不增的函數(shù)即可。 由于<

48、/p><p>　　在區(qū)間上均連續(xù)，所以由變上限的積分函數(shù)的性質(zhì)可以知道在區(qū)</p><p>　　間上可導，并且可以由求導法則計算得到</p><p>　　所以當時，。故在上單調(diào)非增，從而。</p><p>　　3.5 Young 不等式及Young逆不等式的證明</p><p>　　Young 不等式 設，則對任意，成立

49、，其中等號成立的充要條件是。</p><p>　　證 當，不等式顯然成立；設，注意到當時，有，等號成立當且僅當。設，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是得到。</p><p>　　Young逆不等式 設，此時，則對，成立，等號成立當且僅當。</p><p>　　證 注意到當時，有，等號成立當且僅當。設，令，代入上式，且同乘以；得，即得；在上式中取，于是

50、得到。</p><p>　　注：帶的Young 不等式：設且滿足，則 。</p><p>　　3.6 中學數(shù)學不等式證明的幾種方法</p><p>　　3.6.1 構造法證明不等式</p><p>　　所謂構造法，就是依據(jù)題目自身的特點，通過構造輔助函數(shù)、基本不等式、數(shù)列、幾何圖形等輔助工具鋪路架橋，促進轉化，從而達到證明不等式的目的的一

51、種方法。在證明不等式的過程中應用構造思想，能夠開闊思路，并運用更多的知識為證明不等式服務。</p><p>　　例3.6.1 若，求證：。</p><p>　　證 構造數(shù)列，使得，則易得。下面證明：，即。因為，所以可化為：。即證：等價于，顯然對此式成立。故：。</p><p>　　3.6.2 分析與綜合法</p><p>　　綜合法是由已知

52、的條件和已知的不等式出發(fā)，推導出所要證明的不等式；分析法則要逐步找出使結論成立的充分條件，最后歸結為已知的不等式或已知條件。對于條件簡單而結論復雜的不等式，往往要通過分析法或分析法與綜合法交替使用來尋找證明的途徑．學習中還要注意：第一，要熟練掌握各種基本的不等式和一些特殊的不等式：第二，要善于利用題中的各種隱含條件；第三，應用不等式的各種變換技巧。</p><p>　　例3.6.2 設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其

53、前項和，求證：。</p><p>　　證 設的公比為，由題意</p><p><b>　?。?）當時，所以。</b></p><p><b>　?。?）當時，所以</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　由（1），（2）得，即

54、。</p><p>　　3.6.3 數(shù)學歸納法</p><p>　　與自然數(shù)N 有關的許多不等式，可考慮用數(shù)學歸納法證明。但要注意：第一，數(shù)學歸納法有多種形式。第二，數(shù)學歸納法常與其他方法綜合運用；第三，數(shù)學歸納法不是萬能的，即并不是所有的含有n 的不等式都可以用數(shù)學歸納法證明的。</p><p>　　例3.6.3 已知，求證：。</p><p

55、>　　證 （1）當時，顯然成立。</p><p>　?。?）若時，成立。則：</p><p><b>　　即成立。</b></p><p>　　根據(jù)（1），（2）得，（對于大于1的自然數(shù)n都成立）。</p><p>　　3.6.4 放縮法（增減法）</p><p>　　在證題過程中，根據(jù)不

56、等式的傳遞性，常采用舍去有些正項（或負項）而使不等式的項之和變大（或變?。?，或把和（或積）里的各項換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福瑥亩_到證明的目的．值得注意的是“放”，“縮”得當，不要過頭．常用的方法為：改變分子（分母）放縮法，拆補放縮法，尋找“中介量”放縮法等。</p><p>　　例3.6.4 設，求證：</p><p><b>　　

57、。</b></p><p><b>　　證 由可得，</b></p><p><b>　　又因為，所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　結論成立。</b></p><p>　　

58、3.6.5 換元法證明不等式</p><p>　　在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達到簡化。此方法在立體幾何學習中應用更加廣泛。</p><p>　　例3.6.5 設，為常數(shù)，不等式恒成立，求證: 。</p><p>　　分析 原不等式恒成立，等價于恒成立，而觀察可考慮實行三角換元，化歸為三角問題。</p><

59、p>　　證 因為，令，因為恒成立，故恒成立，而當時，取最大值，從而得證。</p><p>　　不等式的證明方法及其相關的應用，在日常學習，研究，生活中都可以遇到。我們要養(yǎng)成聯(lián)系，總結的好習慣。以至發(fā)現(xiàn)各種規(guī)律，最終達到系統(tǒng)的掌握知識，有效的解決問題的目的。</p><p><b>　　4 不等式的應用</b></p><p>　　4.1

60、 Jensen不等式</p><p>　　Jensen不等式 如果為連續(xù)實值凸函數(shù)，且</p><p><b>　　，</b></p><p>　　則有 。</p><p>　　注 經(jīng)典的Jensen 不等式：設是凸函數(shù)，是上的可積函數(shù)，則</p><p&g

61、t;　　例4.1.1 設為的一個充分統(tǒng)計量，若損失函數(shù)為凸的，則基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。</p><p>　　證 設為的任意無偏估計，考慮條件期望</p><p>　　由的充分性，知此條件期望與無關，因而可作為的一個估計。由于</p><p>　　則為的一個無偏估計。由得凸性，用Jensen不等式，易得</p><p>　　

62、，故基于的無偏估計即為的無偏一致最小風險估計。</p><p>　　4.2 貝努利不等式</p><p>　　貝努利 不等式 設，實數(shù)都大于-1，并且它們都有著相同的符號，則成立； 特別地，當，</p><p><b>　　且，成立。</b></p><p>　　定理1 設都是正實數(shù)，且，則成立</p>&

63、lt;p><b>　　（1）；（2）</b></p><p>　　證 由條件，得；利用貝努利不等式，得</p><p><b>　　由，得出；</b></p><p><b>　　從而，得</b></p><p><b>　　，</b></p&

64、gt;<p>　　故（1）、（2）成立。</p><p>　　定理2 （1）設，對任一正整數(shù)，成立；</p><p>　?。?）對任意，對任一正整數(shù)，成立。</p><p>　　證 （1）不妨設。由，得，，取</p><p><b>　　得，，從而得。</b></p><p>　?。?/p>

65、2）在（1）式中取，即得到成立。</p><p>　　定理3 （幾何平均值-算術平均值不等式）對任意個非負實數(shù)，成立</p><p><b>　　，</b></p><p>　　等號當且僅當時成立。</p><p>　　證 利用貝努利不等式，多次套用定理2中的不等式（2），得</p><p>&l

66、t;b>　　，</b></p><p>　　等號當且僅當時成立。</p><p>　　對任意，有理數(shù)，利用幾何平均算術平均不等式，有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即。</b></p><p>　　對任何實數(shù)，存在有理點

67、列，使得，在中取極限，由連續(xù)性，即成立，由此不等式，可得Young不等式和Young逆不等式。Young不等式與Young逆不等式在空間、空間、泛函分析、調(diào)和分析、索伯列夫空間等理論中發(fā)揮著重要作用。</p><p>　　4.3 貝努利不等式的應用</p><p>　?。ㄒ唬?貝努利不等式在證明重要極限時的應用</p><p>　　例4.3.1 （1）為遞增數(shù)列

68、；（2）為遞減數(shù)列。</p><p>　　證 （1）在中取，，由于</p><p>　　故有，即為遞增數(shù)列。</p><p>　?。?）在中取， ，由于</p><p>　　故有，即為遞減數(shù)列。</p><p>　?。ǘ?貝努利不等式在證明數(shù)列極限存在時的應用</p><p>　　例 4.3.

69、2 設，則有存在。</p><p>　　證 顯然，從而是單調(diào)增加的，下證是有界的。</p><p>　　方法1 利用貝努利不等式，得到</p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是，既得是有界的；</p><p>　　方法2 利用幾何-算術平均不等式，得于是是單調(diào)增加且是有界的

70、，故存在。</p><p>　　例4.3.3 設，則存在，且。</p><p>　　證 顯然，從而是單調(diào)增加的，下證是有界的。利用幾何-算術平均不等式，得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　于是是單調(diào)增加且是有界的，因此存在，又</p><p><b>　　，

71、</b></p><p><b>　　故。</b></p><p>　　例4.3.4 設，則存在，且。</p><p>　　證 顯然是單調(diào)減少且有界的，于是存在，又</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故。</b&

72、gt;</p><p>　　5 不等式的教育價值</p><p>　　在這里，我主要以Cauchy不等式為例，講述下不等式的教育價值所在。</p><p>　　認識柯西不等式的幾種形式,理解它們的幾何意義，用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情況。柯西不等式的教學，實質(zhì)是完成一個包含“證明不等式的基本理論的總結、拓展,對不等式學習的感受、體會”的再深入,這樣,達到“特別

73、強調(diào)不等式及其證明的幾何意義與背景,以加強學生對這些不等式的數(shù)學本質(zhì)的理解,提高學生的邏輯思維能力和分析問題能力”。也從客觀上和實質(zhì)上體現(xiàn)了柯西不等式是一個數(shù)學探究性課題探討的典型案例,體現(xiàn)以數(shù)學知識為載體包含著數(shù)學思想和方法，即從觀察分析數(shù)學事實的背景材料中,發(fā)現(xiàn)和建立意義的數(shù)學問題,猜測、探究適當?shù)臄?shù)學結論或規(guī)律,給出解釋或證明,進一步做類比推廣探究和實際應用研究,促使學生在學習數(shù)學基礎知識和基本技能、數(shù)學思想和數(shù)學方法的過程中,發(fā)

74、現(xiàn)和提出自己的數(shù)學問題,并加以自主探究,發(fā)展自己的創(chuàng)新意識和實踐能力</p><p>　　1）柯西不等式的學習,能夠增強學生自主探究數(shù)學問題的能力，掌握研究數(shù)學問題的立足點和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學問題或實際問題的方法是:發(fā)現(xiàn)問題———猜測結論———分析論證———推廣結論———應用結果。又如利用類比歸納的方法掌握對數(shù)學問題進行多層次全方位的推廣研究,向高維的推廣、向縱深的推廣、類比橫向的推廣、反向的推廣以及這

75、幾種推廣方法的聯(lián)合使用的再推廣。</p><p>　　2）對任何數(shù)學問題的探究，從幾何直觀的角度進行思考是最為順理成章的和自然的，感受到數(shù)學家是如何看問題、想問題和解決問題的,進而使學生的數(shù)學學習活動成為數(shù)學再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程,并體悟到數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的過程之艱辛,但又能醒悟到做出來的數(shù)學竟是如此美妙,從而源自于本能的深深地愛上數(shù)學學習,使數(shù)學學習活動過程特別是數(shù)學思維習慣成為他們終生學習和生活的實踐者。&

76、lt;/p><p>　　3）數(shù)學教學過程理應注重分析數(shù)學問題的來龍去脈，明晰各知識點間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律，以其內(nèi)在的自然審美觀給出既簡潔又相對繁瑣、既常規(guī)的通性通法又帶有相對自我創(chuàng)造性的構造性方法，全面發(fā)展和培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,從而達到培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性、敏捷性、批判性和廣闊性。</p><p>　　4）數(shù)學問題的探究，理應強化應用意識和掌握如何應用結論的基本方法。如柯西不等式的應用,

77、關鍵在于如何比照性的構造出兩組數(shù)：積和數(shù)組、平方和數(shù)組以及題設條件的定值等方面,也就是說,使學生在應用方面抓住問題解決的本質(zhì)———構造應用結論的形式或轉化變形形式。</p><p>　　5)通過柯西不等式的學習,促使學生在提出問題、分析問題、解決問題以及交流和反思等方面獲得發(fā)展。本質(zhì)上是:使學生在數(shù)學學習過程中,有一個充滿親身經(jīng)歷觀察、實驗分析、歸納、類比、猜測、論證、概括、推廣、應用、反思等數(shù)學學習的認知過程,

78、形成質(zhì)疑問題、勤于探究思考,真正讓學生感受和體驗數(shù)學知識的產(chǎn)生過程、發(fā)現(xiàn)過程和應用過程,養(yǎng)成敢于發(fā)表自己的獨到見解,使發(fā)現(xiàn)問題和提出問題成為數(shù)學探究活動的主旋律。</p><p>　　6）數(shù)學教育理應成為崇尚自然、返樸歸真、倡導學習純潔真樸的自然之道。面對這種精神的向往，體現(xiàn)在數(shù)學教育教學過程的自然性，把數(shù)學課堂教學演繹成每集故事情節(jié)相對獨立而具有完整性的一部優(yōu)秀電視連續(xù)劇,使學生學起來既輕松、愉悅、自然，又充滿

79、興趣、渴望、好奇心。</p><p>　　7）數(shù)學教育理應體現(xiàn)在時代性，應喚起人們以出世心態(tài)做入世之事業(yè)，找回本態(tài)自我，把淡泊寧靜、誠實質(zhì)樸、超然物外作為數(shù)學教師職業(yè)的追求；也能從“苦其心志,勞其筋骨” 進入到“智者樂水，仁者樂山”的崇高境界，定會成為數(shù)學教育工作們的最心愛的精神憩園和最愜意的棲身之地。中國數(shù)學教育之路定會成為創(chuàng)新型人才的搖籃。</p><p><b>　　總結部

80、分</b></p><p>　　證明不等式的方法很多，在證明過程中需要我們善于分析題目，運用我們已學的知識去解決它。對于不易直接證明的不等式，我們需要通過借助參數(shù)，構造函數(shù)的形式將其變形為我們熟知的類型加以解決。在教學方面，通過對不等式的證明，有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維，培養(yǎng)邏輯思維能力，提高學生數(shù)學地提出、分析和解決問題的能力和創(chuàng)新意識。不等式的運用在許多領域內(nèi)廣受關注，許多問題例如：研究凸函數(shù)的一些

81、性質(zhì)，研究概率論等都是非常重要的。在教學中熟練運用不等式去解決問題，不僅可以使問題簡單化，還可以提高學生對不等式的運用，發(fā)散學生思維，拓展學生視野。由此可見，不等式的證明及運用的重要性。而對于不等式的證明還有待我們?nèi)ミM一步的發(fā)現(xiàn)與探究。</p><p>　　由于自己水平有限，文中所講述到的內(nèi)容也只是參照已有的成果，再結合自己所學的數(shù)學知識進行了適當?shù)谋硎觯Ｍ诮窈蟮膶W習以及實踐中能夠加深對不等式相關問題的學習即

82、研究，懇請老師能夠教導，指正。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]崔小兵：概率論中不同條件下的Jensen不等式及應用，南陽師范學院學報，2010，（09）</p><p>　　[2]江南：關于Young不等式的證明及其應用，連云港師范高等?？茖W校學報，2006，（12）</p><p&

83、gt;　　[3]刑家省：貝努力不等式的應用，河南科報，2008，（02）</p><p>　　[4]陳思源：關于Cauchy-schwarz不等式的推廣與應用，宜春學院學報（自然科學），2006，（08）</p><p>　　[5]柴云：高等數(shù)學中微積分證明不等式的探討，現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2009</p><p>　　[6]楊曲：淺談常見不等式的證明，科教文匯（理工教研

84、），2008，（12）</p><p>　　[7]馬德炎：常見的代數(shù)不等式的證明，高等數(shù)學研究，2006</p><p>　　[8]黃冬梅：關于不等式證明的若干方法的探究，內(nèi)江師范學院學報，2009</p><p>　　[9]毛巨根：證明不等式的一種巧妙方法——構造輔助函數(shù)法，紹興文理學院學報，2009，（09）</p><p>　　[10]

85、任文龍：高觀點下的初等數(shù)學不等式，甘肅聯(lián)合大學學報（自然科學版）2008，（05）</p><p>　　[11]龔誼承：基于變限積分函數(shù)的Cauchy-schwards不等式的證明，河池學院學報，2010，（04）</p><p>　　[12]李軍莊：Cauchy不等式的教育價值，商洛學院學報，2010，（08）</p><p>　　[13]張繼宏：淺談柯西不等式在

86、中學數(shù)學教學中的應用，內(nèi)蒙古教育學院學報，1998，（12）</p><p>　　[14]楊紅梅：試論柯西不等式的應用，山西廣播電視大學學報，2008（03）</p><p>　　[15]郝建華.凸函數(shù)的性質(zhì)及其在不等式證明中的應用[J],山西經(jīng)濟管理干部學院學報,2003,(04) </p><p>　　[16]張?zhí)N：中學數(shù)學不等式證明方法簡述，許昌市教研室，中國