關(guān)于矩陣填充和非負(fù)矩陣的研究.pdf

1、本論文分五個部分.在第一部分,我們研究了部分整數(shù)矩陣填充為單模矩陣的問題；在第二部分,我們研究了給定非本原指標(biāo)的不可約非負(fù)矩陣正元素的可能個數(shù)；在第三部分,我們考慮了兩個非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑的上界和兩個M-矩陣Fan積的最小特征值的下界；在第四部分,我們考慮了Kahan保范擴張定理中待定矩陣的一般解；最后我們考慮了部分半正定矩陣的唯一填充問題. 1.部分整數(shù)矩陣的填充問題我們證明了如果一個部分整數(shù)矩陣有一條自由對角

2、線,那么這個矩陣能被填充為一個單模矩陣.這樣一個條件從一般意義上講也是必要的.隨后我們證明了如果-個n×n(n≥2)部分整數(shù)矩陣有2n-3個確定的元素并且這些元素中任何n個不構(gòu)成一行或一列,那么這個矩陣能被填充為一個單模矩陣.這個結(jié)果改進(jìn)了詹的-個最近的結(jié)果. 2.非本原矩陣正元素的可能個數(shù)在[31]中,詹確定了一個給定非本原指標(biāo)的不可約非負(fù)矩陣的正元素的最大個數(shù)和最小個數(shù).令σ(A,k)表示給定非本原指標(biāo)為k的不可約非負(fù)矩陣A

3、的正元素的個數(shù).令M(n,k)和m(n,k)分別表示n階非本原指標(biāo)為k的不可約非負(fù)矩陣的正元素的最大個數(shù)和最小個數(shù).詹曾提出下面的問題：設(shè)正整數(shù)d滿足m(n,k)≤d≤M(n,k),是否存在非本原指標(biāo)為k的一個不可約非負(fù)n階矩陣A使得d=σ(A,k).我們給出了肯定的回答. 3.非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑的上界和M-矩陣Fan積的下界我們給出了兩個非負(fù)矩陣Hadamard積的譜半徑的上界和兩個M-矩陣Fan積的下界.這兩

4、個界改進(jìn)了已知的兩個結(jié)果. 4.Kahan的保范擴張定理中待定矩陣的一般解的表達(dá)式在1967年,Kahan得到了一個矩陣擴張定理：假設(shè)H ∈Cι×ι是Hermitian并且B ∈Cs×ι.R=(H B).用‖.‖2表示譜范數(shù).那么存在一個W ∈Cs×s使得A=(H B B* W)是Hermitian并且‖A‖2=‖R‖2.Kahan并沒有給出W的一個顯示表達(dá)式.在[11]中,Davis,Kahan,和Weinberger推廣了K

5、ahan的矩陣擴張定理.他們證明了如果給定矩陣A,B,C則存在解D使得‖(A B C D)‖2=max{‖(A B)‖2,‖(A C)‖2}并且隨后構(gòu)造了所有的解D.令e=‖ R ‖ 2.在[34,35]中,征證明了我們可以取W=-BH(e2I-H2)+B*.進(jìn)一步,不等式B(eI+H)+B*-eI≤W≤eI-B(eI-H)+B*給出了Kahan的定理中解W的表達(dá)式.征用廣義逆形式給出W是新的想法.在本章,我們將給出Davis,Kaha