高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用

1、1高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用高中數(shù)學(xué)基本不等式的巧用一基本不等式1.（1）若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取Rba?abba222??Rba?222baab??ba?“=”）2.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）Rba?abba??2Rba?abba2??ba?(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）Rba?22????????baabba?3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取0x?12xx??1x?0x?12xx??

2、?1x??“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0x?111222xxxxxx??????即或ba?3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0?ab2??abbaba?若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0ab?222abababbababa??????即或ba?4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）Rba?2)2(222baba???ba?注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和

3、最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用應(yīng)用一：求最值應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋12x21x解：（1）y＝3x2＋≥2＝∴值域為[，∞）12x266（2）當(dāng)x＞0時，y＝x＋≥2＝2；1x當(dāng)x＜0時，y＝x＋=－（－x－）≤－2=－21x1x∴值域為（－∞，－2]∪[2，∞）解題技巧：解

4、題技巧：3評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用基本不等式來求()(00)()AymgxBABgx?????最值。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)的單調(diào)()afxxx??性。性。例：求函數(shù)的值域。2254xyx???解：令，則

5、24(2)xtt???2254xyx???22114(2)4xtttx???????因，但解得不在區(qū)間，故等號不成立，考慮單調(diào)性。101ttt???1tt?1t????2??因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。1ytt????1????2??52y?所以，所求函數(shù)的值域為。52????????練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x的值.（1）（2）(3)231(0)xxyxx????1233yxxx????12s

6、in(0)sinyxxx????2已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.01x??(1)yxx??203x??(23)yxx??條件求最值條件求最值1.若實數(shù)滿足，則的最小值是.2??baba33?分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，ba33?解：都是正數(shù)，≥ba33和ba33?632332????baba當(dāng)時等號成立，由及得即當(dāng)時，的最小值是ba33?2??baba33?1??ba1??

7、baba33?6變式：若，求的最小值.并求xy的值44loglog2xy??11xy?技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。2：已知，且，求的最小值。00xy??191xy??xy?錯解錯解：，且，故?00xy??191xy?????1992212xyxyxyxyxy??????????????min1