與經(jīng)典Fresnel變換對(duì)應(yīng)的量子光學(xué)中的若干新幺正算符.pdf

1、經(jīng)典光學(xué)（Fourier光學(xué))的一個(gè)重要組成部分是Fresnel衍射（Fresnel變換）
　　 及關(guān)于衍射的Collins公式。我國(guó)學(xué)者范洪義等人首先用相干態(tài)表象研究了Fresnel衍射的量子對(duì)應(yīng)，利用有序算符內(nèi)的積分（IWOP）技術(shù)他們建立了一個(gè)量子力學(xué)Fresnel算符，以實(shí)現(xiàn)量子光學(xué)中的Fresnel變換，它與經(jīng)典Collins公式相對(duì)應(yīng)。自量子的Fresnel變換提出以來，它被廣泛的應(yīng)用于討論經(jīng)典光學(xué)與量子光學(xué)之間的關(guān)

2、系，及與其他光學(xué)變換的關(guān)系。本文將用量子光學(xué)的觀點(diǎn)重新審視若干經(jīng)典光學(xué)變換，我們采用的是壓縮相干態(tài)表象和相干糾纏態(tài)表象，提出與經(jīng)典Fresnel變換對(duì)應(yīng)的新的量子光學(xué)中的若干幺正算符，如單模和雙模廣義Fresnel算符，F(xiàn)resnel-Hadamard互補(bǔ)算符，并給出其物理意義。這些新幺正算符的經(jīng)典對(duì)應(yīng)給經(jīng)典光學(xué)提供了新變換的可能性。我們這篇論文研究的出發(fā)點(diǎn)是基于如下的考慮：范洪義等人給出的Fresnel算符是通過相干態(tài)在相空間的一個(gè)代

3、表點(diǎn)z = (x+ip)/(√2)運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)sz-rz*而導(dǎo)出的，這里ss*-rr* = 1。根據(jù)相空間的直觀分析，一個(gè)相干態(tài)對(duì)應(yīng)于圖形上面積為(h)/2的小圓。量子Fresnel變換表明相空間的一個(gè)小圓移動(dòng)到另一個(gè)小圓。Ss*-rr* = 1保證了該變換是辛變換，同時(shí)也是劉維定理（相體積不變）的一個(gè)佐證。而我們是從壓縮相干態(tài)在相空間的代表點(diǎn)（一個(gè)橢圓）的運(yùn)動(dòng)及用IWOP技術(shù)來提出廣義Fresnel算符的。鑒于量子糾纏的理論也滲透到量

4、子光學(xué)中，我們又基于相干糾纏態(tài)表象，提出了一個(gè)Fresnel-Hadamard互補(bǔ)算符，它對(duì)一個(gè)光分束器的兩個(gè)輸出光場(chǎng)(a1+a2)/(√2)和(a1-a2)/(√2)分別起到了Hadamard變換和Fresnel變換的作用（該光分束器的兩個(gè)輸入光場(chǎng)光場(chǎng)分別為a1與a2）。
　　 我們的論文具體安排如下：
　　 第一章，首先介紹本文工作的研究背景，然后介紹經(jīng)典Fourier光學(xué)中的Fresnel衍射公式，以及在經(jīng)典框架內(nèi)

5、介紹了衍射的Collins公式的推導(dǎo)過程。
　　 第二章，為了建立起從經(jīng)典到量子之間的”橋梁”，我們介紹了一些背景知識(shí)。首先介紹了一些常用的基本表象如坐標(biāo)、動(dòng)量、粒子數(shù)、及相干態(tài)等表象。然后介紹了真正起到上述”橋梁”作用的有序算符內(nèi)的積分（IWOP）技術(shù)的提出背景和內(nèi)涵。
　　 第三章，我們介紹了從量子光學(xué)的相干態(tài)表象及用IWOP技術(shù)提出的與Fresnel變換對(duì)應(yīng)的量子算符，稱之為Fresnel算符。從相空間的直觀分析，

6、Fresnel算符對(duì)應(yīng)于相干態(tài)在相空間的代表點(diǎn)（一個(gè)為面積(h)/2的圓）的運(yùn)動(dòng)變換。那么當(dāng)我們考慮一個(gè)壓縮相干態(tài)(在相空間代表一個(gè)橢圓)的運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的量子力學(xué)變換是什么呢？
　　 第四章，我們從量子光學(xué)的相干壓縮態(tài)表象及用IWOP技術(shù)提出了與Fresnel變換對(duì)應(yīng)的量子算符，稱之為廣義Fresnel算符。從相空間的直觀分析，廣義Fresnel算符對(duì)應(yīng)于壓縮相干態(tài)在相空間的代表點(diǎn)（一個(gè)橢圓）的運(yùn)動(dòng)（而相干態(tài)的代表點(diǎn)是一個(gè)圓，其運(yùn)

7、動(dòng)對(duì)應(yīng)Fresnel算符）。
　　 第五章，我們基于雙模相干壓縮態(tài)表象介紹了與雙模Fresnel算符對(duì)應(yīng)的雙模廣義Fresnel算符。
　　 第六章，基于相干糾纏態(tài)表象，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)Fresnel-Hadamard互補(bǔ)算符，它對(duì)雙模光場(chǎng)a1與a2經(jīng)過一個(gè)光分束器的輸出光場(chǎng)(a1+a2)/(√2)和(a1-a2)/(√2)分別起到了Hadamard變換和Fresnel變換的作用。以上討論表明，從量子光學(xué)的新表象和有序算符