群在圖形上的應(yīng)用及程序?qū)崿F(xiàn).pdf

1、本文首先對群作用和置換群作進行了進一步的研究,在這兩個知識點的基礎(chǔ)之上討論了位移群及剛體運動群并得到了一個很重要的結(jié)論：凡旋轉(zhuǎn)軸是通過空間中一定點O的直線的有限階旋轉(zhuǎn)群只可能是五種型分別是n 階旋轉(zhuǎn)循環(huán)群、二面體群、四面體群、正六面體群或正八面體群和正十二面體群或正二十面體群,這與圖論中Euler多面體公式得到的空間中的五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體的結(jié)論一致。
　　 本文著重在正方體的對稱變

2、換、剛體變換和對正方體的頂點和面不等價著色的種類上面進行探討和研究。正方體的對稱變換共有24個,前人都有了很深入和準(zhǔn)確的研究。在對正方體的剛體變換進行研究時本文用了兩種方法：①正方體的剛體變換的研究是在正方體的對稱變換的基礎(chǔ)之上進行的。正方體的對稱變換是由恒等旋轉(zhuǎn)、繞三對對立面的中心旋轉(zhuǎn)、繞對邊中點的連線的旋轉(zhuǎn)和繞對角點的旋轉(zhuǎn)組成。正方體的剛體變換的是在正方體的對稱變換的基礎(chǔ)之上增加了鏡面照映、反射成對徑點、繞對角點的旋轉(zhuǎn)與鏡面照映乘積

3、和繞對角點的旋轉(zhuǎn)與反射成對徑點的乘積。從而得到了正方體的剛體變換的48 種置換方式，這種方法具體且形象的將正方體的剛體變換展現(xiàn)了出來。②運用群作用的這一知識點,并結(jié)合群的軌道個數(shù)、穩(wěn)定子群的個數(shù)和群的階三者的數(shù)量關(guān)系最后得到了正方體的剛體變換有48 種。這種方式?jīng)]有具體的得出正方體剛體變換，只是通過抽象的數(shù)量關(guān)系得到了最后的結(jié)果。
　　 用形象和抽象的兩種方式都得到了一致的結(jié)論即正方體的剛體變換的方式共有48種。
　　

4、接下來本文結(jié)合群論、數(shù)論和圖論的部分知識點得到了Burnside定理和Polya 計數(shù)公式。然后運用這兩個公式和相關(guān)知識點我們求得用紅色和藍色兩種顏色對正方體的頂點進行不等價著色共有23種方式；用紅色和藍色兩種顏色對正方體的面進行不等價著色共有10種方式。最后本文用matble語言將正方體的對稱變換與計算機程序結(jié)合起來,在計算機上將正方體對稱變換即恒等旋轉(zhuǎn)、繞三對對立面的中心旋轉(zhuǎn)、繞對邊中點的連線的旋轉(zhuǎn)和繞對角點的旋轉(zhuǎn)得以實現(xiàn)。