小區(qū)間上的華林-哥德巴赫問(wèn)題.pdf

1、華林-哥德巴赫問(wèn)題研究把滿(mǎn)足一定同余條件的自然數(shù)N表示為素?cái)?shù)的k次冪之和的可能性,即關(guān)于方程N(yùn)=pk1+pk2++pkj的可解性,其中j依賴(lài)于k.
　　 對(duì)于三次華林-歌德巴赫問(wèn)題,華羅庚[4]證明了,任意足夠大的奇整數(shù)N可以表示為9個(gè)素?cái)?shù)的立方和,并且證明了不超過(guò)z的滿(mǎn)足一定同余條件且不可表示成j個(gè)(5≤j≤8)素?cái)?shù)立方和的正整數(shù)的個(gè)數(shù)Ej(z)《z(logz)-A,其中A＞0是任意常數(shù).
　　 這一結(jié)果后來(lái)被很多人改

2、進(jìn),最好的結(jié)果是Kumchev[5]的證明,他證明了,當(dāng)5≤j≤8時(shí),Ej(z)《zθ,其中θ5=79/84,θ6=31/35,θ7=17/28,8θ=23/84.
　　 本文研究將pj限制在小區(qū)間上的情況,即{N=p31+p32++p3j,|pi-3√N(yùn)/j|《U,1≤I≤j.(0.1)對(duì)于j=5,6,7,8,定義Aj如下:{A5:={N∈N:N≡1(mod2),N≠0,4±2(mod9),N≠0(mod7)},{A6={N∈

3、N:N≡0(mod2),N≠±1(mod9)},{A7:={N∈N:N≡1(mod2),N≠0(mod9)},{A8={N∈N:N≡0(mod2)}.(0.2)
　　 記Ej(X,U)為[X/2,X]中滿(mǎn)足上述同余條件且不能寫(xiě)成(0.1)的整數(shù)N的個(gè)數(shù),本文將證明如下定理:
　　 定理1.1.對(duì)于任意固定的ε＞0,U=Uj=X4(j+1)/15j,有Ej(X,U)《X2/3U1-ε,j=5,6,7,8.(0.3)

4、　　 對(duì)于二次華林-哥德巴赫問(wèn)題,華羅庚證明了任意足夠大的滿(mǎn)足N≡5(mod4)的整數(shù)可以表示為5個(gè)素?cái)?shù)的平方和.并且證明了不超過(guò)z的滿(mǎn)足一定同余條件且不可表示成4個(gè)素?cái)?shù)平方和的正整數(shù)的個(gè)數(shù)(E)(z)《z(logz)-A,這里A是仟意的正數(shù).
　　 考慮小區(qū)間上的相應(yīng)問(wèn)題{N=p21+p22++p2j,{|pi-√N(yùn)/j|《U,1≤I≤j.(0.4)
　　 記(E)j(X,U)為[X/2,X]中滿(mǎn)足一定同余條件且不能

5、寫(xiě)成(0.4)的整數(shù)N的個(gè)數(shù).當(dāng)j=4時(shí),呂廣世和翟文廣證明了對(duì)滿(mǎn)足同余條件N三4(mod24)的正整數(shù)N,(E)(X,U)《(√XU)-1-ε對(duì)U=U4=X21/50成立.
　　 本文將考慮j=3的情形.記(E)3(X,U)為[X/2,X]中滿(mǎn)足同余條件N≡3(mod24),5(|)N且不能表為(0.3)的正整數(shù)N的個(gè)數(shù),我們將證明如下定理:定理1.2.對(duì)于任意同定的ε＞0,U=U3=X13/30,有(E3)(X,U)《(√X