非阿基米德域上的離散群和動力系統(tǒng).pdf

1、在復(fù)平面上研究分式線性變換群的離散子群，以及多項式、有理函數(shù)和迭代函數(shù)系統(tǒng)的動力系統(tǒng)已經(jīng)有很長的歷史了。最近數(shù)學(xué)研究的熱點是將相應(yīng)的理論建立在p-adic有理數(shù)域Qp和Qp的代數(shù)閉包的完備化p-adic復(fù)數(shù)域Cp上。非阿基米德域的超度量性質(zhì)使得在Qp和Cp上部分理論的建立相對較易，但是一般來說，很多理論的建立卻是更加困難的，因為Qp是完全不連通的，且非代數(shù)閉的，而Cp雖然是代數(shù)閉的，卻是非局部緊的和完全不連通的。
　　 論文的第

2、一部分是SL(2，Cp)上的離散群和離散群的Jorgensen不等式。非阿基米德域上的離散群的研究是眾多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)工作者感興趣的課題。Cp上的2維特殊線性群SL(2，Cp)的離散子群對研究以Mumford曲線為覆蓋空間的代數(shù)曲線的過程中起到了至關(guān)重要的作用，例如p-adic Schottky曲線。許多數(shù)學(xué)家諸如Mumford，Gerritzen，Manin，Myers，Marius，Voskuil，Kato和Cornelissen等人

3、為此做了很多重要工作。具體可以參考[39，40，41，68，89，96，97]。
　　 在[68]中，Kato將SL(2，Cp)中的元素分成橢圓，拋物，斜駛?cè)?，證明如果子群SL(2，Cp)中的子群G是離散的，那么子群G不含拋物元素和無限階橢圓元素。本文中將Kato的分類推廣到了高維特殊線性群SL(m，Cp)，這里m≥2，并進(jìn)一步，證明如果SL(m，Cp)的子群G是離散的，那么子群G不含拋物元素和無限階橢圓元素。在復(fù)平面上Kle

4、in群理論中有離散群基本定理，即一個非初等群是離散的當(dāng)且僅當(dāng)這個群中任何兩個元素生成的群也是離散的。對于SL(2，R)，Jorgensen在[66]證明了SL(2，R)中的非初等子群G是離散的當(dāng)且僅當(dāng)G中任何循環(huán)群是離散的。但是這對SL(2，C)以及高維的特殊線性群一般不成立。然而，在數(shù)域Cp上，我們發(fā)現(xiàn)對任意維的特殊線性群SL(m，Cp)都可以得到類似結(jié)果，即SL(m，Cp)中的子群G是離散的當(dāng)且僅當(dāng)G中任何循環(huán)群是離散的。這個結(jié)論說

5、明Kato以及我們上面所得的結(jié)果的逆命題也成立，即SL(m，Cp)中不含無限階橢圓元素和拋物元素的群是離散的。
　　 在復(fù)平面的Klein群理論中，我們知道一個群G是離散的，且只含有橢圓元素，那么群G是有限群。我們對Qp以及Qp的有限擴(kuò)域Kp上的特殊線性群得到了類似的結(jié)果，即如果子群SL(2，Kp)子群G是離散子群，且只含有橢圓元素，那么G是有限群。但是上述的結(jié)論對SL(2，Cp)的子群一般不成立。我們構(gòu)造了SL(2，Cp)的子

6、群G，它由無窮多個有限階橢圓元素組成，但是這個群是離散的。
　　 判斷SL(2，C)中的非初等子群是離散群的一個必要條件是Jorgensen不等式。Jorgensen不等式在Klein群的代數(shù)收斂性，幾何收斂性和流形體積控制等方面都有重要應(yīng)用。例如利用Jorgensen不等式可以證明雙曲流形中必含有一個半徑有一致下界的球，即雙曲流形具有不可壓縮性。Jorgensen不等式被推廣到各種度量空間，得到了形式各樣的Jorgensen不

7、等式，具體可以參考[64，70，72，73，71，92]。在[4]中，Armitage和Parker得到了SL(2，Qp)上的Jorgensen不等式，同時利用SL(2，Qp)中的Jorgensen不等式證明了離散子群中的元素的轉(zhuǎn)移長度有一個一致下界。本文利用SL(2，Cp)子群的離散性準(zhǔn)則，得到了SL(2，Cp)以及高維特殊線性群SL(m，Cp)的離散子群的一類Jorgensen不等式。我們的結(jié)果在不等式的精度上改進(jìn)了Armitage

8、和Parker的結(jié)果。進(jìn)一步，我們將利用離散性準(zhǔn)則和Jorgensen不等式給出雙曲Berkovich空間在離散群作用下的商空間也具有半徑有一致的下界的球，即商空間具有不可壓縮性。
　　 第二部分，我們研究了Cp上SL(2，Cp)的離散子群，迭代函數(shù)系統(tǒng)的極限集和有理函數(shù)的Julia集的性質(zhì)。隨著算術(shù)動力系統(tǒng)的興起，研究P1(Cp)上有理函數(shù)的Julia集，迭代函數(shù)系統(tǒng)的極限集，SL(2，Cp)離散群的極限集是最近數(shù)學(xué)研究中的一

9、個熱點。有眾多數(shù)學(xué)家，例如Anashin，Baker，Bézivin，Benedetto，DeMarco，F(xiàn)avre，F(xiàn)an，Hsia，Khrennikov，Rivera-Letelier，Rumely，Silverman和Wang等人在這個方向做了許多重要的工作，具體可以參考[23，24，42，43，44，45，46，74，75，76，77，78，79，80，106，107，108，110]。
　　 在復(fù)平面上，Klein群的

10、極限集和有理函數(shù)的Julia集分別是離散群幾何和復(fù)動力系統(tǒng)的重要研究對象。它們有很多相似之處。在復(fù)動力系統(tǒng)中，Julia集的一個重要性質(zhì)是度大于等于2的有理函數(shù)的Julia集是斥性周期點的閉包；在離散群幾何中，Klein群有一個類似的重要性質(zhì)，即非初等的離散子群的極限集是斜駛元素斥性不動點的閉包。自然，對Cp上的離散群和有理函數(shù)動力系統(tǒng)存在同樣的問題。即
　　 (1)P1(Cp)上的度大于等于2的有理函數(shù)的Julia集是否是斥性

11、周期點的閉包?
　　 (2)SL(2，Cp)的非初等離散子群的極限集是否是斜駛元素斥性不動點的閉包?
　　 上述兩個問題都是尚未解決的公開問題。對于問題(1)，Bézivin在[26]中證明，如果P1(Cp)上度大于等于2的有理函數(shù)至少含有一個斥性周期點，那么這個有理函數(shù)的Julia集是斥性周期點的閉包。Okuyama在[99]證明如果P1(Cp)上度大于等于2的有理函數(shù)的Lyapunov指數(shù)為正，那么P1(Cp)上度大

12、于等于2的有理函數(shù)的Julia集是斥性周期點的閉包。本文中對問題(2)進(jìn)行了研究，在附加一定條件下給出了問題(2)肯定的回答。
　　 在SL(2，C)的研究中可以通過Poincaré擴(kuò)張將SL(2，C)中的元素在復(fù)平面上的作用擴(kuò)張到到三維實雙曲流形H3={(x，y，t)｜t>0，x∈R，y∈R)上，且SL(2，C)中的元素在三維實雙曲流形H3上的作用是等距作用，即SL(2，C)可以看做H3上的等距群。在Klein群中H3上的純不

13、連續(xù)群和離散群是等價的。對SL(2，Cp)，我們也可以將SL(2，Cp)中的元素在P1(Cp)中的作用擴(kuò)張到射影Berkovich空間上，并且這個作用在雙曲Berkovich空間HBerk：=PBerk\P1(Cp)的雙曲度量的意義下是等距的，即SL(2，Cp)是雙曲Berkovich空間HBerk上的等距群。我們定義了HBerk上的純不連續(xù)群，即設(shè)G是SL(2，Cp)的子群，如果對任意的x∈HBerk，序列{g(x)}g∈G的任何收斂

14、子列收斂于P1(Cp)中的某個點，則稱G是HBerk上的純不連續(xù)群，或者稱G在HBerk上的作用是純不連續(xù)的。對于HBerk上的純不連續(xù)群，我們證明了如果群G是HBerk上的純不連續(xù)的，那么群G是離散的。并且，我們證明了如果SL(2，Cp)的非初等群G是HBerk上的純不連續(xù)群，那么群G的極限集是斜駛元素的不動點的閉包。因此，對HBerk上的純不連續(xù)群，我們給出了問題(2)的肯定回答。不過在SL(2，Cp)上，我們給出了一個只含有無窮多

15、個有限階橢圓元素的初等離散群，卻不是HBerk的純不連續(xù)群的例子。因而問題(2)中的“非初等”的條件是必需的，由此，如果SL(2，Cp)的非初等離散子群在HBerk上的作用是純不連續(xù)的，則問題(2)就得到解決。我們證明了SL(2，Qp)()SL(2，Cp)的離散子群在HBerk上的作用是純不連續(xù)的。作為這一結(jié)果的應(yīng)用，我們證明了SL(2，Qp)的非初等離散子群G的極限集都是緊集，這里，G可以是無限生成的。
　　 我們定義HBer

16、k的純不連續(xù)群在Berkovich空間上的極限集是HBerk的純不連續(xù)群在P1(Cp)中極限集在Berkovich空間弱拓?fù)湟饬x下的閉包，記為∧。我們說x∈PBerk是動態(tài)穩(wěn)定的，如果存在x的一個鄰域U使得Un≥0{fn(U))取不到PBerk中的無窮多個點。對于HBerk的純不連續(xù)群的Berkovich極限集，我們證明了PBerk＼∧中的點是動態(tài)穩(wěn)定的，但是∧中的點都不是動態(tài)穩(wěn)定的；并且，PBerk＼∧與G的Berkovich等度連續(xù)

17、軌跡相同。
　　 在復(fù)平面上，研究一個集合是否具有一致完全性是一個重要的問題。因為一個集合具有一致完全性，或者一個區(qū)域的邊界具有一致完全性會使這個集合或者區(qū)域具有很多重要的數(shù)學(xué)性質(zhì)。具體可以參考[8，100，104，105，111，113，117，125]。在復(fù)平面上，度大于等于2有理函數(shù)的Julia集是一致完全的，這一結(jié)果由Eremenko[47]，Hinkkanen和Martin f60]，以及Mané和da Rocha[8

18、8]分別單獨證明。在Cp上，我們研究了P1(Cp)上度大于等于2有理函數(shù)的Julia集的一致完全性，證明了如果Julia集非空，那么它是一致完全的，進(jìn)一步，研究了壓縮雙Lipschtiz強(qiáng)可微和壓縮非退化解析迭代函數(shù)系統(tǒng)極限集的一致完全性，證明了如果極限集不是單點，則它是一致完全的。國際專家建議我們進(jìn)一步研究這些集合的doubling性質(zhì)。因為Cp本身不是一個doubling空間，因而研究Julia集和上述的極限集的doubling性質(zhì)

19、是十分有意義的。進(jìn)一步，如果一個集合是一個doubling的，有界緊集，且具有一致完全性和一致不連通性，則它擬對稱等價于標(biāo)準(zhǔn)Cantor集。我們證明如果一個度大于等于2的多項式的Julia集是非空緊集，那么這個多項式的Julia集具有doubling性和一致不連通性，因而這個Julia集擬對稱等價于標(biāo)準(zhǔn)Cantor集。這個結(jié)果對C上的多項式的Julia集一般不成立。對于Cp強(qiáng)可微和解析迭代函數(shù)系統(tǒng)的極限集。我們要求迭代函數(shù)系統(tǒng)中的函數(shù)具