隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理.pdf

1、概率極限理論是概率論的主要分支之一，也是概率論的其它分支和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要基礎(chǔ).前蘇聯(lián)著名的概率學(xué)家Kolmogorov曾說(shuō)過(guò)：“概率論的價(jià)值只有通過(guò)極限定理才能被揭示，沒(méi)有極限定理就不可能去理解概率論中的基本概念的真正含義.”經(jīng)典的極限理論是概率論發(fā)展史上的重要成果，而對(duì)隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理的研究是近代概率極限理論研究中的熱門(mén)方向之一，本文的主要內(nèi)容也就是對(duì)此進(jìn)行深入研究． 第一章我們研究了ρ-混合隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理。

2、在第一章的第一節(jié)中，我們?cè)O(shè){Xn,n≥1}是同分布ρ-混合序列，其分布屬于指數(shù)為α(0＜α＜2)的非退化穩(wěn)定分布的正則吸引場(chǎng)，證明了依概率1有l(wèi)imsupn→∞(|∑i=1nXi|/n1/α)1/loglogn=e1/α.并獲得了一系列等價(jià)條件，此結(jié)果的獲得不僅將已有的一些結(jié)果推廣至ρ-混合序列的情形，并且將其結(jié)果作了一定的改進(jìn). 在第一章的第二節(jié)中，我們建立了一個(gè)不同分布ρ-混合序列部分和的完全收斂性.然后通過(guò)這一結(jié)論來(lái)研究加

3、權(quán)和的完全收斂性，從而改進(jìn)了前人所獲得的已有的一些結(jié)果. 在第一章的第三節(jié)中，我們討論了ρ-混合序列加權(quán)和的完全收斂性，并將此結(jié)果應(yīng)用于線性回歸模型參數(shù)β的最小二乘估計(jì)及非參數(shù)回歸模型g的權(quán)函數(shù)估計(jì)中，所得的結(jié)果改進(jìn)了吳本忠(2001)中的主要結(jié)果. 第二章我們研究了ρ*-混合隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理.對(duì)于ρ*-混合隨機(jī)變量序列，我們可以看到，Bryc和Smolenski(1993)建立了ρ*-混合隨機(jī)變量序列部分和的矩

4、的階.Peligrad(1996)獲得了一個(gè)中心極限定理，Peligrad(1998)獲得了一個(gè)弱不變?cè)?，Peligrad(1999)建立了Rosenthal型最大值不等式，Utev和Peligrad(2003)獲得了一個(gè)非平穩(wěn)序列情形的弱不變?cè)?第二章第一節(jié)的主要目的是建立線性統(tǒng)計(jì)中關(guān)于ρ*-混合隨機(jī)變量序列的Marcinkiewicz-Zygmund強(qiáng)大數(shù)律.所得的結(jié)果，不僅將Cuzick(1995)及Bai和Cheng(200

5、0)的相應(yīng)的結(jié)果推廣到了ρ*-混合隨機(jī)變量序列，并且改進(jìn)了Cuzick(1995)及Bai和Cheng(2000)中的相應(yīng)的結(jié)果. 在第二章的第二節(jié)中，我們討論了不同分布ρ*-混合序列的完全收斂性，將一個(gè)獨(dú)立情形的不同分布的完全收斂性定理推廣至ρ*-混合序列的情形，并得到了完全收斂速度與矩條件之間的等價(jià)關(guān)系. 在第二章的第三節(jié)中，我們建立了ρ*-混合序列加權(quán)和的極限性質(zhì).所得的結(jié)論，不僅將Chen(2002)的相應(yīng)的結(jié)論

6、推廣到了ρ*-混合隨機(jī)變量序列，并且改進(jìn)了Chen(2002)中的相應(yīng)的結(jié)論． 在第二章的第四節(jié)中，我們討論了ρ*-混合序列的完全收斂性，對(duì)數(shù)律，強(qiáng)大數(shù)律和三級(jí)數(shù)定理，所得的結(jié)果改進(jìn)了楊善朝(1998)及吳群英(2001)中的相應(yīng)的結(jié)果.并得到了完全收斂速度與矩條件之間的等價(jià)關(guān)系. 第三章我們研究了負(fù)相依隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理.由于NA隨機(jī)變量序列在可靠性理論，滲透理論和多元統(tǒng)計(jì)分析理論中均有著廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)此類變

7、量的研究已引起越來(lái)越多人的關(guān)注.許多研究表明，NA序列與獨(dú)立序列有著極為類似的性質(zhì).例如，Su，Zhao和Wang(1996)獲得了NA隨機(jī)變量序列的最大值矩不等式和弱收斂.Lin(1997)建立了一個(gè)NA隨機(jī)變量序列的不變?cè)?Su和Qin(1997)研究了NA隨機(jī)變量序列的一些極限性質(zhì).Liang和su(1999)及Liang(2000)獲得了NA序列加權(quán)和的完全收斂性.Huang和Xu(2002)及Yang(2000)建立了一些最

8、大值矩不等式.在第三章的第一節(jié)中，我們?cè)谝粋€(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的重對(duì)數(shù)律的基礎(chǔ)上，獲得了一個(gè)不同分布NA序列的重對(duì)數(shù)定理，定理的證明基于一個(gè)Kolmogorov型指數(shù)不等式. 在第三章的第二節(jié)中，我們建立了不同分布NA序列的最大值不等式和完全收斂性.所得的結(jié)論改進(jìn)了Huang和Xu(2002)中的相應(yīng)的結(jié)論. 對(duì)于線性過(guò)程，Ho和Hsing(1997)，Phillips和Solo(1992)及Wang等(2002)獲得了獨(dú)

9、立序列線性過(guò)程的中心極限定理.Kim和Baek(2001)建立了強(qiáng)平穩(wěn)LPQD序列線性過(guò)程的中心極限定理.Kim等(2004)獲得了LPQD序列和PA序列線性過(guò)程的強(qiáng)大數(shù)律.在第三章的第三節(jié)我們的主要目的是建立兩兩NQD隨機(jī)變量序列線性過(guò)程的幾乎處處收斂性. 第四章我們研究了漸近負(fù)相依隨機(jī)變量序列的強(qiáng)極限定理.在第四章的第一節(jié)中，我們獲得了關(guān)于ρ--混合誤差變量的部分線性回歸模型的一些強(qiáng)相合估計(jì). 在第四章的第二節(jié)中，我

10、們的主要目的是建立ρ--混合隨機(jī)場(chǎng)的Rosenthal型最大值矩不等式和強(qiáng)大數(shù)律中的收斂速度.所得的結(jié)果改進(jìn)并且推廣了Ko等(2004)中的相應(yīng)的結(jié)果. 在第四章的第三節(jié)中，我們?cè)O(shè){Y,Yi，-∞＜i＜∞}為一個(gè)雙向無(wú)窮的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列.{αi,-∞＜i＜∞)為絕對(duì)可和的實(shí)數(shù)序列，即級(jí)數(shù)∑∞i=-∞ai絕對(duì)收斂.令Xk=∑∞i=-∞ai+kYi,k≥1.在獨(dú)立的假設(shè)下，即{Yi,-∞＜i＜-∞)為一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列，對(duì)

11、于滑動(dòng)平均過(guò)程{Xk，k≥1)，很多極限性質(zhì)已被許多作者所獲得.例如，Ibragimov(1962)建立了一個(gè)滑動(dòng)平均過(guò)程的中心極限定理.Burton和Dehling(1990)獲得了一個(gè)大偏差原理.Phillips(1987)及Wang等(2002)建立了泛函中心極限定理.本章節(jié)的主要目的是在適當(dāng)?shù)臈l件下證明有關(guān)如下一個(gè)滑動(dòng)平均過(guò)程，即{n∑k=1∞∑i=-∞ai+kYi/n1/t,n≥1}的完全收斂性.所得的結(jié)論改進(jìn)了Li等(199