高中數(shù)學(xué)競賽中有關(guān)不等式的研究【開題報告+文獻(xiàn)綜述+畢業(yè)論文】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　高中數(shù)學(xué)競賽中有關(guān)不等式的研究</p><p>　　一、選題的背景與意義</p><p>　　在數(shù)學(xué)知識體系內(nèi)部不等式占據(jù)著非常重要的地位，而且在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中有這巨大的應(yīng)用

2、價值，對學(xué)生能力的培養(yǎng)也起到了不可估量的作用，蘊(yùn)含著極其豐富的數(shù)學(xué)思想。若能有效的運(yùn)用其數(shù)學(xué)思想去分析問題、解決問題，在解題中大為有益。而高中的數(shù)學(xué)競賽中包含著不等式的重要思想及方法的應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)競賽的重要的內(nèi)容。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的主要問題</p><p><b>　　淺談不等式的歷史</b></p><p>

3、;　　不等式中包含的數(shù)學(xué)思想及方法</p><p>　　探究不等式思想及方法在高中數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用及舉例</p><p>　　不等式數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域的應(yīng)用</p><p>　　三、研究的方法與技術(shù)路線</p><p>　　采用觀察法對08—10年高中數(shù)學(xué)競賽有關(guān)的不等式題目收集</p><p>　　采用調(diào)查法了解08—10

4、年高中數(shù)學(xué)競賽中有關(guān)不等式的題目的重要程度</p><p>　　采用文獻(xiàn)研究法對相關(guān)文獻(xiàn)的研究獲得競賽不等式的各種解題方法</p><p>　　采用對于不等式經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法探究競賽不等式的新解法</p><p>　　四、研究的總體安排與進(jìn)度</p><p>　　2010.12.8：提交文獻(xiàn)綜述。 2010.12．10—210.12.15：提交開

5、題報告，提交外文翻譯。</p><p>　　2010.12.20: 準(zhǔn)備開題，開題論證2011.4.4：提交畢業(yè)論文。 2011.4.5－2011.4.29：完成畢業(yè)論文的修改與完善。 2011年5月1日前：準(zhǔn)備畢業(yè)論文答辯及正式答辯。</p><p><b>　　五、主要參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　1.G.波利亞（涂泓、馮承天

6、譯）.《怎樣解題》[M].上?？萍冀逃霭嫔?2007,5</p><p>　　2. 李名德,李勝宏.《高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程》（一試）[M].浙江大學(xué)出版社.2007,3(2)135~152</p><p>　　3. 陳卓華.利用平凡不等式證明競賽不等式[J].《中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊》.2008,8，95</p><p>　　4. 武增明.求解抽象函數(shù)不等式問題的探究策

7、略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,8,16~17</p><p>　　5. 趙維奇.柯西不等式的多種應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,7,18~20</p><p>　　6. 代志強(qiáng).放縮法——解數(shù)列與不等式問題的好幫手[J].湖南教育下旬.2010,8,56</p><p>　　7. 李淑燕. 一個不等式的證法再探[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010

8、,7,23~24</p><p>　　8. 施耀選,李建華. 巧用“均值不等式”的幾類方法[J].　數(shù)學(xué)教學(xué)研究.2010,29(8),54~55</p><p><b>　　外文翻譯：</b></p><p>　　9. Tasos C.Christofides. Maximal inequalities for demimartingales

9、 and a strong law of large numbers[J]. Department of Mathematics and Statistics.6 June 2000, Pages 357~363 </p><p>　　10. Efim Gluskin, Vitali Milman. Several kinds of inequality [J]. Comptes Rendus Mathemati

10、que. 30 April 2002, Pages 875-879</p><p><b>　　畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</b></p><p>　　高中數(shù)學(xué)競賽中有關(guān)不等式的研究</p><p>　　不等式研究首先從歐洲國家興起，東歐國家有一個較大的研究

11、群體，特別是原南斯拉夫國家。目前，對不等式理論的研究的數(shù)學(xué)學(xué)者已經(jīng)遍布世界各個國家。當(dāng)一個人站在滿天星空之下，我們一定會為數(shù)之不盡的點(diǎn)點(diǎn)星光而感嘆，也一定會為了特別閃亮的星星而特別的注視。同樣，數(shù)學(xué)中不等式也是那么那么的繁多。在現(xiàn)在的不等式理論里，包含了更加全面的知識理論，回首過去，我們知道不等式理論是從C.F.Gauss，A.L.Cauchy（只舉極為最重要的）奠定近似方法的理論基礎(chǔ)時開始發(fā)展起來的。大約在十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初，許多

12、不等式被證明了，其中一些成為了經(jīng)典不等式，而大多則是孤立的、無聯(lián)系的結(jié)果。1934年出版的G..H..Hardy的經(jīng)典著作《不等式》，不等式領(lǐng)域從孤立公式的匯集改造成為系統(tǒng)的學(xué)科，這是全世界幾乎公認(rèn)的。</p><p>　　1.G.波利亞（涂泓、馮承天譯）.《怎樣解題》[M].上?？萍冀逃霭嫔?2007,5</p><p>　　世界著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞的《怎樣解題》中文版于194

13、8年問世，距今已60周年．在介紹波利亞生平的基礎(chǔ)上，論述了3個方面的問題：（1）《怎樣解題》的基本思想以及學(xué)者們研究發(fā)展它的情況；（2）波利亞的數(shù)學(xué)教育思想；（3）在學(xué)習(xí)接受波利亞數(shù)學(xué)教育思想的過程中應(yīng)注意的問題.</p><p>　　評論：這本書首先，讓我們重溫波利亞這位偉大數(shù)學(xué)教育家的思想精髓；其次，讓我們了解數(shù)學(xué)教育工作的前輩們在6o年以前的民國時期做了些什么；再次，讓我們認(rèn)真地思考在新的條件下如何有效地發(fā)

14、展波利亞的數(shù)學(xué)教育思想．在新的條件下如何有效地發(fā)展波利亞的數(shù)學(xué)教育思想．</p><p>　　2.李名德,李勝宏.《高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程》（一試）[M].浙江大學(xué)出版社.2007,3(2)135~152</p><p>　　為了適應(yīng)廣大中學(xué)生對數(shù)學(xué)奧林匹克競賽知道教程的需要，以及為從事中學(xué)數(shù)學(xué)工作者指導(dǎo)學(xué)生提供有益的參考資料，由浙江大學(xué)教授、博士生導(dǎo)師、全國數(shù)學(xué)奧林匹克競賽領(lǐng)隊(duì)李勝宏和浙江

15、大學(xué)教授李名德先生主編的《高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程》（一試）為我們指引了方向.</p><p>　　評論：本書詳細(xì)的講解了高中競賽不等式的各種題型的證明、解法、應(yīng)用以及三個重要不等式.</p><p>　　3. 陳卓華.利用平凡不等式證明競賽不等式[J].《中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊》.2008,8，95</p><p>　　本文通過對《尋找匹配因子證明不等式》,《競賽不等式的創(chuàng)

16、新證法—向量內(nèi)積法》、《也談一類競賽不等式的創(chuàng)新證法》三個文章中的不等式證明方法的研究和總結(jié),設(shè)計出了利用本文列舉的不等式來證明方法簡單.</p><p>　　評論：本文通過例題詳細(xì)的講解了如何利用匹配因子的方法，構(gòu)造均值不等式證明不等式；如何利用向量內(nèi)積的方法，構(gòu)造向量來證明不等式；如何利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，構(gòu)造離散型隨機(jī)變量的概率分布證明不等式。方法新穎，但構(gòu)造需要技巧.</p><p>

17、;　　4. 武增明.求解抽象函數(shù)不等式問題的探究策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,8,16~17</p><p>　　縱觀近幾年的高考試題，抽象函數(shù)不等式問題一直倍受命題者的關(guān)注．這類問題往往具有抽象性、綜合性、技巧性、隱蔽性等特點(diǎn)．為此，筆者以近兩年出現(xiàn)的一類典型抽象函數(shù)不等式問題為例，認(rèn)真分析和總結(jié)了幾種解決這一類問題的常用方法，以期對大家有所幫助.</p><p>　　評論：

18、由本文的數(shù)例可知，對于求解抽象函數(shù)不等式問題，往往需要綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、定義域及值域等知識．</p><p>　　5. 趙維奇.柯西不等式的多種應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,7,18~20</p><p>　　著名的柯西不等式是：對任意的兩組數(shù)據(jù)a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn有不等式（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋b

19、n^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2．當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=····=bn=0,或，a1/b1=a2/b2=····=an/bn時，等號成立.</p><p>　　評論：柯西不等式是高中數(shù)學(xué)競賽中一個重要的基本不等式，在應(yīng)用柯西不等式解題時，應(yīng)注意不等式的各種變式應(yīng)用.</p><p>　　6.代志

20、強(qiáng).放縮法——解數(shù)列與不等式問題的好幫手[J].湖南教育下旬.2010,8,56</p><p>　　數(shù)列與不等式綜合問題的解決過程體現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力,是考查數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)思想方法的好素材.因此,這類題常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中,是歷年命題的熱點(diǎn).解決這類問題的方法比較多，而且有很強(qiáng)的技巧性．本文從常見的兩種數(shù)列不等式的題型入手，分析用放縮法解決數(shù)列與不等式綜合問題的途徑.</p>&l

21、t;p>　　評論：放縮法是數(shù)列與不等式綜合問題中常用的處理方法，“積式”及“和式”的各項(xiàng)放縮變形是問題解決的關(guān)鍵．因此，要結(jié)合題目的特點(diǎn)，將各項(xiàng)放大或縮小成為特殊數(shù)列的形式，方便求積或求和，從而</p><p><b>　　得證．</b></p><p>　　7. 李淑燕. 一個不等式的證法再探[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,7,23~24</p&g

22、t;<p>　　題目 設(shè)a、b是正數(shù)，且a＋b=1，求證（a＋1）^2＋（b＋1）^2≥9/2. 該題是一道經(jīng)典的不等式證明題．由于思維方式和思維水平的不同，可獲多種證明方法.</p><p>　　評論：此論文從多個角度多種方式證明這道經(jīng)典不等式，全方位的總結(jié)了高中競賽不等式的各種解法.</p><p>　　8. 施耀選,李建華. 巧用“均值不等式”的幾類方法[J].　數(shù)學(xué)教

23、學(xué)研究.2010,29(8),54~55</p><p>　　“均值不等式”在證明不等式及各類最值問題中具有廣泛的應(yīng)用．然而由于其表現(xiàn)形式的多樣性。需要經(jīng)過適，當(dāng)?shù)淖冃魏吞幚恚疚慕Y(jié)合典型例題給出了巧用“均值不等式”的幾類方法.</p><p>　　評論：“均值不等式”是證明不等式及其各類最值的一個重要依據(jù)和方法，應(yīng)用廣泛，具有變通靈活性和條件約束性特點(diǎn)，它是考查素質(zhì)、能力的一個窗口，也是

24、高考數(shù)學(xué)備考的一個重點(diǎn)知識點(diǎn)．但由于其變形公式多，約束條件“茍刻”(一正、二定、三相等)往往不能直接應(yīng)用，而要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?、恰?dāng)?shù)奶幚砗鸵恍┘记傻倪\(yùn)用后才能應(yīng)用．本文給出了巧用“均值不等式”的幾類方法，并通過實(shí)例如以解釋和說明．</p><p><b>　　外文翻譯：</b></p><p>　　9. Tasos C.Christofides. Maximal in

25、equalities for demimartingales and a strong law of large numbers[J]. Department of Mathematics and Statistics.6 June 2000, Pages 357~363</p><p>　　本文Newman和Wright(Z.Wahrsch.Verw.Geb.59(1982)361371)首次將Chow最大不等

26、式從（局部）鞅的情況推廣到半（局部）鞅的情況。這個結(jié)論可以作為證明其他不等式如Hajek-Renyi不等式和Doob最大不等式的“資源”的不等式，并且由此得出了強(qiáng)大數(shù)定律。數(shù)學(xué)期望值為零的聯(lián)合隨機(jī)變量的部分和是半鞅。因此，最大不等式和強(qiáng)大數(shù)定律在情況被運(yùn)用聯(lián)合隨機(jī)變量中有特殊的運(yùn)用。</p><p>　　評論：本文闡述半鞅最大不等式和強(qiáng)大數(shù)定律</p><p>　　10. Several

27、kinds of inequality[J]. Comptes Rendus Mathematique. 30 April 2002, Pages 875-879</p><p>　　本文主要論述了幾種數(shù)學(xué)不等式的證明，包括比較法、綜合法、分析法、反證法、換元法和放縮法對不等式的證明的基本思路。</p><p><b>　　主要參考文獻(xiàn)</b></p>

28、<p>　　1.G.波利亞（涂泓、馮承天譯）.《怎樣解題》[M].上?？萍冀逃霭嫔?2007,5</p><p>　　2. 李名德,李勝宏.《高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程》（一試）[M].浙江大學(xué)出版社.2007,3(2)135~152</p><p>　　3. 陳卓華.利用平凡不等式證明競賽不等式[J].《中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊》.2008,8，95</p><p>

29、;　　4. 武增明.求解抽象函數(shù)不等式問題的探究策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,8,16~17</p><p>　　5. 趙維奇.柯西不等式的多種應(yīng)用[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,7,18~20</p><p>　　6. 代志強(qiáng).放縮法——解數(shù)列與不等式問題的好幫手[J].湖南教育下旬.2010,8,56</p><p>　　7. 李淑燕. 一個不

30、等式的證法再探[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三）.2010,7,23~24</p><p>　　8. 施耀選,李建華. 巧用“均值不等式”的幾類方法[J].　數(shù)學(xué)教學(xué)研究.2010,29(8),54~55</p><p><b>　　外文翻譯：</b></p><p>　　9. Tasos C.Christofides. Maximal inequal

31、ities for demimartingales and a strong law of large numbers[J]. Department of Mathematics and Statistics.6 June 2000, Pages 357~363 </p><p>　　10. Efim Gluskin, Vitali Milman. Several kinds of inequality [J].

32、 Comptes Rendus Mathematique. 30 April 2002, Pages 875-879</p><p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　高中數(shù)學(xué)競賽中有關(guān)不等式的研究</p><p><b&

33、gt;　　【摘要】</b></p><p>　　不等式是數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)之一。由于不等式的證明難度大，靈活性強(qiáng)，要求很高的技巧，常常使它成為各類數(shù)學(xué)競賽中的“高檔”試題。而且，不論是幾何、數(shù)論、函數(shù)或組合數(shù)學(xué)中的許多問題，都可能與不等式有關(guān)，這就使得不等式的問題（特別是有關(guān)不等式的證明）在數(shù)學(xué)競賽中顯得尤為重要。證明不等式同大多數(shù)高難度的數(shù)學(xué)競賽問題一樣，沒有固定的模式，證法因題而異，靈活多變，技巧性強(qiáng)

34、。本文通過闡述各種不等式常用的證明方法，拓展學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生邏輯能力，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】高中；數(shù)學(xué)競賽；不等式證明；證明方法。</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Inequality is one of the hot spot in th

35、e math contest. Due to the difficulty of inequality proof, flexibility, demanding skills, often makes it all kinds of mathematics in the competition "upscale" question. Whether geometry, number theory, function

36、 or combinatorial mathematics many problems may and inequality, this makes inequalities related problems (especially the inequality proof) in math contest is particularly important. With the most difficult to prove the i

37、nequality of mathemat</p><p>　　【KEYWORDS】High school ；Math competition ；Inequality proof ；Proof method.</p><p><b>　　目　錄</b></p><p>　　摘　要錯誤!未定義書簽。</p><p>　　

38、Abstract8</p><p><b>　　目　錄9</b></p><p><b>　　1研究背景10</b></p><p>　　2若干重要不等式10</p><p>　　2.1著名的不等式10</p><p>　　2.1.1排序不等式10<

39、/p><p>　　2.1.2均值不等式10</p><p>　　2.1.3柯西不等式11</p><p>　　2.1.4三角不等式11</p><p>　　2.1.5琴生不等式11</p><p>　　2.1.6切比雪夫不等式12</p><p>　　2.1.7貝努力不等式1

40、2</p><p>　　2.2其他重要不等式12</p><p>　　3一些不等式的證明方法14</p><p>　　3.1比較法14</p><p>　　3.1.1作差比較法14</p><p>　　3.1.2作商比較法14</p><p>　　3.2分析法和綜合法15

41、</p><p>　　3.2.1分析法15</p><p>　　3.2.2綜合法16</p><p>　　3.3反證法17</p><p>　　3.4換元法17</p><p>　　3.4.1三角換元18</p><p>　　3.4.2代數(shù)換元19</p>

42、<p>　　3.5判別式法20</p><p>　　3.6放縮法20</p><p>　　3.7構(gòu)造法21</p><p>　　3.7.1構(gòu)造圖形21</p><p>　　3.7.2構(gòu)造函數(shù)21</p><p>　　3.7.3構(gòu)造方程22</p><p>　　3

43、.7.4構(gòu)造數(shù)列23</p><p>　　3.7.5構(gòu)造對稱式23</p><p>　　3.7.6構(gòu)造恒等式24</p><p>　　3.8數(shù)學(xué)歸納法24</p><p>　　4.若干競賽不等式證明例題淺析25</p><p><b>　　5結(jié)論30</b></p&g

44、t;<p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　附錄錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　研究背景</b></p><p>　　從1981年中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會舉辦全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽以來，在“普及的基礎(chǔ)上不斷提高”的方針指導(dǎo)下，全國數(shù)學(xué)競賽活動方興未艾，每年一次的數(shù)學(xué)競賽吸引了上百萬學(xué)生參加。1985年

45、我國步入國際數(shù)學(xué)奧林匹克殿堂，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)課外教育的國際交流，20年來我國已躋身于IMO強(qiáng)國之列。數(shù)學(xué)競賽活動對于開發(fā)學(xué)生智力、開拓視野、促進(jìn)教學(xué)改革、提高教學(xué)水平、發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才都有著積極的作用。這項(xiàng)活動也激勵著廣大青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，吸引他們?nèi)ミM(jìn)行積極的探索，不斷培養(yǎng)和提高他們的創(chuàng)造性思維能力。數(shù)學(xué)競賽的教育功能顯示出這項(xiàng)活動已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個重要組成部分。不等式由于它的復(fù)雜性和證明方法的多樣性 ，一直以來是數(shù)學(xué)競賽的難點(diǎn)

46、所在，本文希望通過對競賽不等式的常用證法介紹和例題的分析，幫助學(xué)生更好的理解和運(yùn)用不等式來解決問題。</p><p><b>　　若干重要不等式</b></p><p><b>　　著名的不等式</b></p><p>　　數(shù)學(xué)家利用不等式的基本理論和一些重要的數(shù)學(xué)方法，推導(dǎo)出幾個數(shù)學(xué)中最著名的不等式。這些不等式簡明優(yōu)美，

47、而且有著廣泛的應(yīng)用。在此，我們著重介紹排序不等式、均值不等式、柯西不等式、三角不等式、琴生不等式等幾個著名不等式。</p><p><b>　　排序不等式</b></p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　?。ǖ剐蚍e和）</b></p><p><

48、b>　?。▉y序積和）</b></p><p><b>　?。樞蚍e和）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　均值不等式</b></p><p>　　設(shè)稱為均值不等式.其中</p><p><

49、;b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　分別稱為的調(diào)和平均值，幾何平均值，算術(shù)平均值，均方根平均值.</p><p&g

50、t;<b>　　柯西不等式</b></p><p>　　設(shè).當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式等號成立.</p><p><b>　　三角不等式</b></p><p><b>　　設(shè)</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)向量同向或一個為零向量時，等號成立.</p><p&

51、gt;<b>　　琴生不等式</b></p><p><b>　　上凸函數(shù)</b></p><p><b>　　下凸（凹）函數(shù)</b></p><p>　　上述不等式的等號當(dāng)且僅當(dāng)成立.</p><p><b>　　切比雪夫不等式</b></p>

52、;<p>　　為任意兩組實(shí)數(shù).若，且，或，且，則</p><p><b>　?、?lt;/b></p><p><b>　　若，且，或，且</b></p><p><b>　　，則</b></p><p><b>　　②</b></p>

53、<p>　?、?、②兩式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.</p><p><b>　　貝努力不等式</b></p><p><b>　　設(shè)，則①當(dāng)時，；</b></p><p><b>　?、诋?dāng)時，.</b></p><p>　　兩式中的等號，當(dāng)且僅當(dāng)時成立.</p&

54、gt;<p><b>　　其他重要不等式</b></p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　設(shè)</b></p><p><b>　　設(shè).</b></p><p><b>　　設(shè).</b><

55、/p><p><b>　　設(shè).</b></p><p><b>　　當(dāng)時，</b></p><p><b>　　設(shè)</b></p><p>　　設(shè)，則如果S是定值，那么當(dāng)時，P的值最??；如果P是定值，那么當(dāng)時，S的值最大.</p><p>　　一些不等式的證

56、明方法</p><p>　　不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì).證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.</p><p><b>　　比較法</b></p>&l

57、t;p>　　比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，它分為作差比較法和作商比較法兩種.</p><p><b>　　作差比較法</b></p><p><b>　　理論：</b></p><p>　　步驟：作差——變形——定號</p><p>　　作差法的關(guān)鍵步驟是差式的變形，常利用因

58、式分解、配方等方法，目的是使差式易于定號.</p><p><b>　　例1設(shè)，求證：.</b></p><p><b>　　【證】作差</b></p><p><b>　　因?yàn)?，所?</b></p><p><b>　　所以，所以.</b></p

59、><p>　　【評述】作差法是解決不等式問題最有效的方法.</p><p><b>　　作商比較法</b></p><p><b>　　理論：</b></p><p>　　步驟：作商——變形——與1比較大小</p><p>　　作商法不可忽視作商時分母的符號，它的確定是其中的一個

60、步驟.應(yīng)用范圍：不等式兩端是乘積的形式或冪、指數(shù)式.</p><p><b>　　例2：，求證：</b></p><p>　　【思路分析】顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.</p><p>　　【證】不等式關(guān)于對稱，不妨，且，</p><p><b>　　都大于等于1.</b><

61、/p><p>　　【評述】（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題.</p><p>　?。?）本題可作如下推廣：若</p><p>　　（3）本題還可用其他方法得證。因，同理，</p><p>　　另，4式相乘即得證.</p><p><b>　　分析法和綜合法</b></

62、p><p>　　當(dāng)然在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.</p><p><b>　　分析法</b><

63、;/p><p>　　分析法是證明不等式的一種常用方法.它的證明思路是：從未知，看需知，逐步靠已知，即“執(zhí)果索因”.</p><p>　　分析法證明的邏輯關(guān)系是：結(jié)論.</p><p>　　用分析法證題一定要注意書寫格式，并保證步步可逆.</p><p>　　用分析發(fā)探求方向，逐步剝離外殼，直至內(nèi)核.有時分析法與綜合法聯(lián)合使用.當(dāng)不等式兩邊有多個根

64、式或多個分式時，常用分析法.</p><p>　　例3 n為正整數(shù)，證明：</p><p>　　【證明】先證左邊不等式</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　（*）式成立，故原左邊不等式成立.</p><p><b>　　其次證右邊不等式</b>&l

65、t;/p><p><b>　?。?*）</b></p><p>　?。?*）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.</p><p><b>　　綜合法</b></p><p>　　綜合法的特點(diǎn)是：由因?qū)Ч?其邏輯關(guān)系是：已知條件（結(jié)論），后一步是前一步的必要條件.</p><

66、p>　　在用綜合法證題時要注意兩點(diǎn)：常用分析法去尋找證題思路，找出從何處入手，將不等式變形，使其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)明顯或轉(zhuǎn)化為容易證明的不等式.</p><p>　　例4 n為正整數(shù)，證明：</p><p>　　【證明】由均值不等式</p><p><b>　　反證法</b></p><p>　　反證法是根據(jù)“正難則反”的原

67、理，即如果正面證明有困難時，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時，可以考慮用反證法。要證明不等式，先假設(shè)，然后根據(jù)題設(shè)及不等式的性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)。要證明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面難以找到解題的突破口，不妨用反證法，往往可以立見奇效。</p><p>　　例5設(shè)均為正數(shù)，求證：下列三個不等式（1），（2），（3）中至少有一個不正確

68、.</p><p>　　【證明】假設(shè)不等式（1）、（2）、（3）都成立，因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，所以由不等式（1）、（2）得， （4）</p><p><b>　　由不等式（3）得，</b></p><p><b>　　因?yàn)?，所?lt;/b></p><p>　　綜合不

69、等式（2），得，即</p><p>　　由不等式（4），得，即，顯然矛盾.</p><p>　　所以不等式（1）、（2）、（3）中至少有一個不正確.</p><p><b>　　換元法</b></p><p>　　所謂“換元法”就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，從而化繁為簡，或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化，以便證題.其換元法

70、的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜化問題簡單化，變的容易處理.在不等式證明中，常用的換元法有三角換元和代數(shù)換元.</p><p><b>　　三角換元</b></p><p>　　三角換元證明不等式幾種常見形式：</p><p>　　若題目含

71、有，則可令.</p><p>　　若題目含有，則可令.</p><p><b>　　若題目含有，則可令</b></p><p><b>　　若題目含有，則可令</b></p><p><b>　　若題目含有，則可令</b></p><p>　　若題目含有

72、，則可令，或</p><p><b>　　例6若，求證：</b></p><p><b>　　【證明】設(shè)，則</b></p><p>　　【評述】證明不等式時，我們可以結(jié)合已知條件或不等式的結(jié)構(gòu)與三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，利用三角函數(shù)換元，從而借助三角函數(shù)的性質(zhì)來證明不等式.</p><p><

73、b>　　代數(shù)換元</b></p><p>　　代數(shù)換元主要是平均數(shù)代換（又稱均值換元）.二元均值換元的一般形式為：若，則可令.</p><p>　　例7 個正數(shù)它們的和是1,求證: .</p><p>　　【思路分析】就這個不等式而言,我們?nèi)菀紫氲骄挡坏仁?，但是直接用均值不等式卻難以證明這個不等式，因此我們把分子變?yōu)閮身?xiàng)，可令,</p>

74、;<p><b>　?。ㄆ渲校?</b></p><p><b>　　【證明】令，則.</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　因而原不等式成立</b></p><p><b>　　判別式法<

75、;/b></p><p>　　對于含有兩個或兩個以上字母的不等式,若能夠整理成一邊為零,另一邊為關(guān)于某個字母的二次三項(xiàng)式,若該二次三項(xiàng)式的判別式小于零,則該二次三項(xiàng)式在二次項(xiàng)系數(shù)大于零時,恒大于零;若二次項(xiàng)系數(shù)小于零時,二次三項(xiàng)式恒小于零。</p><p>　　例8已知實(shí)數(shù)，滿足. （*）</p><p><b>　　求證：</b>

76、</p><p>　　【證明】將(*)按的降冪排列：，可見是一元二次方程的一個實(shí)根，故判別式，</p><p><b>　　即，由此得.</b></p><p><b>　　放縮法</b></p><p>　　所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標(biāo)進(jìn)行合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題

77、時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛在與后續(xù)能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材，抓住其規(guī)律進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.</p><p>　　例9已知為三角形的三邊，求證：</p><p>　　

78、【證明】由于為正數(shù)，所以</p><p>　　所以，又為三角形的邊，</p><p>　　故，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理</p><p><b>　　故</b></p><p><b>　　綜合得.</b></p><p><b>　　構(gòu)造法</b></

79、p><p>　　證明不等式時，巧妙地構(gòu)造方程、函數(shù)、數(shù)列、對偶式、圖形等，可以使不等式獲得簡捷證明．這有利于將抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，對學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)很有幫助．</p><p>　　構(gòu)造法的實(shí)質(zhì)，是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論所具有的特征，以條件中的元素為“元件”，以數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，通過思維構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對象，一種新的數(shù)學(xué)形式，使問題得以轉(zhuǎn)化、解決.在思維方式上

80、，這一方法較多地含有直覺思維的因素，常常表現(xiàn)出簡介、明快、精巧等特點(diǎn).</p><p><b>　　構(gòu)造圖形</b></p><p>　　如果問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義，或以某種方式與集合圖形相聯(lián)接，則通過做出與其相關(guān)聯(lián)的圖形，將問題的條件及數(shù)量關(guān)系直接在圖形中表現(xiàn)出來.</p><p>　　例10設(shè)，且.則不論為何值，總有</

81、p><p>　　【證明】令 表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.</p><p>　　點(diǎn)在橢圓上，又，因而，點(diǎn)在直線的右側(cè)或直線的左側(cè).</p><p>　　顯見，當(dāng)直線AP與橢圓相切時，取得最大值與最小值</p><p>　　橢圓的任一切線方程為</p><p><b>　　在切線上，</b></p>

82、<p><b>　　解得.結(jié)論得證.</b></p><p><b>　　構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　用函數(shù)的觀點(diǎn)去分析題目的條件、結(jié)構(gòu)，構(gòu)造一種相依的函數(shù)關(guān)系，可將不等式的證明轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)（如增減性等）.</p><p><b>　　例11.求證：</b></p

83、><p>　　【思路分析】不等式中四個式子形式相似，相當(dāng)于函數(shù)在相應(yīng)四個點(diǎn)的函數(shù)值，由此我們設(shè)置輔助函數(shù)來研究不等式.</p><p>　　【證明】構(gòu)作函數(shù)，則當(dāng)時，</p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以函數(shù)在上是嚴(yán)格遞增的，由</p><p><b>　　有.&

84、lt;/b></p><p><b>　　即 </b></p><p>　　【評述】利用不等式的特點(diǎn)，構(gòu)作輔助函數(shù)，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)增減性或極值來研究，是很有效的方法.</p><p><b>　　構(gòu)造方程</b></p><p>　　方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中解決問題的重要工具.利用方程的有

85、關(guān)知識，根據(jù)題設(shè)條件及結(jié)論的特點(diǎn)，構(gòu)造輔助方程證明不等式，常能化難為易，化繁為簡.</p><p><b>　　例12設(shè)實(shí)數(shù)滿足：</b></p><p>　　求的取值范圍.（1986，全國高中聯(lián)賽）</p><p>　　【證明】由①的 ③</p><p><b>　?、?①得

86、</b></p><p>　　故 ④</p><p>　　依韋達(dá)定理的逆定理，由③、④得是方程</p><p><b>　　的兩根</b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b

87、>　　構(gòu)造數(shù)列</b></p><p>　　例13求證：，其中.</p><p><b>　　【證明】構(gòu)造數(shù)列</b></p><p><b>　　則 .</b></p><p><b>　　于是，</b></p><p>　　所以

88、，數(shù)列單調(diào)遞增，其首項(xiàng)為</p><p><b>　　故,</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　構(gòu)造對稱式</b></p><p>　　根據(jù)不等式的特點(diǎn)，構(gòu)造一個與其相關(guān)聯(lián)的對稱式，通過對它們之間的靈活處理，得到一些有用的關(guān)系式，促進(jìn)問題

89、的解決.</p><p>　　例14證明：對于和為1的正數(shù)，不等式成立.（第24屆全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽）</p><p>　　【證明】記不等式左邊為A，構(gòu)造A的對稱式，令，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p>&

90、lt;b>　　故 </b></p><p><b>　　，不等式得證.</b></p><p><b>　　構(gòu)造恒等式</b></p><p>　　通過變換，引入新的參變量，構(gòu)造出新的關(guān)系式，使證明變得簡潔，明了.</p><p>　　例15已知實(shí)數(shù)滿足，求證：.</p>

91、;<p><b>　　【證明】令，則</b></p><p><b>　　故.</b></p><p><b>　　數(shù)學(xué)歸納法</b></p><p>　　數(shù)學(xué)歸納法是證明和自然數(shù)相關(guān)的不等式的最有效方法，其證明的關(guān)鍵是如何實(shí)現(xiàn)從“n=k時原不等式成立”到“n=k+1時原不等式成立”的過

92、度.常用的數(shù)學(xué)歸納法有兩種：</p><p>　　第一數(shù)學(xué)歸納法（簡稱數(shù)學(xué)歸納法）</p><p>　　證明基本步驟：（1）歸納奠基：證明n=1時命題成立；</p><p>　?。?）歸納假設(shè)：假設(shè)n=k時命題成立；</p><p>　?。?）歸納遞推：由歸納假設(shè)推出n=k+1時命題也成立.</p><p>　　從而就

93、可斷定命題對于所有正整數(shù)都成立.</p><p><b>　　第二數(shù)學(xué)歸納法</b></p><p>　　證明基本步驟：（1）當(dāng)n=1時，命題成立；</p><p>　?。?）假設(shè)當(dāng)時命題成立，由此可推得當(dāng)n=k+1時，命題也成立.</p><p>　　那么，命題對于一切自然數(shù)n來說都成立.</p><

94、;p>　　例16設(shè)，且.求證：對于任何有：成立.</p><p>　　【證明】（1）n=1時，左邊=右邊=0，原不等式顯然成立.</p><p>　　（2）設(shè)n=k時原不等式成立，即：</p><p><b>　　則n=k+1時：</b></p><p><b>　　由可得：</b></

95、p><p><b>　　，</b></p><p>　　即n=k+1時原不等式成立.由（1）（2）可知對于任何原不等式成立.</p><p>　　若干競賽不等式證明例題淺析</p><p><b>　　例1：求證：</b></p><p><b>　　【證】</b

96、></p><p><b>　?。ㄗ鞑罘ǎ?lt;/b></p><p>　　【評述】（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明時，可將配方為，亦可利用</p><p>　　，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.</p><p>　　例2：

97、設(shè)，且各不相同，</p><p><b>　　求證： </b></p><p>　　【思路分析】不等式右邊各項(xiàng)；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.</p><p>　　【證】設(shè)的重新排列，滿足，</p><p><b>　　又</b></p><p>　　所以.由于是互不相

98、同的正整數(shù)，故從而，原式得證.</p><p>　　【評述】排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，</p><p>　　例3：已知為正實(shí)數(shù)，求證： （1）</p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立. </p><p>　　【證】若中，其值有為零的，不等式（1）顯然成立．</p><p>　　下面證明，當(dāng)三

99、者都不為零的情景．</p><p>　　1）若三者里只有一個為正值，不妨設(shè)為這時，應(yīng)當(dāng)有，推出，顯然與條件相矛盾。從而說明此種情況是不可能出現(xiàn)的．</p><p>　　2）若三者里有二個為正值，其另一個就是負(fù)值，此時，不等式（1）顯然成立．</p><p>　　3）若三者均為正值，那么，就是某一的三邊長。設(shè)其面積為，注意到三角形面積的海倫----秦九韶公式</

100、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　當(dāng)中，.</b></p><p><b>　　變形，得 </b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　于是，所要證明的不等式（1）等價于<

101、;/p><p>　　. （*）</p><p>　　這個不等式的證明是很容易的，事實(shí)上，由三角形面積公式與正弦函數(shù)的有界性，得</p><p>　　我們?nèi)菀椎贸?，所證不等式中的等號成立的充要條件是：．</p><p>　　綜合以上，便知不等式（1）得證．</p><p>　　【評

102、述】顯然也成立，由此還可以推廣到.</p><p><b>　　例4：已知，求證：</b></p><p><b>　?。?）；</b></p><p><b>　?。?）.</b></p><p>　　【證】（1）當(dāng)時，有</p><p><b&

103、gt;　　.</b></p><p>　?。?）用數(shù)學(xué)歸納法證.</p><p><b>　　當(dāng)時，成立.</b></p><p>　　假設(shè)時命題成立，即，則當(dāng)時，</p><p><b>　　，結(jié)論成立.</b></p><p><b>　　綜上，不等

104、式成立.</b></p><p>　　【評述】與自然數(shù)有關(guān)的不等式問題，往往采用數(shù)學(xué)歸納法.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)成立，推證時成立，這個過程中往往需要較高的變形技巧.</p><p><b>　　例5已知.</b></p><p>　　求證：.

105、 （*）</p><p><b>　　【證】取，則由</b></p><p>　　可知滿足切比雪夫不等式的條件，故</p><p><b>　　.</b></p><p>　　又由均值不等式，正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，</p><p>　　即

106、 .</p><p>　　其中等號僅在時成立.這樣就有，即（*）式</p><p>　　成立，而且等號僅在時成立.</p><p>　　【評述】若把（*）式改寫為，則此式表面，在滿足題設(shè)條件下，商的算術(shù)平均值不小于其算術(shù)平均值的商.利用這個結(jié)論可以解決一些較難的分式型不等式的證明問題.</p><p&g

107、t;　　例6設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求證：</p><p><b>　　【證】不妨設(shè)則有 </b></p><p><b>　　由柯西不等式，得</b></p><p>　　設(shè)，則. 于是，只要證明</p><p><b>　　事實(shí)上 </b></p><p>

108、;　　容易推理出，所證不等式取得等號的條件是：</p><p><b>　　即為．</b></p><p>　　【評述】如上的證明，在于巧妙地排序和重新組合，適時地應(yīng)用柯西不等式．</p><p>　　例7已知是滿足的正數(shù)，求證：</p><p><b>　?。?）</b></p>&

109、lt;p>　　證明：因?yàn)樗砸C不等式（1），只要證明如下不等式</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　令則正數(shù)，于是不等式（*）等價于</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　也就是，</b></p>

110、<p>　　即 　　　　　　　　，</p><p>　　注意到，并應(yīng)用3元均值不等式，得</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故.得證．</b></p><p><b>　　結(jié)論</b></p><p&g

111、t;　　本文對高中競賽不等式的證明的常用方法作了略淺的介紹，加上例題的分析，有效的幫助學(xué)生理解運(yùn)用各種不同的不等式方法證明各類競賽不等式，每種方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，但任何一種方法都不可能解決所有的不等式問題，所以我們試圖通過各種途徑尋找最有效有簡單的方法去解決問題，這就需要扎實(shí)的基本功，筆者希望通過本文的介紹，使你對高中競賽不等式有了更詳細(xì)的了解，更系統(tǒng)的認(rèn)識，對你以后解決不等式問題有更好的幫助。參考文獻(xiàn)</p><

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