鞍點(diǎn)問題的修正非線性近似Uzawa算法研究.pdf

1、鞍點(diǎn)問題在計(jì)算科學(xué)和工程領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng)用，比如計(jì)算流體力學(xué)，約束和帶權(quán)最小二乘估計(jì)，約束優(yōu)化，參數(shù)識別和橢圓型偏微分方程的混合有限元逼近等領(lǐng)域的許多問題都?xì)w結(jié)為大規(guī)模稀疏鞍點(diǎn)問題的求解.在過去的多年里，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多求解鞍點(diǎn)問題的數(shù)值方法，常見的算法分為直接法和迭代法．在實(shí)際應(yīng)用中，鞍點(diǎn)問題通常是大規(guī)模且稀疏的，由于巨大的計(jì)算量和內(nèi)存需求，直接法往往失效，因此可行的方法是基于迭代求解大規(guī)模稀疏鞍點(diǎn)問題．
　　 Uza

2、wa方法作為一種經(jīng)典的定常迭代方法，受到很多的學(xué)者的關(guān)注，已取得很大的進(jìn)展涉及不同的推廣和改進(jìn)形式，比如預(yù)條件Uzawa算法，線性近似Uzawa算法和非線性近似Uzawa算法.由于Uzawa型方法具有易操作性和極小的存儲(chǔ)需求的優(yōu)點(diǎn)，適合求解大規(guī)模稀疏鞍點(diǎn)問題．Uzawa型算法，特別是非線性近似Uzawa算法，可視為內(nèi)外迭代法，其中內(nèi)迭代用于非精確求解系數(shù)矩陣為A或S的線性方程．現(xiàn)有文獻(xiàn)中通常利用矩陣范數(shù)和常數(shù)精度定義理想的內(nèi)迭代終止條件

3、，只討論了常精度的非線性近似Uzawa算法的收斂性，其不足之處在于兩方面：一是誤差分析依賴于內(nèi)迭代精度相關(guān)的誤差范數(shù)，所用的分析方法可移植性較弱，并不適用于分析變精度的非線性近似Uzawa算法的收斂性；二是理論證明中所給出的算法的收斂域相對較小．在實(shí)際計(jì)算中，為了減少計(jì)算代價(jià)，我們通常采用2范數(shù)定義實(shí)際的內(nèi)迭代終止標(biāo)準(zhǔn)，理論上不論是常精度還是變精度的內(nèi)迭代標(biāo)準(zhǔn)必然隱式地對應(yīng)理想的變精度的內(nèi)迭代終止條件.利用變精度定義內(nèi)迭代的終止標(biāo)準(zhǔn)，通

4、過適當(dāng)?shù)剡x取變精度序列，將會(huì)有助于減少常精度內(nèi)迭代算法中經(jīng)常出現(xiàn)的階梯或停滯現(xiàn)象，從而減少內(nèi)迭代的計(jì)算量.引入松弛參數(shù)修正Uzawa算法，也有助于加快Uzawa型算法的收斂速度.而如何選取內(nèi)迭代的變精度序列，如何確定最佳的松弛參數(shù)，用于修正現(xiàn)有的非線性近似Uzawa法，這是非常困難的問題．基于統(tǒng)一的誤差衡量標(biāo)準(zhǔn)，給出修正非線性近似Uzawa算法的收斂性分析，這將是非常有意義的工作.特別地，國內(nèi)外尚未有學(xué)者討論過變精度的Uzawa型算法的

5、收斂性，因此，提出變精度的修正非線性近似Uzawa算法收斂的充分條件將會(huì)是Uzawa型算法收斂性分析領(lǐng)域的重大進(jìn)展.在本文中，我們將通過研究求解鞍點(diǎn)問題的修正非線性近似Uzawa算法的收斂性，對上述問題給出相對完善的解答．我們相信文中提出的方法對分析求解非線性鞍點(diǎn)問題的非線性近似Uzawa方法的收斂性能夠提供啟發(fā)和幫助.本文的主要貢獻(xiàn)如下：
　　 (1)我們利用變精度的內(nèi)迭代和可變的松弛參數(shù)改進(jìn)Uzawa型算法的收斂性，提出了A

6、型，S型和AS混合型修正非線性近似Uzawa法.基于松弛參數(shù)校正非線性近似Uzawa算法的x和y分量，我們給出了一類xy型的廣義修正Uzawa算法．
　　 (2)我們提出一種適合常精度或變精度的Uzawa型算法的誤差分析的能量范數(shù)，使得分析非線性近似Uzawa算法的收斂性時(shí)具有統(tǒng)一的刻畫標(biāo)準(zhǔn)．
　　 (3)在統(tǒng)一的框架下，我們利用一致的能量范數(shù)，從理論上證明了修正非線性近似Uzawa算法的收斂性，這是非線性近似Uzawa

7、算法的收斂性分析方面的重大進(jìn)展．對于變精度的A型修正Uzawa算法，通過估計(jì)迭代矩陣的譜范數(shù)，說明收斂速度只依賴于內(nèi)迭代精度和松弛參數(shù).我們給出了最優(yōu)松弛參數(shù)的表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上提出了修正Uzawa法收斂的充分條件．收斂分析表明，變精度的A型修正Uzawa算法在一個(gè)比較大的區(qū)域內(nèi)收斂(見定理3.2.6)，即使采用常精度，較原來的A型非線性近似Uzawa算法的收斂域也由初始的0＜δ＜(1/3)改進(jìn)為0＜δ＜1．我們還給出了實(shí)際計(jì)算中最佳

8、松弛參數(shù)的估計(jì)方法，數(shù)值結(jié)果表明采用這一估計(jì)參數(shù)可以有效地求解鞍點(diǎn)問題．區(qū)別于A型修正Uzawa算法，AS混合型修正Uzawa算法涉及非精確求解兩個(gè)線性方程，我們通過將AS型修正Uzawa算法隱式地轉(zhuǎn)化為可變預(yù)條件的Uzawa算法，給出了變精度情形下算法的收斂性結(jié)論.通過和原來的常精度的AS型非線性近似Uzawa算法的對比，常精度的AS型修正Uzawa算法的收斂域也改進(jìn)為0＜δ＜1和0＜ε＜1．作為AS型修正Uzawa算法的特殊形式，S

9、型修正Uzawa算法也有類似的改進(jìn)．至于xy型廣義的修正Uzawa算法，理論分析表明采用最佳的松弛參數(shù)ω*時(shí)，只需要保證另一松弛參數(shù)τ滿足簡單的約束條件，算法就收斂到鞍點(diǎn)問題的精確解．
　　 (4)我們給出了大量的數(shù)值例子，包括模擬例子和來自Stokes方程的實(shí)際例子，通過將我們提出的修正非線性近似Uzawa算法與原來的非線性近似Uzawa算法，塊對角預(yù)條件的MINRES方法，基于埃米特/反埃米特分解的預(yù)條件GMRES和可變的G