一些分布參數(shù)系統(tǒng)的能控性和唯一延拓性問題.pdf

1、本文研究了兩個(gè)問題.一個(gè)是熱方程當(dāng)控制器是可測集時(shí)的能控性及能控性理論在數(shù)據(jù)同化(Data assimilation)中的應(yīng)用.另一個(gè)是唯一延拓性問題,包括彈性力學(xué)方程組當(dāng)系數(shù)為Lipschitz連續(xù)時(shí)的弱唯一延拓性和強(qiáng)唯一延拓性,以及與之相關(guān)的彈性波方程的弱唯一延拓性問題.
　　全文共分五章.
　　在第一章中,我們將研究熱方程的能控性問題.當(dāng)控制器是開集時(shí),發(fā)展方程的能控性問題已經(jīng)研究得比較清楚了.本文將要討論的問題中控制

2、器是一般可測集.以往傳統(tǒng)的方法,比如譜分析方法或者通過Carleman估計(jì)推導(dǎo)能觀不等式的方法,都不再適用于這一問題.為解決該問題,必須尋找新的方法.當(dāng)空間維數(shù)為一維時(shí),我們利用控制轉(zhuǎn)換(Control Transmutation)的方法給出了控制器為可測集,熱方程的零能控性.對于高維的情形,我們利用Harnack不等式得到了熱方程對所有L2可積的非負(fù)初值成立的能觀不等式.
　　在第二章中,作為第一章研究方法的一個(gè)運(yùn)用,我們將研究

3、一維熱方程的數(shù)據(jù)同化問題.有別于Puel[60]的假設(shè)條件,我們假設(shè)僅能測量區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)在時(shí)間段(0,T0)內(nèi)溫度的變化情況.我們給出了一個(gè)估計(jì)整個(gè)區(qū)域在(T0,T)內(nèi)溫度分布的方法.因?yàn)閮H僅知道空間中一點(diǎn)的信息,我們面對的困難與Puel的完全不同.問題的關(guān)鍵是對熱方程零能控的代價(jià)(即控制函數(shù)的能量)如何依賴于控制區(qū)域做出精確的估計(jì),我們沒有在以往的文獻(xiàn)中找到相關(guān)的研究.在一維情形,我們通過譜分析和控制轉(zhuǎn)換的方法給出了所需要的估計(jì).由于假

4、設(shè)的觀測條件不同,我們得到的結(jié)果也與Puel不同,Puel構(gòu)造的是精確解,而我們得到的是熱方程解的近似估計(jì).我們認(rèn)為我們研究的問題更加貼近實(shí)際情況.
　　我們從第三章開始研究唯一延拓性問題.
　　在第三章和第四章中,我們將研究線性彈性力學(xué)系統(tǒng)(Lamé系統(tǒng))的唯一延拓性問題.三維空間中,帶有C0,1(Lipschitz連續(xù))系數(shù)的Lamé系統(tǒng)的三球不等式和強(qiáng)唯一延拓性是兩個(gè)公開問題,最近分別由我們和林景隆等學(xué)者[39]各自獨(dú)

5、立解決.但是二者的方法并不相同,本文我們將介紹自己的方法,及該方法的其他應(yīng)用(比如本論文的第五章).首先,為證明三球不等式,不同于傳統(tǒng)的證明頻率函數(shù)單調(diào)性的方法,我們采用Higashimori[23]的想法,利用Eller[11]給出的Carleman估計(jì)證明條什穩(wěn)定性(Conditional Stability),然后再以此來證明三球不等式.其次,與前人(Alexanderini等[1]、林景隆(C.L.Lin)等[39])的方法不同

6、,為了證明強(qiáng)唯一延拓性,注意到三維空間中Lamé算子可以分解成兩個(gè)一階算子的事實(shí),我們通過證明這兩個(gè)一階算子帶有多項(xiàng)式類型的Carleman權(quán)函數(shù)的Carleman估計(jì),再將其復(fù)合得到我們需要的Lamé算子的Carleman估計(jì),最后借鑒Regbaoui[61]的方法證明了Lamé系統(tǒng)的強(qiáng)唯一延拓性.
　　第五章是第四章證明方法的延伸.在第五章中,注意到彈性波算子也可以分解成兩個(gè)一階算子,我們利用前述證明Carleman估計(jì)的方法