離散非線性微分-差分晶格系統(tǒng)的孤立波和局域模分析.pdf

1、非線性現(xiàn)象在自然界中既普遍又重要。非線性科學(xué)是研究非線性現(xiàn)象共性的一門學(xué)問，它的研究主體是孤立子、混沌和分形。許多非線性問題的研究最終可歸結(jié)為非線性系統(tǒng)來描述。非線性微分一差分晶格系統(tǒng)的部分或全部空間變量是離散的，而通常時間變量是連續(xù)的，它是非線性系統(tǒng)中一類重要的系統(tǒng)。 非線性系統(tǒng)的精確解對研究相關(guān)的非線性問題非常重要。孤立子理論研究的一個主要內(nèi)容，就是尋求非線性系統(tǒng)的解，特別是孤立波解（包括精確解和數(shù)值解)。在過去的大約50年

2、中，非線性科學(xué)研究領(lǐng)域頗具特色的新成就之一就是創(chuàng)造了求非線性方程的解特別是孤波解的各種精巧方法。但相對于非線性偏微分方程，非線性微分一差分晶格孤子系統(tǒng)的求解起步較晚，成果也有局限。 本文結(jié)合孤立子理論的發(fā)展方向，圍繞非線性微分一差分晶格孤子系統(tǒng)，以數(shù)學(xué)機(jī)械化思想為指導(dǎo)，以計算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)軟件和吳方法為工具，研究若干重要的離散非線性微分差分晶格系統(tǒng)的求解問題。提出和改進(jìn)了一系列求解該類系統(tǒng)的方法，得到了一些具有重要意義的離散非線性微

3、分差分晶格系統(tǒng)豐富的精確解。采用逆方法，建立長程關(guān)聯(lián)離散晶格模型。推廣連續(xù)Tbda晶格模型，得到多種精確孤立波解。 首先介紹了孤立子理論的發(fā)展歷程，微分一差分方程的研究狀況?？偨Y(jié)和分析了目前人們常用的構(gòu)造精確解的方法。綜述了離散可積Toda晶格和氫鍵晶格的非線性特性。對經(jīng)典的Toda晶格孤立子作了詳細(xì)介紹，分析了Toda雙孤子的彈性碰撞。介紹了具次鄰耦合的非線性晶格中的幾種孤立子。 求離散非線性微分一差分晶格系統(tǒng)精確孤立

4、波解的直接方法開始于tanh函數(shù)展開法，它假設(shè)晶格系統(tǒng)的孤立波解可以表示為tanh雙曲正切函數(shù)的疊加和組合。本文推廣了tanh函數(shù)展開法，取組合函數(shù)滿足Riccati方程，且解的形式同時含有組合函數(shù)的正負(fù)冪次項，提出修正的F展開法和廣義tanh-sech法；將橢圓函數(shù)展開法應(yīng)用到求非線性微分一差分晶格系統(tǒng)孤立波求解中，提出擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法；定義Fibonacci-sec函數(shù)，提出了Fibonacci tan-sec展開法

5、。應(yīng)用這三種不同的方法以及擴(kuò)展的Sine-Gordon展開法研究了各類Tobda晶格、離散mKdv晶格，Hybrid晶格、Ablowitz-Ladik晶格和Volterra晶格等，得到了豐富的精確解。利用“輔助方程方法”，將雙曲函數(shù)展開法推廣應(yīng)用變系數(shù)的微分一差分晶格系統(tǒng)，獲得了豐富的精確解。 研究次鄰耦合情形下的局域模是本文的另一方面。采用逆方法，建立具有次鄰耦合的長程關(guān)聯(lián)離散Klein-Gordon晶格模型，相對于僅有近鄰耦

6、合的離散晶格系統(tǒng)，次鄰耦合晶格系統(tǒng)具有更多形式的N-格點cornpacton解，次鄰耦合系數(shù)影響N-格點解的穩(wěn)定性。離散呼吸解在耦合非線性離散Klein-Gordon晶格系統(tǒng)仍存在。通過數(shù)值模擬表明，次鄰耦合系統(tǒng)中寬孤子穩(wěn)定而窄孤立子不穩(wěn)定。 在非線性發(fā)展方程研究方面，考慮不僅有橫向、縱向的運(yùn)動，并且有相互耦合作用的情形，推廣了連續(xù)Toda晶格系統(tǒng)。假設(shè)橫向與縱向運(yùn)動處于同一量級，應(yīng)用直接法得到連續(xù)Tbda晶格系統(tǒng)的compac