與自由邊界有關(guān)的若干非線性問題的研究.pdf

1、偏微分方程中的自由邊界問題是一類特殊的偏微分方程定解問題.這類問題主要源自醫(yī)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)以及生物學(xué)等諸多領(lǐng)域.比如腫瘤生長問題、美式期權(quán)定價(jià)問題、冶金業(yè)中金屬的融化凝固問題、水壩滲流問題、水晶的生長問題、圖像處理問題、傷口愈合問題、種群遷移問題等等都屬于自由邊界問題.對具體的自由邊界問題解的性質(zhì)的研究，將有助于人們準(zhǔn)確地解釋自然界中的許多非線性現(xiàn)象;同時(shí)可以建立基本理論，發(fā)展數(shù)學(xué)方法，為自然科學(xué)和工程技術(shù)等領(lǐng)域中出現(xiàn)的這類方程組的研

2、究提供有力的數(shù)學(xué)方法和工具，從而促進(jìn)非線性偏微分方程理論的應(yīng)用和發(fā)展.因此自由邊界問題已成為偏微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)課題.
　　 生態(tài)學(xué)中還有一類問題，它雖然是用來描述固定區(qū)域上的種群競爭的反應(yīng)擴(kuò)散方程組，但它在一定的條件下能生成自由邊界問題.用常微分方程組或偏微分方程組描述種群的共存或競爭的動(dòng)力系統(tǒng)已得到廣泛的討論.最近，對描述種群競爭的反應(yīng)擴(kuò)散問題空間分離模式的研究也受到許多數(shù)學(xué)工作者的極大關(guān)注.
　　 本文圍繞

3、區(qū)域的變化，對來自不同背景的三類自由邊界問題進(jìn)行系統(tǒng)的研究.具體內(nèi)容由以下五個(gè)章節(jié)構(gòu)成.
　　 第一章，簡要地介紹與本論文研究問題有關(guān)的背景知識(shí)及其發(fā)展概況.
　　 第二章，我們研究了具超線性反應(yīng)項(xiàng)的熱方程的自由邊界問題.其中第一部分，討論了高維情形下相應(yīng)的自由邊界問題.首先，通過作函數(shù)變換，將原自由邊界問題化為固定區(qū)域上的拋物問題，再利用壓縮映像原理給出了局部古典解的存在唯一性;其次，對自由邊界的漸近性態(tài)進(jìn)行了細(xì)致的刻

4、劃，并定義一個(gè)與初值和空間維數(shù)有關(guān)的的能量函數(shù)，通過建立幾個(gè)能量恒等式，給出了一個(gè)與初值及空間維數(shù)有關(guān)的能量條件，并證明了在此條件下，該問題的解在有限時(shí)刻爆破;最后，通過對全局解性質(zhì)的刻劃，我們給出了全局解的分類。結(jié)論表明，當(dāng)初值小時(shí)，解全局存在且自由邊界漸近有界，這個(gè)解被稱為全局快解;而當(dāng)初值適當(dāng)時(shí)，存在全局慢解，即自由邊界隨時(shí)間增加趨于無窮.在第二部分，我們考慮了一維情形下具雙自由邊界的相應(yīng)問題.在這一部分我們首先建立一些預(yù)備性的引

5、理，包括局部古典解的存在唯一性、自由邊界g(t)的單調(diào)非增性質(zhì)與h(t)的單調(diào)非減性質(zhì)以及它們所特有的性質(zhì):-2h0＜g(t)+h(t)＜2h0，t∈[0，T*）.即兩個(gè)自由邊界要么同時(shí)趨于有限、要么同時(shí)趨于無限.其次，我們得到了當(dāng)初值充分大時(shí)，該問題的解在有限時(shí)刻一定爆破;最后，證明了全局解一致有界，且一致退化到0的性質(zhì).同時(shí)給出了該問題出現(xiàn)全局快解、全局慢解的充分條件.
　　 第三章，考慮了描述SIR傳染病模型的自由邊界問題

6、.我們首先回顧了固定區(qū)域上的SIR常微分模型與偏微分模型的一些主要結(jié)果，并且對理論結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬.其次，利用先驗(yàn)估計(jì)和壓縮映像原理得到局部古典解的存在唯一性.并且通過對自由邊界的細(xì)致刻劃延拓了解的存在范圍，得到問題存在唯一整體解.此外，我們還得到了傳染病蔓延與消退的充分條件.我們的結(jié)果表明，若基本再生數(shù)R0＜1，則疾病消退;而R0＞1，但只要初始感染區(qū)域h0足夠小，則疾病也消退;若基本再生數(shù)R0＞1，且初始接觸區(qū)域h0適當(dāng)大，則疾病

7、會(huì)蔓延開來.這是與固定區(qū)域常微分模型或偏微分模型不同的結(jié)果.
　　 第四章，研究了一類能生成自由邊界的擬線性強(qiáng)競爭拋物問題.由于在生態(tài)動(dòng)力學(xué)中，種群受到周期性變化的環(huán)境的影響，它們的某些習(xí)性也表現(xiàn)出周期性，這種周期性會(huì)影響種群的數(shù)量，并且還可能會(huì)出現(xiàn)一些周期性現(xiàn)象.因而這些模型周期解的存在性及其穩(wěn)定性成為眾多學(xué)者的研究對象.為此，在本章第一部分，通過上下解方法我們得到系數(shù)為周期函數(shù)的擬線性競爭拋物問題周期解的存在性，并證明了該問

8、題存在極大周期解和極小周期解.然后給出了一類擬線性競爭拋物問題正周期解存在的充分條件.第二部分，我們首先建立一類擬線性強(qiáng)競爭拋物問題正解的一致估計(jì);然后證明了當(dāng)種群間競爭系數(shù)足夠大時(shí)，種群空間必定分離，即至多有一類種群的密度不為零，另一類種群一定滅絕.更重要的是，我們證明了當(dāng)種群間競爭系數(shù)足夠大時(shí)，該擬線性問題解的極限滿足一個(gè)自由邊界問題.最后我們還得到了在兩種群的自擴(kuò)散系數(shù)α11=α22=0的情形下，所討論問題與k有關(guān)的解序列｛uk｝