若干重要不等式的推廣及應(yīng)用【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開(kāi)題報(bào)告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　　（20 屆）</b></p><p>　　若干重要不等式的推廣及應(yīng)用</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專(zhuān)業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱(chēng) </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘 要：在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域里，不等式問(wèn)題占有廣闊的天地。因此本文綜述

3、了幾類(lèi)重要不等式的推廣及證明，如Hadmard不等式、Cauchy不等式、Abel不等式、Janous不等式等，同時(shí)舉例說(shuō)明重要不等式在各個(gè)方面的具體應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞： 重要不等式；Hadmard不等式；Cauchy不等式；</p><p>　　The popularization and application of some important inequations

4、</p><p>　　Abstract：Inequalities hold vast world in mathematics researches.This paper mainly introduces the basic form and proofs of Cauchy inequality, Hadmard inequality, Abel inequality and Janous inequalit

5、y.Moverover,the the paper also gives a summary of the promotion of these inequalities systematically,while discussing emphatically the specific applications of these important inequations in all aspects. Key words： Impo

6、rtant inequation; Hadmard inequality; Cauchy inequality;</p><p><b>　　1 前 言1</b></p><p>　　2 常用重要不等式的推廣2</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣2</p><p>　　2.1.1 Hadm

7、ard不等式2</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣3</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣5</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式5</p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣6</p><p>　　2.3 Abel不等式及推廣8&

8、lt;/p><p>　　2.3.1 Abel不等式8</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣8</p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣10</p><p>　　2.4.1 Janous不等式10</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣11</p>

9、<p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用14</p><p>　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用14</p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用15</p><p>　　3.3 最值極值問(wèn)題中的應(yīng)用17</p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)18</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用

10、19</p><p>　　4 總 結(jié)21</p><p>　　致 謝錯(cuò)誤!未定義書(shū)簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　1 前 言</b></p><p>　　眾所周知不等式作為數(shù)學(xué)的組成部分以及重要的推理工具，

11、被廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。在分析學(xué)中不等式的作用更是不可替代。而其中一些常用不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式更在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。</p><p>　　近年來(lái)這些重要不等式一直受到廣泛的關(guān)注，不少學(xué)者對(duì)他們進(jìn)行了較深入的研究與推廣。本文主要是綜合歸納相關(guān)的研究成果，如Hadmard

12、不等式、Abel不等式、Janous不等式、Cauchy不等式的基本形式和相關(guān)證明，并對(duì)以上四個(gè)重要不等式的推廣做了較系統(tǒng)綜述，并舉例說(shuō)明了它們?cè)诟鞣矫娴木唧w應(yīng)用。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中靈活運(yùn)用不等式可以使一些較為復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論最終甚至可以歸結(jié)為一個(gè)不同尋常的不等式。但是在部分情況下不等式還存在一定的局限性，因此探討重要不等式能夠在哪些情況下發(fā)揮作用，是否能夠得到進(jìn)一步的推廣等問(wèn)題就

13、顯得非常有必要。</p><p>　　大量的學(xué)者對(duì)于不等式的研究已經(jīng)趨于完善，但是仍舊缺少系統(tǒng)性地歸納和梳理。本文希望通過(guò)對(duì)現(xiàn)有研究進(jìn)行總結(jié)與歸納，強(qiáng)化不等式作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)組成部分和一項(xiàng)推理工具的作用，以期更快捷有效地解決部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題，并為今后相關(guān)的生活、工作、學(xué)習(xí)提供一定的參考價(jià)值。</p><p>　　2 常用重要不等式的推廣</p><p>　　重要不等

14、式是指在數(shù)學(xué)的計(jì)算與證明問(wèn)題中常見(jiàn)的不等式。包括排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、冥平均不等式、權(quán)方和不等式、Cauchy不等式、切比雪夫不等式和琴生不等式等等。</p><p>　　鑒于不等式在科學(xué)研究中的重要地位，眾多學(xué)者對(duì)重要不等式繼續(xù)進(jìn)行研究，獲得了一些更好的結(jié)果。</p><p>　　2.1 Hadmard不等式及推廣</p><p>　　2.1.

15、1 Hadmard不等式</p><p>　　定理2.1：設(shè)是是的連續(xù)凸函數(shù)，則對(duì)每一對(duì)有：</p><p>　　證明：因?yàn)槭情_(kāi)區(qū)間上的連續(xù)凸函數(shù)，所以是連續(xù)的，因此可積。因?yàn)椴粌H是的中點(diǎn)，同時(shí)也是和的中點(diǎn)，其中利用為連續(xù)凸函數(shù)，則就有不等式</p><p>　　上式兩邊對(duì)從到積分，經(jīng)計(jì)算后就可以得到：</p><p>　　另一方面由于是連續(xù)

16、凸函數(shù)又可以得到：</p><p><b>　　證畢。 </b></p><p>　　Hadmard不等式（1.1）在不等式理論中占有重要地位，它不僅用來(lái)為證明其他不等式提供理論依據(jù)，還在其他問(wèn)題的求解中有著廣泛的應(yīng)用，例如求最值問(wèn)題和求范圍問(wèn)題等</p><p>　　2.1.2 Hadmard不等式的推廣 </p>&l

17、t;p>　　引理1：設(shè)是中點(diǎn)凸函數(shù)，即</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有，其中。</b></p><p>

18、　　引理2：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，</p><p><b>　　如果那么</b></p><p>　　如果為上的遞增（減）函數(shù)，且，那么成立。</p><p>　　引理3：設(shè)為連續(xù)凸函數(shù)，且</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　。</

19、b></p><p><b>　　如果，那么</b></p><p>　　如果在遞增（減），且，那么也成立。</p><p>　　引理4：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則有</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　其中函數(shù)滿(mǎn)足：</b>

20、</p><p>　　定理2.2：設(shè)是連續(xù)凸函數(shù)，函數(shù)滿(mǎn)足</p><p><b>　　記</b></p><p><b>　　則有</b></p><p>　　。 </p><p><b>　　由于</b></p>&

21、lt;p>　　所以式是式的又一推廣。</p><p>　　證明：在引理3中令再由引理4知不等式則變?yōu)椴坏仁?，證畢。</p><p>　　2.2 Cauchy不等式及推廣 </p><p>　　Cauchy是法國(guó)數(shù)學(xué)家，1789年8月21日出生于巴黎，他對(duì)數(shù)論、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析和微分方程等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究，并獲得了許多重要成果，著名的Cauchy不等

22、式就是其中之一。</p><p>　　Cauchy不等式是著名的不等式之一，且不失為一個(gè)十分完善的重要不等式。它不僅是數(shù)學(xué)分析的重要工具，還與物理學(xué)中的矢量、高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)積空間和賦范空間有著密切的聯(lián)系。在以上相關(guān)解題過(guò)程中，適當(dāng)、巧妙地引入Cauchy不等式，可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，起到事半功倍的效果。</p><p>　　2.2.1 Cauchy不等式</p><p&g

23、t;　　定理2.3：若是任何實(shí)數(shù)，</p><p>　　則有 </p><p>　　(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)</p><p>　　證明：（數(shù)學(xué)歸納法）</p><p>　　當(dāng)時(shí)，等號(hào)顯然成立。</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即有：</p><p><

24、;b>　　則當(dāng)時(shí)，</b></p><p><b>　　證畢。</b></p><p>　　2.2.2 Cauchy不等式的推廣</p><p><b>　　指數(shù)形式</b></p><p>　　引理5：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對(duì)于 和有， </p><p&g

25、t;<b>　　，</b></p><p>　　等號(hào)成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　使</b></p><p>　　若對(duì)每個(gè)至少有一個(gè)時(shí)，則，</p><p>　　（為與無(wú)關(guān)的正值常數(shù)），且對(duì)于，恒有</p><p><b>　　或<

26、;/b></p><p>　　引理6：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)于和有</p><p>　　等號(hào)成立的充要條件是，下面的成立；</p><p><b>　　時(shí)，同引理5；</b></p><p><b>　　時(shí)，且對(duì)</b></p><p><b>　　恒有&l

27、t;/b></p><p><b>　　或</b></p><p>　　在引理5，6中令分別可以得到：</p><p>　　定理2.4：設(shè)為不小于2的自然數(shù)，則對(duì)有</p><p>　　。 </p><p><b>　　定理2

28、.5：設(shè)對(duì)有</b></p><p><b>　　積分形式</b></p><p>　　引理7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)區(qū)間上的任意可積函數(shù)</p><p><b>　　和有：</b></p><p>　　引理7中若或，則分別可以得到：</p><p>　　定理

29、2.6: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　定理2.7: 設(shè)為不小于2的自然數(shù)，對(duì)上的任意可積函數(shù)有：</p><p>　　Cauchy不等式作為數(shù)學(xué)不等式中一個(gè)基礎(chǔ)而且重要的不等式，在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，對(duì)解題時(shí)起了舉足輕重的作用。它將數(shù)列中各項(xiàng)積的和與和的積巧妙的結(jié)合在一起，使得許多問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化。</p&g

30、t;<p>　　2.3 Abel不等式及推廣</p><p>　　2.3.1 Abel不等式</p><p><b>　　定理2.8: 設(shè)則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p>　　此不等式為著名的Abel不等式，它有著廣泛的應(yīng)用，它在雙曲幾何中的地位如同Cauchy不等式

31、在歐氏幾何的地位一樣重要。</p><p>　　2.3.2 Abel不等式的推廣</p><p><b>　　引理8：設(shè)則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p><b>　　引理9：設(shè)，</b></p><p><b>　　則</

32、b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)成立。</p><p><b>　　定理2.9：設(shè) 則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)在且時(shí)成立。</p><p><b>　　證明：因?yàn)闉榇?lt;/b></p><p><b>　　令</b><

33、;/p><p>　　根據(jù)題設(shè)條件及引理9，有</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　從而因此。</b></p><p><b>　　因?yàn)椤?lt;/b></p><p><b>　　運(yùn)用引理9，得</b><

34、;/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到</b></p><p>　　以之帶入上面不等式，得</p>

35、<p><b>　　所以</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p>&

36、lt;p><b>　　于是</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><

37、;p><b>　　。</b></p><p>　　從證明過(guò)程知，上不等式中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)</p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　時(shí)成立。</b></p><p>　　在定理中令便可得到Abel不等式，可見(jiàn)Abel不等式是該定理的一個(gè)特殊形式。&

38、lt;/p><p>　　2.4 Janous不等式及推廣</p><p>　　2.4.1 Janous不等式</p><p>　　奧地利數(shù)學(xué)家W.Janous在1986年曾建立了下述幾何不等式：</p><p>　　定理2.10: 設(shè)的邊BC，CA，AB與面積分別為a,b,c,,記任意一點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離,分別為,則 </p&g

39、t;<p>　　。 </p><p>　　等號(hào)僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時(shí)成立。</p><p>　　2.4.2 Janous不等式的推廣</p><p>　　引理10：設(shè)與的面積分別為，則對(duì)任意一點(diǎn)P有</p><p><b>　　，</b></p><p&g

40、t;　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時(shí)成立。</p><p>　　引理11：設(shè)的三邊與外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑分別為</p><p><b>　　則對(duì)任意實(shí)數(shù)有</b></p><p><b>　　等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立。</b></p><p>　　定理2.11：設(shè)與的面積分別為。又P為任

41、意一點(diǎn)，Q為內(nèi)</p><p>　　部任一點(diǎn)，Q到的距離分別為則</p><p>　　， </p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時(shí)成立。</p><p>　　（注：該不等式在形式上非常優(yōu)美，從已有的文獻(xiàn)來(lái)看，類(lèi)似的涉及兩個(gè)三角形與兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的三角形幾何不等式是十分罕見(jiàn)的。）<

42、;/p><p>　　證明：顯然以為邊長(zhǎng)可構(gòu)成一個(gè)三角形，記其面積為</p><p><b>　　由Heron公式：</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　?。ㄆ渲袨榈陌胫荛L(zhǎng)）易得</p><p><b>　　根據(jù)引理10有</b>

43、</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　接下來(lái)證明：</b></p><p>　　為此，又先來(lái)證有關(guān)與任意正數(shù)的加權(quán)不等式：</p><p>　　按引理11知，欲證上式只要證：</p><p>　　兩邊乘以并利用，即知上式等價(jià)于</p>

44、;<p>　　由顯然的不等式及已知的不等式：</p><p>　　即知前式成立，從而不等式得證。</p><p>　　將不等式中的換成即知，對(duì)與任意的正數(shù)有</p><p><b>　　在上式中取利用</b></p><p><b>　　就可得不等式</b></p>&l

45、t;p><b>　　，</b></p><p><b>　　再根據(jù)不等式</b></p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可知</b></p>&

46、lt;p><b>　　，</b></p><p>　　這顯然等價(jià)于定理的結(jié)論，證畢。</p><p>　　3 常用重要不等式的應(yīng)用</p><p>　　自古以來(lái)，物理量之間大小的比較為現(xiàn)實(shí)世界之必須，這導(dǎo)致了數(shù)學(xué)不等式的產(chǎn)生和發(fā)展。迄今，不等式的重要應(yīng)用已貫穿于當(dāng)代科學(xué)技術(shù)和工程領(lǐng)域的多個(gè)學(xué)科分支。</p><p&g

47、t;　　3.1在代數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　例1：已知正數(shù)滿(mǎn)足證明</p><p>　　證明：由Cauchy不等式及得</p><p>　　又因?yàn)樵诖瞬坏仁絻蛇呁艘?，再加上得從而可得</p><p><b>　　故</b></p><p>　　例2：已知,且，求證：</p>

48、<p><b>　　證明：</b></p><p>　　由權(quán)方和不等式：當(dāng)或 ，有</p><p><b>　　。</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)。</p><p><b>　　可得：</b></p><p><b>

49、;　　左</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　等號(hào)在取得。</b></p><p>　　3.2 在幾何中的應(yīng)用</p><p>　　1.推導(dǎo)空間點(diǎn)到平面的距離和

50、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式</p><p>　　已知點(diǎn)及平面：設(shè)為平面上的一點(diǎn)，則，，</p><p>　　由Cauchy不等式</p><p><b>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立</b></p><p><b>　　即有：</b></p><p><b>　　也就是</

51、b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　所以點(diǎn)到平面的距離公式為：</p><p>　　同樣的辦法可推導(dǎo)出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式為：</p><p><b>　　。</b></p><p>　　2．由Janous不等式及其推廣可以得到以下幾個(gè)漂亮而

52、又簡(jiǎn)潔的猜想。</p><p>　　1）猜想1：對(duì)與任意一點(diǎn)有：</p><p>　　2）猜想2：對(duì)內(nèi)部任意一點(diǎn)有：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　其中分別為的角平分線(xiàn)。</p><p>　　注：雖然上面的2個(gè)猜想尚未得到有效的證明，但我相信在不久的將來(lái)，學(xué)者們對(duì)于J

53、anous不等式的進(jìn)一步研究和推廣，一定會(huì)得到它們的證明。到那個(gè)時(shí)候Janous不等式在三角形中的作用將會(huì)更加的明顯。</p><p>　　3．已知為三角形三邊長(zhǎng)，求證：。</p><p>　　證明：換元：令則不等式</p><p><b>　　由權(quán)方不等式可得</b></p><p>　　故原不等式成立且在即時(shí)取得等號(hào)

54、。</p><p>　　3.3 最值極值問(wèn)題中的應(yīng)用</p><p>　　例3：設(shè)求的最小值。</p><p>　　解： 由Cauchy不等式，可得</p><p>　　例4：已知 且，求的最小值。</p><p>　　證明：由權(quán)方和不等式得</p><p><b>　　，故&

55、lt;/b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值。</p><p>　　例5：證明：存在極小值。</p><p><b>　　證明：因?yàn)?lt;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　求二階偏導(dǎo)數(shù)，得</b>

56、</p><p><b>　　因?yàn)?</b></p><p>　　由Cauchy不等式知 ，</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　又因?yàn)?lt;/b></p&

57、gt;<p><b>　　所以有極小值。</b></p><p>　　3.4 不等式之間的相互推導(dǎo)</p><p>　　1.利用Abel不等式推導(dǎo)Popoviciu不等式。</p><p>　　在定理2.8中令，可得到下面的一個(gè)推論。</p><p><b>　　推論：設(shè)</b><

58、;/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　成立；</b></p><p>　　將代入上面的推論，整理可得到</p><p>　　即Popoviciu不等式。</p><p>　　2．利用Young不等式推導(dǎo)其他不等式。</p><p&

59、gt;　　Young不等式：設(shè)且滿(mǎn)足，則。</p><p>　　應(yīng)用帶的Young不等式知，兩邊在上積分并取</p><p>　　，則馬上得到Holder不等式。</p><p>　　3.5 在概率論中的應(yīng)用</p><p>　　1.在概率論中，線(xiàn)性回歸有樣本相關(guān)系數(shù)，并指出且不等式解釋樣本線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)。</p><p&

60、gt;<b>　　現(xiàn)記，則</b></p><p>　　由Cauchy不等式有，</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，</b></p><p>　　此時(shí)，為常數(shù)，點(diǎn) 均在直線(xiàn)</p><p><b>　　上，</b></p><p><b>　　

61、當(dāng)時(shí)， </b></p><p>　　即 </p><p>　　而 </p><p><b>　　為常數(shù)。</b></p><p>　　此時(shí)，為常數(shù)，點(diǎn)均在直線(xiàn)附近，所以</p><p>　　越接近于1，相關(guān)程度越大。<

62、/p><p><b>　　4 總 結(jié)</b></p><p>　　作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內(nèi)容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不等式理論充滿(mǎn)蓬勃生機(jī)，而且已得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式、Cauchy不等

63、式、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的不等式，并廣泛應(yīng)用于在數(shù)學(xué)分析，對(duì)促進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用。本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及應(yīng)用。經(jīng)過(guò)本次論文的寫(xiě)作，作者從各個(gè)方面加深了對(duì)不等式的了解，也深刻體會(huì)到它們的魅力性。這些不等式在形式、證明和應(yīng)用上，都體現(xiàn)了代數(shù)與分析、概率與分析、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間相互滲透，相互促進(jìn)的內(nèi)在聯(lián)系。正如希爾波特所說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一有機(jī)整體，它的生命力依賴(lài)于各部分的聯(lián)系

64、?！背酥?，通過(guò)這次協(xié)作，本人也增強(qiáng)了自主探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，掌握了研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的立足點(diǎn)和基本思想方法。如掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題的方法是：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——猜測(cè)結(jié)論——分析論證——推廣結(jié)論——應(yīng)用結(jié)果。又如利用類(lèi)比歸納的方法掌握對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多層次全方位的推廣研究，向高維的推廣、向縱深的推廣、類(lèi)比橫向的推廣、反向的推廣以及這幾種推用的廣方法的聯(lián)合使再推廣。</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、分析函數(shù)和偏微

65、方程等學(xué)科中上述不等式的身影處處可見(jiàn)，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識(shí)工具。本文的目的就是通過(guò)對(duì)若干重要不等式的推廣及應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認(rèn)識(shí)到它們的作用。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Ae

66、quat Math, 1985</p><p>　　[2] 文家金，關(guān)于可微函數(shù)的一個(gè)不等式鏈[J]，成都大學(xué)學(xué)報(bào)， 1993</p><p>　　[3] 楊鎮(zhèn)杭，指數(shù)平均與對(duì)數(shù)平均[J] ，數(shù)學(xué)的時(shí)間與認(rèn)識(shí)， 1987</p><p>　　[4] 丁勇 ， 兩類(lèi)平均極其應(yīng)用[J] ，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995</p><p>　　[5]

67、黃麗芳，Cauchy不等式的3種變式及其應(yīng)用，寧德師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2003</p><p>　　[6] 張良云，Cauchy不等式的不同形式及證明，高等數(shù)學(xué)研究，2007</p><p>　　[7] 李文榮，徐本順，凸函數(shù)-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990</p><p>　　[8] 王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994<

68、;/p><p>　　[9] 吳善和 ，Abel不等式的一個(gè)推廣和應(yīng)用，龍巖師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2003</p><p>　　[10] 劉健 ，雙圓n邊形的雙圓半徑不等式[J]。湖南數(shù)學(xué)通訊，1988</p><p>　　[11] 褚小光，關(guān)于三角形一東點(diǎn)的若干不等式[J]，濱州師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2001</p><p>　　[12] 0.Bottema等，單尊譯

69、，幾何不等式，北京大學(xué)出版社，1991</p><p>　　[13] 匡繼昌，常用不等式（M） 長(zhǎng)沙教育出版社， 1993</p><p>　　[14] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989</p><p>　　[15] 鞠建恩.Cauchy不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[

70、J].南平師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2002,21(2):35-38.</p><p>　　[16] 竺歡樂(lè).用Cauchy不等式解釋樣本線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)[J].數(shù)學(xué)通訊.2004,(7):11-12 </p><p><b>　　文獻(xiàn)綜述</b></p><p>　　若干重要不等式的推廣及應(yīng)用　　</p><p><b>　　前

71、言部分</b></p><p>　　眾所周知，不等式作為數(shù)學(xué)本身的一個(gè)組成部分以及一種重要的推理工具，被廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，尤其在分析學(xué)中，如偏微分方程、Sobolev空間等學(xué)科進(jìn)行估值時(shí)，不等式的作用更是不可替代。不等式存在于數(shù)理科學(xué)的方方面面，無(wú)處不在。而其中一些不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式更在數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使

72、得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識(shí)占有廣闊的天地，而一個(gè)個(gè)的重要不等式又把這片天地裝點(diǎn)得更加豐富多彩。通過(guò)大量文獻(xiàn)，我們可以歸納以下幾個(gè)重要不等式。</p><p>　　1．著名的Hadamard不等式可表述為：</p><p><b>　　是連續(xù)凸函數(shù)，則</b></p>&

73、lt;p><b>　　。</b></p><p>　　2． Abel不等式：</p><p><b>　　設(shè)則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p>　　3．Janous不等式：</p><p>　　設(shè)的邊BC，CA，AB，與面積分別為a,b

74、,c,,記任意一點(diǎn)P到頂點(diǎn)</p><p>　　A，B，C的距離,分別為,則</p><p>　　等號(hào)僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時(shí)成立。</p><p>　　從大量文獻(xiàn)中我們可以發(fā)現(xiàn)這些重要不等式幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域而且處處扮演著精彩的角色，原因在于他們不僅能深刻地描述許多數(shù)學(xué)量之間的內(nèi)在本質(zhì)關(guān)系，得到所需要的結(jié)論，還能把許多已有的從不同方法得來(lái)的不等式用一種統(tǒng)

75、一的方法簡(jiǎn)便地推導(dǎo)出來(lái)，它們也是推廣已有的不等式，發(fā)現(xiàn)新的不等式的一種強(qiáng)有力的工具，在其他各種應(yīng)用性較強(qiáng)的學(xué)科或領(lǐng)域中的應(yīng)用，更加顯示了它迷人的魅力。我們無(wú)法想象沒(méi)有Hadamard不等式、Abel不等式、Janous不等式以及其他一些不等式的數(shù)學(xué)將會(huì)是什么狀況。</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識(shí)占有廣闊的天地，靈活應(yīng)用這些不等式，可以使一些較為復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論甚至往往最終歸結(jié)為一個(gè)不

76、同尋常的不等式，但是在不同的場(chǎng)合，不同的問(wèn)題上我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這些不等式還存在一定的局限性，因此我們需要探討這些重要不等式還可以在哪些場(chǎng)合發(fā)揮他們的重要作用，是否還可以進(jìn)一步的推廣。</p><p><b>　　主題部分</b></p><p>　　眾所周知，不等式理論在數(shù)學(xué)理論中占有重要地位，它滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，因此有必要對(duì)不等式理論的發(fā)展歷史有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)。<

77、;/p><p>　　數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國(guó)家興起，東歐國(guó)家有一個(gè)較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國(guó)家。目前，對(duì)不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者邊部世界各個(gè)國(guó)家。</p><p>　　在數(shù)學(xué)不等式理論發(fā)展史上有兩個(gè)具有分水嶺意義的時(shí)間，分別是Chebycheff在1882年發(fā)表的論文和1928年Hardy任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席屆滿(mǎn)時(shí)的演講。Hardy，Littlewood和Play的著作Inequa

78、lities的前言中對(duì)不等式的哲學(xué)給出了有見(jiàn)地的見(jiàn)解；一般來(lái)講初等的不等式應(yīng)該有初等的證明，證明應(yīng)該是“內(nèi)在”的，而且應(yīng)該給出等號(hào)成立的證明。A.M.Fink認(rèn)為，人們應(yīng)該盡量陳述和證明不能推廣的不等式。Hardy認(rèn)為，基本的不等式是初等的。自從著名數(shù)學(xué)家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G.Plya的著作Inequalities于1934年出版以來(lái)，數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的研究正式粉墨登場(chǎng)，成為一門(mén)新興數(shù)學(xué)學(xué)科，從此不

79、等式不再是一些零星散亂的、孤立的公式綜合，它已發(fā)展成為一套系統(tǒng)的科學(xué)理論。</p><p>　　20世紀(jì)70年代以來(lái)，國(guó)際上每四年在德國(guó)召開(kāi)一次一般不等式國(guó)家學(xué)術(shù)會(huì)議，并出版專(zhuān)門(mén)的會(huì)議論文集。不等式理論也是2000年在意大利召開(kāi)的第三界世界非線(xiàn)性分析學(xué)家大會(huì)的主題之一。2000年和2001年在韓國(guó)召開(kāi)的第6屆和第7屆非線(xiàn)性泛涵分析和應(yīng)用國(guó)際會(huì)議與2000年在我國(guó)大連理工大學(xué)召開(kāi)的ISAAC都將數(shù)學(xué)不等式作為主要的

80、議題安排在會(huì)議日程之中。</p><p>　　20世紀(jì)80年代以來(lái)在中國(guó)大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀(jì)80年代楊路等教授對(duì)幾何不等式研究的一系列開(kāi)創(chuàng)性工作，將我國(guó)幾何不等式的研究推向高潮，在代數(shù)不等式方面，王挽讕教授對(duì)Fanky不等式的深入研究達(dá)到國(guó)際領(lǐng)先水平。祁鋒教授極其領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對(duì)分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國(guó)科學(xué)》

81、上的論文《一個(gè)不等式極其若干應(yīng)用》，針對(duì)Holder不等式的缺陷提出一個(gè)全新的不等式，被美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論稱(chēng)之為“一個(gè)杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱(chēng)之為胡克不等式，胡克教授對(duì)這個(gè)不等式極其應(yīng)用作出了系統(tǒng)而深刻的研究。</p><p>　　歷史上，華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域作出過(guò)重要貢獻(xiàn)，包括華羅庚，林東坡，徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家。最近幾年我國(guó)有許多數(shù)學(xué)工作者始終活躍在國(guó)際數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的領(lǐng)域，他們?cè)?/p>

82、相關(guān)方面做出了獨(dú)特的貢獻(xiàn)，引起國(guó)內(nèi)外同行的注意和重視。例如：王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、楊國(guó)勝教授等。</p><p>　　目前國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌的專(zhuān)著《常用不等式》一書(shū)由于供不應(yīng)求，在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第2版，重印過(guò)多次。對(duì)于數(shù)學(xué)專(zhuān)著來(lái)講，這是少有的現(xiàn)象。第二本較有影響的專(zhuān)著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。另外，國(guó)內(nèi)還有一個(gè)不等式研究小組比較活

83、躍，主辦一個(gè)《不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物。</p><p>　　在眾多的科研問(wèn)題中，我們常常需要進(jìn)行估值計(jì)算。估值的精度直接影響到我們研究結(jié)果的成敗。不等式是我們進(jìn)行估值的重要工具，因此要求在熟悉若干重要不等式的基礎(chǔ)上，研究這些不等式可否進(jìn)一步推廣，這些工作對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是困難的，可喜的是從大量文獻(xiàn)中我們可以得到這幾個(gè)重要的不等式的推廣和應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式

84、的推廣和應(yīng)用</p><p><b>　?。?）推廣：</b></p><p>　　1.1定理：設(shè)是連續(xù)凸函數(shù)，函數(shù)</p><p><b>　　滿(mǎn)足</b></p><p><b>　　記則有</b></p><p>　　1.2定理:設(shè)在上連續(xù)，則&l

85、t;/p><p><b>　　1.3定理：設(shè)，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　（2）應(yīng)用</b></p><p>　　1.4 推論： 設(shè)是中點(diǎn)凸函數(shù)，即</p><p><b>　　記 ，<

86、/b></p><p><b>　　則有 </b></p><p>　　1.5推論：設(shè)為兩個(gè)正實(shí)數(shù)的重階Stolarsky平均,則當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　　成立，</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，取等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，不等號(hào)反向成立。</p><p>　　注：當(dāng)

87、時(shí)又可以得到關(guān)于所滿(mǎn)足的不等式鏈以及是數(shù)學(xué)中極其重要的幾種平均，且它們有著廣泛的實(shí)際意義，因此通過(guò)Hadamard不等式來(lái)推廣這些平均是很有意義的課題。</p><p>　　Abel不等式的推廣和應(yīng)用</p><p><b>　　(1) 推廣</b></p><p><b>　　2.1定理：設(shè) 則</b></p>

88、;<p><b>　　，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)在</b></p><p><b>　　且時(shí)成立。</b></p><p>　　2.2 引理: 設(shè)則</p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p><b>　　2.3定理：設(shè)</b></p><

89、p><b>　　，則不等式</b></p><p><b>　　(2)應(yīng)用 </b></p><p>　　2.4推論:在定理2.1中，令便可得到Abel不等式；特別地，在定理中令即可得到著名的Popoviciu不等式的推廣形式。</p><p><b>　　2.5推論：設(shè)則</b></p&

90、gt;<p><b>　　成立；</b></p><p>　　在上述不等式中，令便可得到Popoviciu不等式。</p><p>　　Janous不等式的推廣和應(yīng)用</p><p><b>　　推廣</b></p><p>　　3.1定理 : 設(shè)與的面積分別為。又P為任意一點(diǎn)，Q為內(nèi)

91、部任一點(diǎn)，Q到的距離分別為則</p><p><b>　　，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，</b></p><p>　　均為正三角形且P與Q分別為它們的中心時(shí)成立。</p><p>　　3.2引理 :設(shè)與的面積分別為，則對(duì)任意一點(diǎn)P有</p><p>　　，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)與為相似的銳角三角形，且P為的垂心時(shí)成立。</p>&

92、lt;p>　　3.3 不等式加強(qiáng)： </p><p>　　，其中為相應(yīng)邊上的中線(xiàn)。</p><p><b>　　應(yīng)用</b></p><p>　　3.4推論：設(shè)的邊分別為其符號(hào)同上，則對(duì)任</p><p><b>　　意一點(diǎn)P有</b></p><p>　　特別地，

93、令為正三角形，則又可得</p><p>　　3.5推論：對(duì)與任一點(diǎn)有</p><p>　　從文獻(xiàn)和學(xué)者的工作中我們可以發(fā)現(xiàn)，今后不等式的研究，可以從以下4個(gè)方面考慮：</p><p>　　1)推廣和改進(jìn)現(xiàn)有的不等式；2)建立新的不等式；3)擴(kuò)大不等式的應(yīng)用范圍，4)探索不等式的證明方法。研究的領(lǐng)域可以總結(jié)為:1)如何用不等式去刻劃各種函數(shù)空間，2)在函數(shù)論，<

94、/p><p>　　特別是函數(shù)逼近論中，有正定理，即從函數(shù)F的構(gòu)造性質(zhì)去推斷最佳逼近收斂速度，以及逆定理，3)在概率中許多定律是通過(guò)不等式陳述的，因此概率統(tǒng)計(jì)中的不等式的研究一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn)之一，4)用不等式估計(jì)各種問(wèn)題近似解的誤差，5)幾何學(xué)中的不等式，應(yīng)該特別關(guān)注凸體理論和等周不等式，6)線(xiàn)性規(guī)劃（運(yùn)輸調(diào)配、生產(chǎn)安排、產(chǎn)品用料配方、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃等）歸結(jié)為一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)。</p><p>　　要

95、追尋一個(gè)眾所周知的不等式的起源常常是很困難的，很可能它是在一篇關(guān)于幾何學(xué)或天文學(xué)方面的論文作為一個(gè)輔助命題（通常缺乏明確的論證）首先出現(xiàn)的。過(guò)了若干年之后，它或許又被許多其他作者重新發(fā)現(xiàn)，但可能始終缺乏容易理解且十分完善的敘述。我們總會(huì)發(fā)現(xiàn)，即使對(duì)于那些最著名的不等式，也還是可以添加一些新的內(nèi)容。就象上述的一些不等式的推廣和應(yīng)用，反映了這些數(shù)學(xué)家孜孜不倦的辛勞和他們的用心，他們的注意力不只限于他們當(dāng)時(shí)所考慮的問(wèn)題。從普遍性和完整性的角度

96、，使得他們對(duì)這些不等式進(jìn)行不懈的思考，終于完成推廣、擴(kuò)大其應(yīng)用范圍，使之臻于完善，在我們看來(lái)這的確是一項(xiàng)艱難的工作。著名分析學(xué)家Michiel Hazewinkel在他的書(shū)中寫(xiě)到：“有時(shí)我有這樣的感覺(jué)，數(shù)學(xué)（特別是分析學(xué)）就是不等式”。不等式理論在未來(lái)的作用可見(jiàn)一斑。目前，對(duì)不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍布世界各個(gè)國(guó)家，而不等式的作用越來(lái)越明顯，相信對(duì)于這些不等式的研究將會(huì)繼續(xù)持續(xù)下去。</p><p><

97、b>　　三、總結(jié)部分</b></p><p>　　作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，不等式有著悠久的發(fā)展歷史和極其豐富的內(nèi)容。由其悠久的發(fā)展歷史可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不等式理論充滿(mǎn)蓬勃生機(jī)、興旺發(fā)達(dá)，而且已得到突飛猛進(jìn)的發(fā)展。作為一種基本的工具，不等式在數(shù)學(xué)學(xué)科與其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　Hadarmard不等式、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的

98、不等式，在數(shù)學(xué)分析中有著廣泛的應(yīng)用，對(duì)于促進(jìn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了非常重要的作用，本文主要介紹了它們的基本形式、推廣形式以及幾個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用。</p><p>　　在數(shù)學(xué)分析、調(diào)和函數(shù)、分析函數(shù)和偏微方程等學(xué)科中上述不等式的身影處處可見(jiàn)，是使用得最為頻繁，最為廣泛的知識(shí)工具。本文的目的就是通過(guò)對(duì)這3個(gè)不等式的推廣及應(yīng)用相關(guān)內(nèi)容的整理歸納，使人們能夠更加清楚的認(rèn)識(shí)到它們的作用。</p><p>　

99、　最后通過(guò)文獻(xiàn)了解到不等式的研究前景和范圍是極其廣泛的，由此了解重要不等式的研究前景是十分廣闊的。</p><p>　　四、參考文獻(xiàn)（根據(jù)文中參閱和引用的先后次序按序編排）、</p><p>　　[1] Mitrinovic D S, Lackovic I B. Hermite and convexity[J].Aequat Math, 1985</p><p>　

100、　[2] 匡繼昌，常用不等式（M） 長(zhǎng)沙教育出版社， 1993</p><p>　　[3] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989</p><p>　　[4] GAO Ming-Zhe, WEI Shang-rong, On the Hilbert Inequality with Weight

101、s[J].Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,2002</p><p>　　[5] 田琳 ，黃常春，李海龍，樂(lè)山師范學(xué)院學(xué)報(bào)第22卷12期 ，2007</p><p>　　[6] 文家金，關(guān)于可微函數(shù)的一個(gè)不等式鏈[J]，成都大學(xué)學(xué)報(bào)， 1993</p><p>　　[7] 楊鎮(zhèn)杭，指數(shù)平均與對(duì)數(shù)平均[J] ，

102、數(shù)學(xué)的時(shí)間與認(rèn)識(shí)， 1987</p><p>　　[8] 丁勇 ， 兩類(lèi)平均極其應(yīng)用[J] ，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995</p><p>　　[9] 孫明保，關(guān)于凸函數(shù)的雙參數(shù)平均不等式[J]，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1997</p><p>　　[10]李文榮，徐本順，凸函數(shù)-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990</p><p>　　

103、[11]王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994</p><p>　　[12]吳善和 ，Abel不等式的一個(gè)推廣和應(yīng)用，龍巖師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2003</p><p>　　[13]劉健 ，雙圓n邊形的雙圓半徑不等式[J]。湖南數(shù)學(xué)通訊，1988</p><p>　　[14]褚小光，關(guān)于三角形一東點(diǎn)的若干不等式[J]，濱州師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2001<

104、;/p><p>　　[15]0.Bottema等，單尊譯，幾何不等式，北京大學(xué)出版社，1991</p><p>　　[16] 匡繼昌，一般不等式研究在中國(guó)的新進(jìn)展，自然科學(xué)報(bào)，2005</p><p><b>　　開(kāi)題報(bào)告</b></p><p><b>　　數(shù)理與信息工程學(xué)院</b></p>

105、;<p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)）</p><p>　　數(shù)學(xué)不等式的研究首先從歐洲國(guó)家興起，東歐國(guó)家有一個(gè)較大的研究群體，特別是原南斯拉夫國(guó)家。目前，對(duì)不等式理論感興趣的數(shù)學(xué)工作者遍部世界各個(gè)國(guó)家。</p><p>　　20世紀(jì)70年代以來(lái)，國(guó)際上每四年在德國(guó)召開(kāi)一次一般不等式國(guó)家學(xué)術(shù)會(huì)議，并出版專(zhuān)門(mén)的會(huì)議論文集。不等式理論也是

106、2000年在意大利召開(kāi)的第三界世界非線(xiàn)性分析學(xué)家大會(huì)的主題之一。2000年和2001年在韓國(guó)召開(kāi)的第6屆和第7屆非線(xiàn)性泛涵分析和應(yīng)用國(guó)際會(huì)議與2000年在我國(guó)大連理工大學(xué)召開(kāi)的ISAAC都將數(shù)學(xué)不等式作為主要的議題安排在會(huì)議日程之中。</p><p>　　20世紀(jì)80年代以來(lái)在中國(guó)大地上出現(xiàn)了持續(xù)高漲的不等式研究熱潮。20世紀(jì)80年代楊路等教授對(duì)幾何不等式研究的一系列開(kāi)創(chuàng)性工作，將我國(guó)幾何不等式的研究推向高潮，在

107、代數(shù)不等式方面，王挽讕教授對(duì)Fanky不等式的深入研究達(dá)到國(guó)際領(lǐng)先水平。祁鋒教授極其領(lǐng)導(dǎo)的研究群體在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系統(tǒng)的前沿研究成果；對(duì)分析不等式，胡克教授于1981年發(fā)表在《中國(guó)科學(xué)》上的論文《一個(gè)不等式極其若干應(yīng)用》，針對(duì)Holder不等式的缺陷提出一個(gè)全新的不等式，被美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論稱(chēng)之為“一個(gè)杰出的非凡的新的不等式”，現(xiàn)在稱(chēng)之為胡克不等式，胡克教授對(duì)這個(gè)不等式極其應(yīng)用作出了系統(tǒng)而深刻的研究。</p>

108、;<p>　　歷史上，華人數(shù)學(xué)家在不等式領(lǐng)域作出過(guò)重要貢獻(xiàn)，包括華羅庚，林東坡，徐利治、王忠烈、王興華等老一代數(shù)學(xué)家。最近幾年我國(guó)有許多數(shù)學(xué)工作者始終活躍在國(guó)際數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的領(lǐng)域，他們?cè)谙嚓P(guān)方面做出了獨(dú)特的貢獻(xiàn)，引起國(guó)內(nèi)外同行的注意和重視。例如：王挽瀾教授、石煥南教授、楊必成教授、楊國(guó)勝教授等。</p><p>　　目前國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)不等式理論極其應(yīng)用的研究也有較豐富的成果。例如匡繼昌的專(zhuān)著

109、《常用不等式》一書(shū)由于供不應(yīng)求，在短短的幾年內(nèi)已經(jīng)出版了第2版，重印過(guò)多次。對(duì)于數(shù)學(xué)專(zhuān)著來(lái)講，這是少有的現(xiàn)象。第二本較有影響的專(zhuān)著是王松桂和賈忠貞合著的《矩陣論中不等式》。另外，國(guó)內(nèi)還有一個(gè)不等式研究小組比較活躍，主辦一個(gè)《不等式研究通訊的內(nèi)部交流刊物。</p><p>　　從文獻(xiàn)和學(xué)者的工作中我們可以發(fā)現(xiàn)，今后不等式的研究，可以從以下4個(gè)方面考慮：</p><p>　　1)推廣和改進(jìn)現(xiàn)有

110、的不等式；2)建立新的不等式；3)擴(kuò)大不等式的應(yīng)用范圍，4)探索不等式的證明方法。研究的領(lǐng)域可以總結(jié)為:1)如何用不等式去刻劃各種函數(shù)空間，2)在函數(shù)論，</p><p>　　特別是函數(shù)逼近論中，有正定理，即從函數(shù)F的構(gòu)造性質(zhì)去推斷最佳逼近收斂速度，以及逆定理，3)在概率中許多定律是通過(guò)不等式陳述的，因此概率統(tǒng)計(jì)中的不等式的研究一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn)之一，4)用不等式估計(jì)各種問(wèn)題近似解的誤差，5)幾何學(xué)中的不等式，

111、應(yīng)該特別關(guān)注凸體理論和等周不等式，6)線(xiàn)性規(guī)劃（運(yùn)輸調(diào)配、生產(chǎn)安排、產(chǎn)品用料配方、經(jīng)濟(jì)計(jì)劃等）歸結(jié)為一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問(wèn)題</p><p>　　在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，不等式知識(shí)占有廣闊的天地，而一個(gè)個(gè)的重要不等式又把這片天地裝點(diǎn)得更加豐富多彩。而其中一些不等式如Hadmard不等式、Abel不等式、Janous不等式以及其他不等式更是在數(shù)學(xué)的理論基

112、礎(chǔ)理論的創(chuàng)建、延伸、和應(yīng)用上起著非凡的作用，這使得不等式的研究成了當(dāng)前數(shù)學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。</p><p>　　1．著名的Hadamard不等式可表述為：</p><p><b>　　是連續(xù)凸函數(shù)，則</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　2． Abel不等式：<

113、/p><p><b>　　設(shè)則</b></p><p>　　等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。</p><p>　　3．Janous不等式：</p><p>　　設(shè)的邊BC，CA，AB，與面積分別為a,b,c,,記任意一點(diǎn)P到頂點(diǎn)</p><p>　　A，B，C的距離,分別為,則</p><p

114、>　　等號(hào)僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時(shí)成立。</p><p>　　靈活應(yīng)用這些不等式，可以使一些較為困難的問(wèn)題迎刃而解，一套數(shù)學(xué)理論甚至往往最終歸結(jié)為一個(gè)不同尋常的不等式，但是在不同的場(chǎng)合，不同的問(wèn)題上我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這些不等式還存在一定的局限性，由此我們需要探討這些重要不等式還可以在哪些場(chǎng)合發(fā)揮他們的重要作用，是否還可以進(jìn)一步的推廣。因此我的論文工作著重于Abel、Hadmard、Janous等一些重要不等式的

115、歸納總結(jié)；分別討論這些不等式的推廣形式以及論述這些不等式及其推廣形式的應(yīng)用。</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線(xiàn)、研究難點(diǎn)，預(yù)期達(dá)到的目標(biāo)</p><p>　　通過(guò)大量的文獻(xiàn)了解到不等式的研究前景和范圍是極其廣泛的。今后不等式的研究，可以從以下4個(gè)方面考慮：1)推廣和改進(jìn)現(xiàn)有的不等式；2)建立新的不等式；3)擴(kuò)大不等式的應(yīng)用范圍，4)探索不等式的證明方法。本論文的目的就是若干重要

116、不等式的推廣和應(yīng)用，以達(dá)到對(duì)不等式有更好的了解。參考一些文獻(xiàn)和質(zhì)資料，通過(guò)自己對(duì)資料的學(xué)習(xí)及理解，在此基礎(chǔ)上，將別人的努力和自己的努力結(jié)合起來(lái)，相信會(huì)得到一些有用的結(jié)論。</p><p>　　研究的難點(diǎn)在于，不等式知識(shí)多且煩瑣，本身對(duì)于不等式的了解有限，因而在摸索過(guò)程中可能會(huì)遇到很多沒(méi)學(xué)習(xí)到的知識(shí)，自身獨(dú)立研究這些不等式的推廣和應(yīng)用難度很大，在這方面只有通過(guò)自己多看書(shū)，多找質(zhì)料，多和指導(dǎo)老師討論來(lái)解決。諸多文獻(xiàn)中

117、這些不等式的推廣和應(yīng)用較多，但是雜且亂，將他們的成果進(jìn)行整理和歸納也是一項(xiàng)不易的工作。</p><p>　　大量的學(xué)者對(duì)于不等式的研究已經(jīng)趨于完美，本論文的目的就是在前人工作的前提之下，對(duì)他們的工作進(jìn)行總結(jié)與歸納，以更好的解決一些數(shù)學(xué)上的問(wèn)題，例如運(yùn)用不等式我們可以進(jìn)行估值，求最優(yōu)解等等。重要不等式可以幫助我們就解決很多的問(wèn)題，因此想對(duì)這些不等式做進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，希望可以在以后的生活、工作、學(xué)習(xí)中會(huì)有幫助。<

118、/p><p>　　四、論文詳細(xì)工作進(jìn)度和安排</p><p>　　2011-02-21至2011-03-20 完成初稿；2011-03-21至2011-04-20 在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第一次修改；2011-04-21至2011-05-20 在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成第二次修改并定稿；2011-05-21至2011-05-23 準(zhǔn)備論文答辯。五、主要參考文獻(xiàn)：</p><

119、;p>　　（所列出的參考文獻(xiàn)原則上不少于10篇，并應(yīng)有不少于2篇的外文文獻(xiàn)）</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)格式： </b></p><p>　　[1] 胡克，解析不等式的若干問(wèn)題[M]，武漢大學(xué)出版社，2003</p><p>　　[2] 匡繼昌，常用不等式（M） 長(zhǎng)沙教育出版社， 1993</p><p

120、>　　[3] D.S.mitrinovic, P.E.Pecaric andV.Volenec ,in Inequalities[M],1989</p><p>　　[4] GAO Ming-Zhe, WEI Shang-rong, On the Hilbert Inequality with Weights[J].Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,

121、2002</p><p>　　[5] 田琳 ，黃常春，李海龍，樂(lè)山師范學(xué)院學(xué)報(bào)第22卷12期 ，2007</p><p>　　[6] 文家金，關(guān)于可微函數(shù)的一個(gè)不等式鏈[J]，成都大學(xué)學(xué)報(bào)， 1993</p><p>　　[7] 楊鎮(zhèn)杭，指數(shù)平均與對(duì)數(shù)平均[J] ，數(shù)學(xué)的時(shí)間與認(rèn)識(shí)， 1987</p><p>　　[8] 丁勇 ， 兩類(lèi)平均

122、極其應(yīng)用[J] ，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1995</p><p>　　[9] 孫明保，關(guān)于凸函數(shù)的雙參數(shù)平均不等式[J]，數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1997</p><p>　　[10]李文榮，徐本順，凸函數(shù)-不等式-平均值[M]，遼寧教育出版社，1990</p><p>　　[11]王向東，蘇化明，王方漢，不等式、理論、方法，河南教育出版社，1994</p>&