高中數(shù)學競賽解題方法篇不等式

1、第1頁共15頁高中數(shù)學競賽中不等式的解法摘要摘要：本文給出了競賽數(shù)學中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的證明過程，并挑選了一些與這幾類不等式相關的一些競賽題進行了分析和講解。希望對廣大喜愛競賽數(shù)學的師生有所幫助。不等式在數(shù)學中占有重要的地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽數(shù)學中的熱門題型.在解決競賽數(shù)學中的不等式問題的過程中，常常要用到幾個著名的代數(shù)不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切

2、比雪夫不等式.本文就將探討這幾個不等式的證明和它們的一些應用.1排序不等式定理定理1設，則有1212......nnaaabbb??????(倒序積和)1211...nnnababab????（亂序積和）1212...nrrnrababab????（順序積和）1122...nnababab????其中是實數(shù)組一個排列，等式當且僅當或時成立.12...nrrr12...nbbb12...naaa???12...nbbb???（說明：本不等

3、式稱排序不等式，俗稱倒序積和亂序積和順序積和.）證明證明：考察右邊不等式，并記。1212...nrrnrSababab????不等式的意義：當時，S達到最大值1212...nrrnrSababab????1212...nrrrn???.因此，首先證明必須和搭配，才能使S達到最大值.也即，設且和某個1122...nnababab???nanbnrn?nb搭配時有()kakn?（11）.nnknnrkrnnabababab???事實上，()

4、()()0nnnnnkrknnrnrnkababababbbaa???????不等式（11）告訴我們當時，調換和的位置（其余n2項不變），會使和S增加.同理，調整好nrn?nbnrb和后，再調整和會使和增加.經過n次調整后，和S達到最大值，這就證nanb1na?1nb?1122...nnababab???明了.1212...nrrnrababab???1122...nnababab????再證不等式左端第3頁共15頁222222222a

5、bbccaabccab????????再考慮，并且333abc??111bccaab??利用排序不等式，333333111abcabcbccaabcaabbc?????333333111abcabcbccaababbcac?????兩式相加并除以2，即得222222333222abbccaabccabbccaab????????綜上所述，原不等式得證.例3設，而與是的兩個排列.12120...0...nnaaabbb????????12

6、...niii12...njjj12...n求證：.（12）1111rsnnnnijrsrsrsababrsrs???????????思路分析思路分析：已知條件中有兩組有序實數(shù)，而式（12）具有“積和”形式，考慮使用排序不等式.證明證明：令（r=）1snjrsbdrs????12...n顯然12...nddd???因為，且12...nbbb???111...(1)1rnrnr???????由排序不等式1nsrsbdrs????又因為12