自由邊界問(wèn)題的最優(yōu)控制.pdf

1、自由邊界問(wèn)題是非常常見的問(wèn)題，它存在于伴隨著相的變化的能量流動(dòng)問(wèn)題和某些擴(kuò)散問(wèn)題中。經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題也屬于自由邊界問(wèn)題的范疇。它主要是指控制方程的求解區(qū)域不是完全己知的，其中未知的部分有時(shí)甚至是隨時(shí)間變化的，它需要隨著方程的解一同求出來(lái)。在研究自由邊界問(wèn)題時(shí)，大家首先會(huì)很自然的想到，要改寫模型，使自由邊界在模型里消失。本文通過(guò)引進(jìn)變分不等式達(dá)到了這一目的，從而可以從弱解的意義下來(lái)研究自由邊界問(wèn)題的解的性質(zhì)。對(duì)于與自由邊界問(wèn)

2、題等價(jià)的拋物型變分不等式的障礙問(wèn)題，本文對(duì)障礙的最優(yōu)控制做了一定的研究。障礙是原自由邊界問(wèn)題中的解需要滿足的某個(gè)條件。由于只有很少的一部分自由邊界問(wèn)題能夠求出它的解析解，因此，如何用一種高精度的數(shù)值方法求解就顯的尤為重要。通過(guò)對(duì)自由邊界問(wèn)題的改寫我們很自然想到用變分不等式法求解，即求解它的等價(jià)的變分不等式問(wèn)題。本文采用了有限元法求解變分不等式，并對(duì)氧氣擴(kuò)散問(wèn)題作了數(shù)值實(shí)驗(yàn)得出結(jié)論：變分不等式法在求解自由邊界時(shí)，存在著較大的誤差，所以對(duì)于

3、以求自由邊界為目的的問(wèn)題，這一方法不應(yīng)該是求解時(shí)的首選。因此，本文引進(jìn)了譜方法，同時(shí)也對(duì)氧氣擴(kuò)散問(wèn)題作了數(shù)值實(shí)驗(yàn)，知道了譜方法求解自由邊界是非常精確的。另外，本文針對(duì)前面的理論，研究了一個(gè)比較實(shí)際的問(wèn)題一美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題。首先改寫此問(wèn)題為與其等價(jià)的拋物型變分不等式模型，利用拋物型變分不等式的極值原理研究了期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)。然后利用譜方法求它的數(shù)值解得到了最佳實(shí)施邊界一自由邊界關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象。由于美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題中的初始條件帶有弱奇性，