子流形的幾何剛性定理和微分球面定理.pdf

1、本文研究子流形的幾何與拓撲的若干問題，獲得了球面中平行平均曲率子流形的剛性定理，完備子流形的微分球面定理，局部共形平坦流形上 Yamabe流的收斂性定理等結(jié)果。本文主要由三部分(第二至第四章)組成。
　　 第一部分證明了球面中具有平行平均曲率子流形的若干外蘊剛性定理。1986年，H.Gauchman[G]獲得了關(guān)于球面中緊致極小子流形的著名剛性定理：設(shè)Mn是n+p維單位球面Sn+p中n維緊致極小子流形，h為M的第二基本形式，若對

2、任意單位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3，其中σ(u)：=‖h(u，u)‖2，則σ(u)≡0，即M是全測地子流形；或者σ(u)≡1/3，并且可完全確定這類子流形的幾何結(jié)構(gòu).在本文第二章中，我們對Gauchman的定理作了如下推廣：設(shè)Mn是n+p維單位球面Sn+p(1)中n維完備平行平均曲率子流形，H為其平均曲率，h為無跡(化)第二基本形式，σ(u)：=‖h(u，u)‖2，若對任意單位切向量u∈UM，有σ(u)≤1/3+7n+1/24n

3、H2，則σ(u)≡0，即M是全臍子流形；或者σ(u)≡1/3，并且可完全確定M的幾何結(jié)構(gòu)。我們進一步證明了下述剛性定理：設(shè)Mn是Sn+p(1)中n維緊致的平行平均曲率子流形，h為M的第二基本形式，若對任意單位切向量u，υ∈UM，有‖h(u，u)-h(υ，υ)‖2<4/3，則M是全臍球面Sn(1/√1+H2)。
　　 第二部分研究了完備子流形的微分球面定理.流形的曲率與拓撲是整體微分幾何中的核心課題之一。Andersen、Berg

4、er、Brendle、Cheeger、Chern、Colding，Gromoll，Gromov，Grove，Hamilton，Klingenberg，Perelman，Schoen，Shiohama、Yau等一批著名學(xué)者對這一領(lǐng)域作出了重要的貢獻.最近，H.W.Xu、E.T.Zhao和J.R.Gu[XZl，XG]獲得了數(shù)量曲率拼擠條件下常曲率空間形式中完備子流形的最佳微分球面定理.在第三章中，我們運用S.Brendle的Ricci流收斂

5、性定理，證明了下述結(jié)果：如果Mn為單位球面Sn+p(1)中n維完備子流形，且對任意單位切向量u∈UM，有σ(u)<1/3，那么Mn必微分同胚于n維標(biāo)準(zhǔn)球面Sn(1).我們還證明了截面曲率拼擠條件下子流形的微分球面定理。
　　 第三部分研究了一類局部共形平坦黎曼流形上Yamabe流的收斂性問題。B.Chow[Ch]曾證明：若M為具有正Ricci曲率的緊致局部共形平坦流形，則M上正規(guī)化Yamabe流的解在C∞范數(shù)的意義下收斂到一個常

6、曲率度量.最近，H.W.Xu和E.T.Zhao[XZ2]證明了下述剛性定理：若M為具有常數(shù)量曲率的緊致局部共形平坦流形，且其無跡(化)Ricci曲率張量的Ln/2范數(shù)小于某一正常數(shù)，則M等距于常曲率空間形式.受上述結(jié)果的啟發(fā)，我們證明了下述結(jié)果：若M為具有正數(shù)量曲率的緊致局部共形平坦流形，其無跡Ricci曲率張量的Lq范數(shù)(q>2)小于某一正常數(shù)，則正規(guī)化Yamabe流的解在C∞范數(shù)的意義下收斂到一個常曲率度量.由此得到了關(guān)于局部共形平