關(guān)于若干非線性問(wèn)題算法的研究.pdf

1、許多自然現(xiàn)象都是借助于線性、非線性方程來(lái)描述的，這些方程作為重要的數(shù)學(xué)模型在物理學(xué)、生物學(xué)、控制科學(xué)等很多研究領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，而對(duì)這些現(xiàn)象的分析一般可歸結(jié)為微分方程的求解問(wèn)題，由于獲得該類方程精確解的解析表達(dá)式是非常困難的，所以發(fā)展適用的數(shù)值方法就成為既有理論意義又有實(shí)際價(jià)值的研究課題。因此如何求解這些有實(shí)際意義的方程也就變得越來(lái)越重要了。
　　本文運(yùn)用再生核空間的技巧，給出了幾類線性和非線性微分方程的求解算法。
　　

2、文中詳細(xì)地?cái)⑹隽嗽偕丝臻g的應(yīng)用背景和研究歷史，回顧了再生核空間發(fā)展?fàn)顩r。并且在文中的每一部分都給出了若干具體的再生核空間。在所有給出的再生核空間中都有具體的再生核函數(shù)表達(dá)式，并且每一章都進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn)。這些數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了理論上推出的結(jié)論的正確性。
　　首先，通過(guò)改進(jìn)原有再生核空間的內(nèi)積定義，我們簡(jiǎn)化了再生核函數(shù)的表達(dá)式，并且通過(guò)再生核表達(dá)式得到了一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，在這組基上進(jìn)行了Fourier級(jí)數(shù)展開，從而在第二章中得到了五

3、階線性方程的解。同時(shí)，在第三章又構(gòu)造了一種適合在計(jì)算機(jī)上實(shí)施的逼近序列來(lái)求解奇異線性問(wèn)題，它的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，對(duì)于逼近節(jié)點(diǎn)數(shù)目很大的離散函數(shù)頗為有效。逼逅序列的誤差在Sobolev范數(shù)意義下是遞減的并且能保證逼近過(guò)程的一致收斂性。
　　其次，在再生核空間中構(gòu)造了一種收斂的迭代序列，通過(guò)截?cái)嗉?jí)數(shù)的形式得到了方程的近似解，同時(shí)若方程解存在不唯一的情況下，可以進(jìn)一步求出滿足一定附加條件的特解。這種迭代法適用于一般的非線性方程，本文運(yùn)用此方法在

4、第四章和第五章分別對(duì)奇異非線性方程組和非線性無(wú)限比例延遲方程進(jìn)行了求解。
　　最后，在第六章中求解二階非線性偏微分方程。主要利用再生核空間中的再生性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為線性算子方程進(jìn)行求解。將邊界條件齊次化后融入到二維再生核空間中，運(yùn)用本文的方法可以求得一個(gè)帶有未知量的解的表達(dá)式，然后通過(guò)最小二乘法的技巧，最終獲得非線性算子方程的解。
　　本文所提的求解算法在理論上和實(shí)際試驗(yàn)?zāi)M來(lái)看有以下優(yōu)點(diǎn)：算法簡(jiǎn)單，通過(guò)數(shù)值模擬我們也驗(yàn)證了每