Hecke特征值的整次數(shù)方冪之和.pdf

1、設(shè)f(z)是全模群SL2(Z)的權(quán)為偶數(shù)k≥2的本原全純模形式，這里我們用本原全純模形式來表明f(z)是全體Hecke算子Tn的共同特征函數(shù)，記H*k為它們的集合。本原全純模形式f(z)在無窮遠尖點∞處有Fourier展式f(z)=∞∑n=1λf(n)n(k-1)/2 e2πinz((s)z＞0).這里正規(guī)化了的λf（n）是Hecke算子Tn的特征值。對f∈H*k，定義S(l)(f;x):=∑n≤xλf（n）(l)，其中(l)∈N且x≥

2、1。
　　本文研究了S(l)(f;x)的漸近性質(zhì).Lau，Lü&Wu[28]證明了S(l)(f;x)=xP(l)(logx)+Of，ε（xθ(l)+ε）（3≤(l)≤8），其中P4(t)，P6(t)，P8(t)是次數(shù)為1，4，13的多項式，P3(t)，P5(t)，P7(t)恒等于0.并且θ3=7/10=0.7，θ5=13/43=0.93023…，θ7=176/179=0.98324…，θ4=151/175=0.86285…，θ6=

3、175/181=0.96685…，θ8=2933/2957=0.99188….他們證明的關(guān)鍵在于L(s，symmf)的良好性質(zhì)，這些卓越工作在Kim&Shahi-di的著作[11]中.本文作者深入學(xué)習(xí)Rankin-Selberg方法和對稱冪L-函數(shù)的性質(zhì)，利用G(l)(s)分解成一系列廣義低次L-函數(shù)的乘積的表達式（見Lau，Lü& Wu[28])，應(yīng)用不同于[28]的Riemannζ-函數(shù)的亞凸性界，得到更加精細的結(jié)果.對于e=4，6

4、，8，作者證明如下定理:∑ n≤xλf(n)4=xP4(logx)+Of,ε(x0.86062…+ε),∑n≤xλf（n）6=xP6(log x)+Of,ε(x0.96613…+ε),∑n≤xλf(n)8=xP8(log x)+Of,ε(x0.99177…+ε)。
　　本研究分為四個部分：第一章系我們系統(tǒng)地介紹了問題的背景并給出了主要結(jié)果。第二章我們給出了Rankin-SelbergL-函數(shù)，m次對稱冪L-函數(shù)和廣義L-函數(shù)的定義