非線性波動(dòng)方程的精確解及其孤子結(jié)構(gòu).pdf

1、在非線性科學(xué)中，非線性波動(dòng)方程精確解的研究有助于理解孤立子理論的本質(zhì)屬性和代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且對(duì)相應(yīng)自然現(xiàn)象的合理解釋及實(shí)際應(yīng)用將起到重要的作用. 本論文首先借鑒了非線性物理的對(duì)稱(chēng)約化思想和線性物理中的分離變量理論，對(duì)處理非線性問(wèn)題的直接代數(shù)法和多線性分離變量法進(jìn)行了研究和推廣，對(duì)映射變換理論進(jìn)行了創(chuàng)新，得到了一些新的結(jié)果.將基于行波約化的代數(shù)方法推廣應(yīng)用到了非線性離散系統(tǒng)和復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，尋求其精確的行波解和近似解.然后，根據(jù)非線

2、性系統(tǒng)的映射變換解和多線性分離變量解，分別討論了(2+1)維局域激發(fā)模式及其相關(guān)的非線性動(dòng)力學(xué)行為.圍繞一些具有深刻物理背景的非線性波動(dòng)方程的局域激發(fā)模式及其相關(guān)非線性特性-分形特征和混沌行為展開(kāi)了討論，這些非線性系統(tǒng)源于流體力學(xué)、等離子體物理、固體物理、超導(dǎo)物理、凝聚態(tài)物理和光學(xué)等實(shí)際問(wèn)題.本文研究表明，Charkson-Kruskal的直接約化方法，映射變換方法和多線性分離變量方法蘊(yùn)藏著內(nèi)在的有機(jī)聯(lián)系.另外，本文所得結(jié)果說(shuō)明混沌和分

3、形存在于高維非線性系統(tǒng)是相當(dāng)普遍的現(xiàn)象.現(xiàn)將本文的主要內(nèi)容概述如下: 第一章，簡(jiǎn)要回顧了孤立波的發(fā)現(xiàn)與研究歷史，概述了當(dāng)前研究孤子解的一些基本方法，其中包括：反散射方法，Darboux變換和Backlund變換，Painlevé分析法和Hirota雙線性方法等，最后給出了本論文的主要工作和結(jié)構(gòu)按排. 第二章，首先以Boussinesq方程為例，介紹了尋求非線性波動(dòng)方程相似約化解的三個(gè)基本方法：經(jīng)典李群法、非經(jīng)典李群法和C

4、K(Clarkson和Kruskal)直接法.然后以sine-Gordon方程組為例，給出了樓和馬最近提出的對(duì)CK直接法進(jìn)行的一種修正.在他們的方法中，并沒(méi)有對(duì)原方程進(jìn)行低維約化，而是在要求自變量不減少的情況下，直接地得到原方程的李對(duì)稱(chēng)群.同時(shí)，如果利用多直線孤子解的群變換，可以得到各種多曲線激發(fā).最后，仍基于CK直接相似約化的思想，給出了目標(biāo)約化的一般理論，即：對(duì)-個(gè)給定的非線性方程，事先建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)假設(shè)得到的相似約化方程為

5、常微分方程，將其中的系數(shù)分解整理成多個(gè)規(guī)范系數(shù)的比率，而不僅僅只有-個(gè).由此，來(lái)得到非線性系統(tǒng)有著更加直接而簡(jiǎn)便的豐富的精確解，其中包括孤立波解，周期波解和有理函數(shù)解. 第三章，利用CK直接相似約化思想，給出了非線性方程的映射變換理論，突破了已有映射理論只能得到系統(tǒng)行波解的約束，并成功地運(yùn)用到了多個(gè)非線性波動(dòng)方程組中，如：(2+1)維色散長(zhǎng)波方程組、(2+1)維廣義Broer-Kaup方程組、(1+1)維非線性Schr(o)di

6、nger方程組、修正的(2+1)維色散水波方程組、(2+1維Nizhnik-Novikov-Veselov方程組等，得到了新型的變量分離的精確解.根據(jù)所求得的映射解，分析了若干新的或典型的局域激發(fā)模式，如：雙周期結(jié)構(gòu)孤子，單值與多值復(fù)合的半折疊孤子，裂變孤子和聚合孤子及其演化行為特性等.討論了一些典型孤子所蘊(yùn)涵的分形特征和混沌動(dòng)力學(xué)行為.研究結(jié)果表明混沌、分形存在于高維非線性系統(tǒng)是相當(dāng)普遍的現(xiàn)象，其根源在于可積系統(tǒng)的初始狀態(tài)或邊界條件具

7、有“不可積”的分形特性或混沌行為.修正了人們長(zhǎng)期認(rèn)為孤波產(chǎn)生于可積非線性系統(tǒng)而混沌、分形只存在于不可積非線性系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)局限性.分析表明，所有由多線性分離變量法得到的(2+1)維非線性系統(tǒng)的局域激發(fā)，利用映射變換理論也可以找到.映射變換方法不僅突破了原映射理論只能求解非線性系統(tǒng)行波解的約束，還有望進(jìn)一步推廣應(yīng)用到其它的非線性系統(tǒng)中，由此，豐富和發(fā)展了非線性科學(xué)的基本理論. 第四章，首先簡(jiǎn)要介紹了分離變量法在幾個(gè)方向的發(fā)展情況，并以(2+1

8、)維非線性系統(tǒng)為例，給出了樓提出的多線性變量分離法的一般步驟.然后求出了(1+1)維淺水波方程，(2+1)維mBK方程組和另外若干著名的方程組的變量分離解及其推廣形式，并討論了在普適公式下的孤子的結(jié)構(gòu)及其相互作用的行為.一般說(shuō)來(lái)，所得到的多線性分離變量解，可以用來(lái)描述系統(tǒng)場(chǎng)量或相應(yīng)的勢(shì)函數(shù)，進(jìn)而討論基于多線性分離變量解引起的系統(tǒng)局域激發(fā)及其相關(guān)非線性特性.文中報(bào)導(dǎo)了一些典型的局域激發(fā)模式，如：在所有方向都呈指數(shù)衰減的相干局域結(jié)構(gòu)-dro

9、mion，在各個(gè)方向同時(shí)褶皺的多值孤波-折疊子，三維空間中的偶極子型孤子等. 第五章，將基于行波約化的代數(shù)方法推廣應(yīng)用到了非線性離散系統(tǒng)和復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，尋求其精確的行波解和近似解.首先給出了微分-差分系統(tǒng)雙曲函數(shù)法的一般理論，其推廣形式及在非線性離散系統(tǒng)中的應(yīng)用，然后給出了基于行波約化的形變映射理論及非線性Schr(o)dinger方程基于行波的約化解，最后則引進(jìn)了Adomian分解法，來(lái)研究在一定初始條件下的高階非線性Sc