高中數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題—不等式證明

1、taoti.你的首選資源互助社區(qū)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)典型例題一典型例題一例1若10??x，證明)1(log)1(logxxaa???（0?a且1?a）分析分析1用作差法來證明需分為1?a和10??a兩種情況，去掉絕對值符號，然后比較法證明解法解法1（1）當(dāng)1?a時，因為11110?????xx，所以)1(log)1(logxxaa???)1(log)1(logxxaa?????0)1(log2????xa（2）當(dāng)10??a時，因為11110

2、?????xx所以)1(log)1(logxxaa???)1(log)1(logxxaa????0)1(log2???xa綜合（1）（2）知)1(log)1(logxxaa???分析分析2直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號解法解法2作差比較法因為)1(log)1(logxxaa???axaxlg)1lg(lg)1lg(??????)1lg()1lg(lg1xxa??????)1lg()1lg(lg1xxa?????0)1lg(lg

3、12????xa，所以)1(log)1(logxxaa???taoti.你的首選資源互助社區(qū)兩邊同加22222():2()()ababab????∴222()22abab???∴2224()()22abab???（2）由（1）和（2）可得444()22abab???（當(dāng)且僅當(dāng)ab?時取等號）說明：說明：此題參考用綜合法證明不等式綜合法證明不等式主要是應(yīng)用均值不等式來證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考

4、慮用綜合法來解典型例題四典型例題四例4已知a、b、cR??，1abc???，求證1119.abc???分析分析顯然這個題用比較法是不易證出的。若把111abc??通分，則會把不等式變得較復(fù)雜而不易得到證明由于右邊是一個常數(shù)，故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式，比如baab?，再利用“均值定理”就有可能找到正確的證明途徑，這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧證明：證明：∵1abc???∴111abc??abcabcabcabc?????

5、????(1)(1)(1)bcacabaabbcc?????????3()()()bacacbabacbc???????∵22babaabab????，同理：2caac??，2cbbc???！?1132229.abc???????說明：說明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式題目中用到了“湊倒數(shù)”，這種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時要首先對代數(shù)式進行適當(dāng)變形，以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的典型例題五典型例題五例５例５已知cba??