多重非線性拋物方程（組）奇性解的漸近分析.pdf

1、本文主要研究幾類多重非線性拋物方程(組)奇性解的漸近行為．所討論的問題包括確定非線性擴散方程組的blow-up臨界指標、考查梯度項對非線性拋物方程解的blow-up性質(zhì)的影響，以及研究帶有奇異非線性反應(yīng)項的拋物問題解的quenching現(xiàn)象等．首先討論一個具有內(nèi)部吸收項及耦合邊界流的非線性擴散方程組．通過對模型中非線性機制之間相互作用的精確分析，我們確定了其blow-up臨界指標．其次考慮含梯度項的非線性拋物模型，探究其中對流項是否并且

2、以何種程度影響解的blow-up行為．最后我們研究有限時刻quenching問題．對于具有耦合吸收項并附加正Dirichlet邊界條件的非線性拋物方程組，我們考慮了解的同時與非同時quenching；而對于具有加權(quán)非線性吸收的熱方程，我們描述了解的quenching時間和quenching集的漸近行為． 第一章概述本文所研究問題的實際背景和國內(nèi)外的發(fā)展現(xiàn)狀，并簡要介紹本文的主要工作． 第二章考慮內(nèi)吸收非線性擴散方程(um

3、)t=Δu-a1uα1，(vn)t=Δv-a2vβ1經(jīng)由邊界流(δ)u/(δ)η=uα2υp，(δ)u/(δ)η=uqυβ2耦合的初邊值問題．通過引入特征代數(shù)方程組以及對所有八個非線性指標的完全分類，我們得到對該問題blow-up臨界指標的簡明而清晰的刻畫．由于所考慮模型的一般性，這一工作包含了關(guān)于blow-up臨界指標的許多已有結(jié)果．與單個方程結(jié)果的比較可見耦合機制對blow-up臨界指標的本質(zhì)性影響． 第三章致力于含梯度項的

4、非線性拋物方程解的blow-up分析，其目的在于研究梯度項對解的漸近行為的影響．對于具有內(nèi)部吸收項及正性梯度項的半線性拋物方程ut=△u+｜▽u｜r-αepu附加邊界條件(δ)u/(δ)η=equ的初邊值問題，我們證明當且僅當r≥2時，梯度項對blow-up的形成起本質(zhì)作用．進一步，當r>2時，對流項還將顯著影響blow-up速率，并且使得blow-up速率具有關(guān)于模型參數(shù)的不連續(xù)性(discontinuous)．然而，梯度項對空間bl

5、ow-upprofile并無本質(zhì)性影響．對非線性擴散方程wt=(e(m-1)w)xx-λe(p-1)w附加Neumann邊界條件wx(0，t)=0，wx(1，t)=e(q-m)w(1，t)的初邊值問題，利用scaring方法，我們建立了解的blow-up速率估計．通過適當變換，該方程等價于一含對流項的多孔介質(zhì)類型方程．雖然此模型中的對流項不改變解的blow-up速率，但它給問題的討論帶來一定的困難． 第四章研究有限時刻quenc

6、hing問題，包括非線性拋物方程組ut=△u-v-p，vt=△v-u-q，(x，t)∈Ω×(0，T)具有正Dirichlet邊界條件的初邊值問題，以及帶有加權(quán)非線性吸收的熱方程ut=uxx-Mf(x)u-p，(x，t)∈(-1，1)×(0，T)附加邊界條件u(-1，t)=u(1，t)=1和初值φ(x)的模型．對于前一問題，我們建立了Ω=BR徑向解的非同時quenching準則：當p，q≥1時quenching必為同時，當P<1≤q或q<

7、1≤P時必為非同時；若P，q<1且R>√2N，則quenching依賴于初值既可能同時也可能非同時．需要提及的是，在對共存性結(jié)果的證明中，我們工作的新意在于恰當?shù)囟x一個初值集合以使quenching解具有某些一致下界估計．對于后一問題，我們利用局部能量估計方法，得到當M→+∞時解的quenching時間與quenching集的漸近性態(tài)．我們有，當M→+∞時，quenching時間T～m/p+1·1/M，其中m=1/maxx(f(x)/