充填半徑，充填體積和體積增長.pdf

1、M.Gromov在其開創(chuàng)性文章“充填黎曼流形”中，證明了大量有趣的結(jié)果，并引入了許多新的幾何不變量，其中兩個重要的概念是充填半徑和充填體積。充填半徑是許多重要工作的一個基本要素，例如R.Greene和P.Petersen通過充填半徑的下估計改進(jìn)了一些有限性定理，F(xiàn).Wilhelm對帶有大充填半徑的正曲率流形，獲得了很好的結(jié)果。“這兩個不變量很有可能在黎曼幾何的未來發(fā)展中起重要作用”(M.Berger)。 本文旨在獲得某些黎曼流形

2、的充填半徑、充填體積的下界，進(jìn)而給出其應(yīng)用。 這篇學(xué)位論文由三部分組成.在第1章，我們首先建立了充填半徑的一個映射性質(zhì)，利用這個性質(zhì)我們證明了下面的定理A.對于任何閉的、定向的、非正曲率流形V，我們有FillRad(V)≥Injmax(V)/π·FillRad(Sn)≥Injmax(V)/4其中Injmax(V)=max{Injx(V)：x∈V}. 作為其推論，我們可以部分地回答Greene和Petersen的一個猜想：

3、所有凸半徑為π/2的黎曼流形V滿足FillRad(V)≥FillRad(Sn). 推論B.Greene-Petersen猜想對非正曲率流形成立。我們也附帶地建立了裝填半徑的一個映射性質(zhì)，作為其推論，獲得了一個微分球定理。 第2章旨在下估計充填體積，主要結(jié)果如下：定理C.設(shè)V是一個緊黎曼流形，且有相同的維數(shù)和第一Betti-數(shù)：dim(V)=b1(V)=n.如果V的Abel-Jacobi映射的度是±1，則存在一個常數(shù)cn＞

4、0使得FillVol(V)＞cn·stsys1(V)n+1其中stsys1(V)是V的穩(wěn)定1-systole. 定理D.設(shè)一個緊的、定向的黎曼n-流形V被劃分q個n-單形：△n1，…，△nq，對任意x∈V，如果x到它所在的單形的(n-1)-面的距離之和≥δ，則存在一個常數(shù)cn＞0使得FillVol(V)＞cn·q·δn+1.此外，我們也給出了FillVol(Sn)的一個粗糙的下界，并對非正曲率的流形推導(dǎo)了一個Berger-型的充

5、填不等式. 第3章旨在試探Gromov關(guān)于一致可縮黎曼流形體積增長的一個猜想，我們獲得了部分結(jié)果：定理E.如果一致可縮的黎曼流形(M，g)K-擬等距于一個n維賦范空間(Vn，‖·‖)，(K≥1)，則有l(wèi)imR→∞infVolg(BallR)/Rnωn≥1/K2n其中ωn是單位歐氏球的體積. 推論F.如果Mn是一致可縮的并且dGH((M，dg)，(Vn，‖·‖＜∞，則M至少有歐氏體積增長。 此推論覆蓋了D.Bura