絕對(duì)值方程的廣義牛頓算法及其收斂性.pdf

1、絕對(duì)值方程Ax-｜x｜=b，A∈Rn×n，b∈Rn是一類(lèi)特殊的非線(xiàn)性方程，而且是NP-Hard問(wèn)題，其研究來(lái)源于線(xiàn)性互補(bǔ)問(wèn)題和線(xiàn)性區(qū)間方程，并且它與線(xiàn)性互補(bǔ)問(wèn)題之間存在等價(jià)性，具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景。 本論文主要研究了絕對(duì)值方程的求解問(wèn)題，根據(jù)其半光滑的特性，提出了一個(gè)廣義牛頓算法，該算法在迭代過(guò)程中使用了半光滑牛頓步和光滑牛頓步，理論分析表明該算法在不太嚴(yán)格條件下具有全局和有限步收斂性，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果也顯示了該算法收斂速度快而且適應(yīng)

2、性強(qiáng)。 本論文的組織結(jié)構(gòu)如下： 第一章介紹了絕對(duì)值方程的研究背景、研究現(xiàn)狀和已有的研究成果，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了絕對(duì)值方程與線(xiàn)性互補(bǔ)問(wèn)題之間的等價(jià)性，并分析了目前幾個(gè)有效的求解算法. 第二章首先引入了半光滑和區(qū)間矩陣的概念，并指出絕對(duì)值方程是半光滑的，然后我們給出絕對(duì)值方程與線(xiàn)性互補(bǔ)問(wèn)題之間具體的等價(jià)關(guān)系，之后給出區(qū)間矩陣正則與矩陣奇異值之間的關(guān)系，值得強(qiáng)調(diào)的是區(qū)間矩陣[A-I，A+I]是正則的弱于矩陣A的奇異值大于1，而

3、后者是著名優(yōu)化專(zhuān)家Mangasarian提出的一個(gè)快速求解算法的前提條件.最后在區(qū)間矩陣[A-I，A+I]是正則的條件下，我們提出了求解絕對(duì)值方程的一個(gè)廣義牛頓算法，該算法組合了半光滑牛頓法和光滑化牛頓法的特性. 第三章研究了廣義牛頓算法的性質(zhì)并做數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn).通過(guò)分析我們指出廣義牛頓算法是容易實(shí)現(xiàn)的，在區(qū)間矩陣[A-I，A+I]正則的條件下，算法全局有限步收斂到絕對(duì)值方程的唯一解，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，我們將廣義牛頓算法與半光滑牛