再生核空間中若干非線性問題的研究.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、在科學和工程的各個領域中,許多問題都可用非線性方程來描述。而獲得非線性方程的解(數(shù)值解和精確解)將有助于人們展開對它所反映的現(xiàn)實自然現(xiàn)象進行分析和研究。所以,本文在非線性方程求解方面進行了如下的研究。
  首先對崔明根教授于1986年提出的再生核空間進行了研究。利用一維再生核空間的直積形式構造了二維再生核空間,獲得了二維空間中再生核函數(shù)的表達式,并將其推廣到多維再生核空間的構造。從而為求解各種方程建立了空間的理論框架。
  

2、其次,在再生核空間W12[a,b]中,給出了非線性算子方程A1(vBv)+A2v=f的精確解。利用再生核函數(shù)的特殊性質和升元的方法,構造了定義在再生核空間W1(Ω)上的有界線性算子,使得非線性算子方程等價的轉化為線性算子方程Tu=f。當線性算子方程解唯一的情況下,獲得了非線性方程解的精確表述。數(shù)值算例驗證了該算法的有效性。
  將上面的結論推廣,本文在二維再生核空間W2(Ω)中,研究了Av2+Kv+Pv+Ev=f型的非線性積分微分

3、方程。同樣將其轉化為四維再生核空間中的線性算子方程進行求解。當線性方程解不唯一時,本文研究了該線性方程的齊次方程解空間的表示,并給出了其上的一組標準正交基。因此獲得了線性方程的全部解。再利用兩個方程解之間的關系,得到了求解非線性方程近似解的數(shù)值算法。數(shù)值試驗模擬驗證了算法的有效性。
  另外,以實際問題-黑體輻射為例證明,對于第一類Fredholm積分方程,當積分核函數(shù)滿足一定條件時,該不適定問題在再生核空間中已經(jīng)變?yōu)檫m定問題求解

4、。同時在再生核空間W12[a,b]中給出了一種求解該問題的穩(wěn)定數(shù)值算法。對實際數(shù)據(jù)用該算法進行數(shù)值模擬,并與以前的工作相比較,得到了較好的結果。
  最后,在再生核空間中,本文對非線性偏微分方程進行了研究。考慮了一類非線性雙曲型偏微分方程。先將方程兩邊積分降低求解空間的要求,再利用初始條件線性化方程進而獲得非線性方程的一組形式解。注意到使用再生核函數(shù)構造的空間基底函數(shù)具有分離形式,從而得到確定非線性方程近似解的數(shù)值算法。進行數(shù)值實

5、驗后,計算結果表明算法是有效的。
  本文還在再生核空間中考慮了一類非線性發(fā)展方程。利用其初始條件構造線性算子,并通過求解線性方程獲得原來非線性方程的形式解,將其帶入原方程,使余項函數(shù)在再生核空間范數(shù)意義下達到最小,進而獲得非線性方程的數(shù)值解。為了驗證該算法的有效性,首先給出了一個簡單的數(shù)值算例,通過其表明該算法的收斂性,并看到其數(shù)值結果是令人滿意的。然后應用這個方法求解了Burgers'方程和一種簡單的系數(shù)反問題,數(shù)值結果都表明

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