Hilbert空間中線性系統(tǒng)的若干問題.pdf

1、控制理論是控制系統(tǒng)工程的理論基礎(chǔ)，它處在數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和工程學(xué)交叉發(fā)展的前沿，它在以自動(dòng)化、計(jì)算機(jī)、機(jī)器人等為代表的新技術(shù)革命中發(fā)揮著重要的作用.目前，控制理論的原理和方法的應(yīng)用領(lǐng)域已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了工程技術(shù)的范疇，它在生物、生態(tài)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)、金融和社會(huì)學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用，控制理論研究的對(duì)象是系統(tǒng).本文我們是在套代數(shù)框架下，研究Hilbert空間中線性系統(tǒng)的穩(wěn)定化、強(qiáng)穩(wěn)定化以及一般估計(jì)問題.其中，本文的第三章屬于系統(tǒng)穩(wěn)定化范疇：第四

2、章屬于強(qiáng)穩(wěn)定化范疇，最后一章屬于估計(jì)問題范疇。 第二章我們簡(jiǎn)要回顧了論文中用到的算子理論的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)一些基本概念、基本定理等做了描述. 在第三章中，我們首先介紹了Hilbert空間中的控制理論，在擴(kuò)展空間的結(jié)構(gòu)下引入了物理上的“關(guān)聯(lián)性”的概念.其次介紹了線性時(shí)不變系統(tǒng)中的內(nèi)部穩(wěn)定性理論，基本思想是將一個(gè)線性系統(tǒng)表示成一個(gè)2×1算子矩陣的值域，其中的矩陣元素是關(guān)聯(lián)的.穩(wěn)定性可被看作等價(jià)于這樣一個(gè)矩陣的左關(guān)聯(lián)逆.這通常稱為

3、素分解方法，經(jīng)典的Youla-Ku(c)era定理[1，2]就是以此方式給出的.最后利用Youla-Ku(c)era參數(shù)化定理給出了多個(gè)系統(tǒng)同時(shí)穩(wěn)定化的一個(gè)充要條件。 在第四章中，我們研究了線性時(shí)變系統(tǒng)的強(qiáng)穩(wěn)定化問題，即要求控制器是穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定化問題.這主要源于在實(shí)際控制問題中，工程師們更愿意用穩(wěn)定的控制器.首先，不同于以往的給定系統(tǒng)有雙互素分解，我們考慮的系統(tǒng)是只有一個(gè)左或者右單素分解的.對(duì)于有單素分解的系統(tǒng)L= B-1A，

4、我們給出了穩(wěn)定控制器的一個(gè)參數(shù)化表示，并將得到的穩(wěn)定控制器參數(shù)化應(yīng)用到同時(shí)穩(wěn)定化問題和魯棒穩(wěn)定性問題中，給出了一系列新的結(jié)果.特別的，當(dāng)A是緊算子的時(shí)候，結(jié)論是成立的；其次，在套代數(shù)的結(jié)構(gòu)下，利用線性關(guān)聯(lián)系統(tǒng)強(qiáng)穩(wěn)定化的一個(gè)充要條件[3]，給出了解決強(qiáng)穩(wěn)定化問題的一種新方法.應(yīng)用套代數(shù)中的內(nèi)外分解理論，該問題與一個(gè)算子和考慮的套代數(shù)之間的最小化問題相聯(lián)系，并給出了此最小化問題的一個(gè)最優(yōu)解，以及基于Hankel型算子的一個(gè)解；最后，考慮了加

5、權(quán)靈敏度最小化問題在強(qiáng)穩(wěn)定下的情形，將我們得到的穩(wěn)定控制器參數(shù)化結(jié)果[4]應(yīng)用到加權(quán)靈敏度最小化問題中，分別給出了它在時(shí)不變和時(shí)變情形下的最優(yōu)解。 在第五章中，我們主要討論了一般的時(shí)變估計(jì)問題以及多目標(biāo)H2/H∞估計(jì)問題。Avraham Feintuch已經(jīng)考慮過一般的估計(jì)問題[5]，利用套代數(shù)中算子的內(nèi)外分解理論，他給出的公式僅依賴于給定的數(shù)據(jù).本章第一節(jié)，利用算子中的內(nèi)外分解理論以及Banach空間的對(duì)偶理論，將估計(jì)問題約化

6、為某個(gè)算子與討論的套代數(shù)之間的一個(gè)距離問題.同時(shí)，給出了最優(yōu)時(shí)變估計(jì)器的存在性.并且將該問題與一個(gè)同Hankel算子類似的線性時(shí)變算子相聯(lián)系，這一算子可以用來求解線性時(shí)不變情形的標(biāo)準(zhǔn)最優(yōu)H∞問題.我們應(yīng)用了Hankel算子是緊的一個(gè)充分必要條件，并且在此情形下最優(yōu)估計(jì)器可以被計(jì)算出.我們用到的方法僅與輸入-輸出有關(guān)，并沒有用到任何的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，因此所得結(jié)果可以用到無限維的線性時(shí)變系統(tǒng)；本章第二節(jié)，我們引入了多目標(biāo)H2/H∞估計(jì)問題，用