若干自由邊界問題的高效算法研究.pdf

1、自由邊界問題,是自由邊界需要和定解問題的解一起確定的問題,它在科學(xué)與工程領(lǐng)域有很廣泛的應(yīng)用.由于它是非線性問題,難以獲得解析解,因此數(shù)值模擬是研究自由邊界問題的重要手段.本文的核心是構(gòu)造和分析反Stefan問題和超導(dǎo)納米線單光子探測器熱電耦合模型的高效數(shù)值算法,并對所提算法進行數(shù)值模擬驗證其計算效率.
　　首先,我們研究了求解拋物型方程初邊值問題的一類有限元方法的穩(wěn)定性估計.利用文獻[1]中的連續(xù)型時空有限元方法,對于帶Diric

2、hlet邊界條件和混合邊界條件的拋物型方程初邊值問題獲得相應(yīng)的離散化方法.使用內(nèi)蘊的推導(dǎo)技巧,獲得了有限元解的H1(QT)-模估計.這個估計在拋物型方程反問題研究中有重要應(yīng)用,它也是我們分析后文提出的求解反Stefan問題數(shù)值方法解的存在性和收斂性的基礎(chǔ).
　　其次,我們探討了求解反Stefan問題的基于虛擬Robin邊界條件的區(qū)域嵌入法.本文借鑒文獻[2]中的區(qū)域嵌入法思想,將邊界變動區(qū)域?(t)延拓到固定區(qū)域?,在虛擬邊界上引

3、入Robin邊界條件,用新的函數(shù)q替代未知的自由邊界函數(shù)s(t)作為控制變量,將定義在邊界變動區(qū)域?(t)上的反Stefan問題描述為一個線性算子方程.考慮到該算子方程的不適定性,我們通過正則化方法將其轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題,在此基礎(chǔ)上使用連續(xù)型時空有限元方法實現(xiàn)最優(yōu)化問題的離散,從而獲得求解反Stefan問題的一個高效數(shù)值算法.證明了該方法連續(xù)情形和有限元情形問題解的存在唯一性,并證明了有限元解收斂到連續(xù)問題解.應(yīng)該指出的是文[2]雖然提出用

4、區(qū)域嵌入法求解一維空間變量情形的反Stefan問題,但沒有給出任何理論分析結(jié)果.對于一維反Stefan問題,還構(gòu)造了一個時空有限元數(shù)值解法,該方法具有執(zhí)行簡便的優(yōu)點.通過一系列的數(shù)值實驗驗證了這些算法的有效性.
　　最后,我們給出了超導(dǎo)納米線單光子探測器電熱耦合模型數(shù)值算法.這是一個關(guān)于溫度和電流的非線性自由邊界問題,由非線性拋物界面方程和二階常微分方程耦合而成.在這個模型中,超導(dǎo)納米線單光子探測器近似認為是一維結(jié)構(gòu),熱響應(yīng)是一個