PSL（2，q）與單純3-設(shè)計(jì)的構(gòu)造.pdf

1、t-設(shè)計(jì)的構(gòu)造是組合設(shè)計(jì)理論中的重要問題,有著重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用背景. t-設(shè)計(jì)的理論與方法在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、信息論和計(jì)算機(jī)科學(xué)中都有著重要的地位.目前有關(guān) 2-設(shè)計(jì)的理論已經(jīng)非常系統(tǒng)豐富,但是有關(guān)3-設(shè)計(jì)的結(jié)果卻少得多. 3-設(shè)計(jì)的存在性問題遠(yuǎn)非完善.因此 3-設(shè)計(jì)的構(gòu)造問題成為重要研究課題.從理論意義上考慮,在很多情況下我們希望給出的3-設(shè)計(jì)是單純的.因此單純3-設(shè)計(jì)的構(gòu)造尤其重要.在單純3-設(shè)計(jì)的構(gòu)造中,代數(shù)方法占有及其重

2、要的地位,其中,利用射影直線 X=GF(q)U{∞}的к-子集在射影特殊線性群 PSL(2,q)作用下的軌道來構(gòu)造單純3-(q+1,к,λ)設(shè)計(jì)是近10年活躍在組合界的重要課題,許多國內(nèi)外專家通過這方面的工作為豐富3.設(shè)計(jì)的存在性理論做出了重要貢獻(xiàn).本文主要討論了以射影特殊線性群PSL(2,q)為自同構(gòu)群的單純 3-設(shè)計(jì)的存在性問題,同時(shí)給出許多重要的單純3-設(shè)計(jì)的構(gòu)造. 本文的工作共分成六部分. 第一部分是概述,主要講

3、述了問題發(fā)展的歷史和現(xiàn)狀、采用的主要方法、面臨的困難,并介紹了本文的主要工作. 第二部分確定了以 PSL(2,2<'n>)為自同構(gòu)群區(qū)組長度為6的單純 3-設(shè)計(jì)存在的充分必要條件,即給出了以PSL(2,2<'n>)為自同構(gòu)群區(qū)組長度為6的所有單純3-設(shè)計(jì),也就是給出了以X=GF(2<'n>U{∞}的6-子集在PSL(2,2<'n>)作用下軌道的并為區(qū)組集的所有單純3-設(shè)計(jì). 第三部分確定了X=GF(2<'n>)U{∞}的

4、7-子集在PSL(2,2<'n>)作用下具有某一固定軌道長度的軌道的數(shù)目.由此,我們確定了以 PSL(2,2<'n>)為自同構(gòu)群的區(qū)組長度為7的所有單純3-設(shè)計(jì).第四部分通過確定在|B|=d>7且是偶數(shù)時(shí)d≠2<'m>+1的情況下,(x,g(B))的參數(shù)集和d>6時(shí), (x,g(B<,0>))的參數(shù)集給出了單純3-設(shè)計(jì)的兩個(gè)無限族.證明了g(B)是所有軌道中能夠獨(dú)立構(gòu)成具有(X,g(B))所確定的參數(shù)集的單純3-設(shè)計(jì)的區(qū)組集的唯一軌道,

5、還證明了若是偶數(shù)時(shí)d≠4<'m>-1,則g(B<,0>)是能夠獨(dú)立構(gòu)成具有(x,g(B<,0>))的參數(shù)集的單純3-設(shè)計(jì)的區(qū)組集的唯一軌道,其中g(shù)=PSL(2,2<,n>),B是GF*(2<'n>)的一個(gè)子群,且=B<,0>u{0}. 第五部分中,首先給出了當(dāng)q三l(rood 4)時(shí),以PSL(2,q)為自同構(gòu)群區(qū)組長度為5的兩族單純3-設(shè)計(jì). 其次,對(duì)參數(shù)集(u<,1>,K<,1>,λ<,1>)=(30,7,15)和(

6、u<,1>,K<,1>,λ<,1>)=(26,12,55)分別給出了一個(gè)單純3-設(shè)計(jì),其中參數(shù)集中的λ<,i>,i=1,2對(duì)于給定的u<,i>和K<,i>來說都是極小的.它們分別以PSL(2,29)和PSL(2,25)為自同構(gòu)群而且是迄今為止發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)具有所給定的參數(shù)集的單純3-設(shè)計(jì).從而,我們證明了單純3-(30,7,15)設(shè)計(jì)和單純3-(26,12,55)設(shè)計(jì)的存在性.這是[1]中表3.35所給出的未解決其存在性的單純3-設(shè)計(jì)中的