多元控制圖的若干研究.pdf

1、統(tǒng)計過程控制(SPC)己被廣泛應(yīng)用于各種生產(chǎn)過程，在現(xiàn)代統(tǒng)計過程控制中，同時監(jiān)控一個生產(chǎn)過程的多個質(zhì)量特征已經(jīng)變得非常常見．這樣隨之產(chǎn)生了幾種多元的控制圖，例如Hotelling的T2控制圖(Hotelling，1947)，由Crosier(1988)提出的多元累積和控制圖(MCUSUM)和由Lowry(1992)提出的多元指數(shù)滑動平均控制圖(MEWMA).已有研究表明，Shewhart控制圖對檢測大漂移非常有效而累積和控制圖和指數(shù)滑動

2、平均控制圖對檢測中小漂移有非常好的效果(Wadsworth et al．1986,Ryan1989,Montgomery2001). Woodall and Montgomery(1999)和Stoumboset a1．(2000)表明多元控制圖是新世紀一個非常重要的研究領(lǐng)域．本論文的目的就是試圖研究多元控制圖．在本論文里，我們集中討論以下問題：為進行初始分析的基于似然比的多元累積和控制圖；為進行初始分析的基于數(shù)據(jù)深度的多元累積和控制圖

3、；帶有可變抽樣區(qū)間的多元自適應(yīng)累積和控制圖：和基于經(jīng)驗似然的多元指數(shù)滑動平均控制圖．下面我們給出簡要介紹．
　　 在文獻里，我們需要區(qū)分控制圖的第一階段和第二階段．在第二階段，過程分布假設(shè)是完全已知的．大多數(shù)的控制圖應(yīng)用還假設(shè)監(jiān)控的過程服從多元正態(tài)分布．然而，在實際應(yīng)用中，過程的分布或分布參數(shù)常常是未知的．因此，有必要構(gòu)造一個統(tǒng)計上受控的過程，然后來估計過程參數(shù)，這稱為“初始分析”，“回憶分析”或“第一階段分析”，在第一階段分析

4、分析里，我們用歷史數(shù)據(jù)來確定過程是否統(tǒng)計受控，然后估計過程參數(shù)，第1章的目的就是研究第一階段分析，在文獻中，已經(jīng)有很多多元控制圖來對單個或成組觀測值進行第一階段分析，例如T2控制圖(參考Wierda1994，Lowry and Montgomery1995，Mason et al.1997)，發(fā)展的T2控制圖(T2D)(參考Holmes and Mergen1993)，基于似然比檢驗的控制圖(M+D)(參考Sullivan and Wo

5、odall2000)和S&W控制圖(Srivastava and Worsley1986). Sullivanand Woodall(2000)指出在檢測或者均值向量或者協(xié)方差矩陣或者兩者同時發(fā)生的過程時，M+D控制圖比T2和T2D控制圖更有效．S＆W控制圖在檢測過程均值時更有效，但它不能檢測協(xié)方差矩陣的變化．Sullivan and Woodall(2000)指出，當(dāng)樣本容量m，m1和m2=m-m1,1都充分大時，似然比統(tǒng)計量lr(m

6、l，m)近似服從X2(p(p+3)/2)分布．然而，當(dāng)m1或m2固定時，這個結(jié)果卻是不成立的，在這一章里，我們給出了當(dāng)m1或m2固定時lr(m1，m)的計算期望和方差的公式以及極限分布的特征函數(shù)．另外，基于極大似然比統(tǒng)計量我們給出了兩種累積和控制圖(記為CUSUM-M和CUSUM-MS).其中CUSUM-M控制圖監(jiān)測單個觀測值的過程均值漂移，而CUSUM-MS控制圖可以用來監(jiān)測過程均值或者方差．模擬結(jié)果表明，在檢測過程均值漂移時，CUS

7、UM-M控制圖優(yōu)于S&W控制圖，除了非常大的漂移，CUSUM-MS控制圖一致顯著優(yōu)于M+D控制圖.
　　 在很多應(yīng)用里，正態(tài)性的假設(shè)并不成立，尤其是多元觀測情形．Stoumbos andSullivan(2002)研究了多元指數(shù)滑動平均控制圖對非正態(tài)的穩(wěn)健性．結(jié)果表明，如果真實的分布與假設(shè)的分布差別很大時，控制圖的性質(zhì)就會有很大的差別，從另外一個角度來看，即使過程服從多元正態(tài)分布，過程均值向量和協(xié)方差矩陣都是由受控樣本來估計的．

8、然而，運用帶有估計的參數(shù)會使得控制圖表現(xiàn)有大幅度的降低．有興趣的讀者可以參考一篇優(yōu)秀的綜述文章Jensen et a1．(2006)和其中的參考文獻．在這樣的情形下，我們就有必要考慮非參數(shù)的控制圖，因為它們幾乎不受分布的影響．相對于參數(shù)控制圖，非參數(shù)控制圖有很多優(yōu)勢，主要體現(xiàn)在不依賴于受控分布，簡單和具有更好的穩(wěn)健性，有些學(xué)者已經(jīng)提出了一些非參數(shù)多元控制圖，基于單形數(shù)據(jù)深度，Liu(1995)提出了三種非參數(shù)控制圖，即r圖，Q圖和S圖，

9、這三種控制圖可以看成是基于單形深度的一元X控制圖，X控制圖和累積和控制圖的多元推廣．Qiu and Hawkins(2001，2003)和Qiu(2008)研究了基于反秩的非參數(shù)累積和控制圖．然而，所有的這些控制圖都依賴于大量第一階段的數(shù)據(jù)．在過程第一階段，由于數(shù)據(jù)缺乏，在實際中過程分布或分布參數(shù)都是未知的．另外，有些過程特點決定我們要用分組數(shù)據(jù)，但另外一方面，也存在很多我們只能研究單個觀測值的情形，這是可能因為測量是自動的而且每一個單

10、位都是測量的，或者生產(chǎn)速率比較低，或者一些其他原因(參考Montgomery,2001).帶有單個觀測值的初始階段分析，或第一階段分析就是第2章我們要研究的內(nèi)容，注意到數(shù)據(jù)深度是處理第一階段多元數(shù)據(jù)穩(wěn)健性的一個有效方法．于是，在這一章里，我們給出了數(shù)據(jù)深度的一些定義，基于數(shù)據(jù)深度，我們構(gòu)造了可以檢測均值向量漂移，或協(xié)方差矩陣漂移或兩者都漂移的累積和控制圖．為了做比較，我們選取了似然比控制圖作為標準的備選方法，然而，實際上這也并不是非常合

11、適，因為似然比方法依賴于觀測值服從多元正態(tài)分布的假設(shè)，因此，我們實際上選了并不是非常合適的比較來顯示我們方法的有效性，我們還給出了參數(shù)選取的方法和診斷方法．
　　 眾所周知，在一元情形，如果選擇合適的參考值，累積和控制圖對任何給定的均值漂移δ都是最優(yōu)的(Lorden1971，Pollack1985，Siegmund1985，Moustakieds1986 and Ritov1990).然而，在多元情形，對任何給定的均值向量漂移入

12、的最優(yōu)設(shè)計不是這么簡單，對如下定義的多元累積和控制圖，搜索最優(yōu)的k是相當(dāng)復(fù)雜的，這是因為由定義的多元累積和控制圖不像一元情形那樣等價于一系列的序貫檢驗，因此Crosier(1988)建議用像一元累積和控制圖類似的形式來選取k使得對特定的漂移λ達到近似最優(yōu)，即選取k=λ/2.基于以上討論，我們知道多元累積和控制圖的檢測效果很大程度上依賴于漂移大小λ的準確信息，但是在實際生產(chǎn)中，漂移入不可能是己知的．如果入的真實值和預(yù)料的不一樣，多元累積和

13、控制圖的檢測效果就會受很大的影響．一元累積和控制圖(Page1954)也有類似的問題，對一元累積和控制圖，當(dāng)均值漂移的真實大小未知時，Sparks(2000)提出了自適應(yīng)的累積和控制圖(記為ACUSUM).另外，Shu and Jiang(2006)提出了二維的馬爾科夫鏈模型可以取代模擬來計算自適應(yīng)的累積和控制圖的平均運行步長．在第3章，我們建議一種更廣泛的多元累積和控制圖，(記為AVMCUSUM)，它不僅可以運用于對過程漂移沒有任何信

14、息的情形，而且對一系列的均值漂移，它可以達到近似最優(yōu)的表現(xiàn).
　　 在很多應(yīng)用里，人們已經(jīng)意識到過程分布都是未知的而且不是多元正態(tài)分布，這樣使得一些常用的針對正態(tài)分布設(shè)計的表現(xiàn)最優(yōu)的控制圖的性質(zhì)會受很大的影響．由于非正態(tài)而使得控制圖統(tǒng)計性質(zhì)降低的問題在小樣本時更加突出，尤其是單個樣本的情形(參考，Montgomery2001)，這是因為中心極限定理不再（近似）成立，在這種情況下，非參數(shù)或者穩(wěn)健控制圖就非常有用．在第4章，我們基于

15、改編一個非常著名的非參數(shù)方法，經(jīng)驗似然方法，(EL；c．f．，Owen2001)，使得適用于在線序貫監(jiān)控，來構(gòu)造一個新的穩(wěn)健的監(jiān)控位置參數(shù)的多元統(tǒng)計過程控制方法，我們用加權(quán)形式的調(diào)整的經(jīng)驗似然比檢驗(Chen et al.2008)結(jié)合指數(shù)滑動平均方法來構(gòu)造控制圖統(tǒng)計量，這樣得到了一個多元指數(shù)滑動平均的對應(yīng)方法，通過運用修改的Newton-Raphson迭代方法，我們提出的控制圖很容易實施，并且迭代的收斂是可以保證的，因為我們提出的方法

16、是有數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法，這樣在過程受控時，它比多元指數(shù)滑動平均多各種多元非正態(tài)數(shù)據(jù)更加穩(wěn)健，另外，由于我們提出的控制圖避免了用歷史數(shù)據(jù)來估計受控協(xié)方差矩陣∑0，這使得當(dāng)歷史樣本數(shù)比較小時，它的受控表現(xiàn)也不會受太大影響，而且它檢測位置參數(shù)的能力不受協(xié)方差陣變化的影響，與現(xiàn)有的方法相比，我們提出的控制圖在檢測多元非正態(tài)過程的中小漂移更加有效．
　　 在第5章里，我們給出結(jié)論和相關(guān)的拓展工作.
　　 本論文的創(chuàng)新點主要有以下幾點：

17、
　　 1．我們提出了兩種用于第一階段分析的控制圖，其中一種基于似然比檢驗統(tǒng)計量，另外一種基于數(shù)據(jù)深度．我們給出了當(dāng)m1或m2固定時lr(mi，m)的計算期望和方差的公式以及極限分布的特征函數(shù)．基于數(shù)據(jù)深度，我們構(gòu)造了可以檢測均值向量漂移，或協(xié)方差矩陣漂移或兩者都漂移的累積和控制圖．我們還給出了參數(shù)選取的方法和診斷方法．
　　 2．我們建議一種更廣泛的多元累積和控制圖，(記為AVMCUSUM)，它不僅可以運用于對過程漂移

18、沒有任何信息的情形，而且對一系列的均值漂移，它可以達到近似最優(yōu)的表現(xiàn)．我們不僅詳細的研究了參數(shù)對我們控制圖的影響，而且給出了受控平均運行步長的馬爾科夫鏈表示方法，另外，我們還給出了搜索控制線的算法．
　　 3．我們基于改編一個非常著名的非參數(shù)方法，經(jīng)驗似然方法，(EL；c.f.，Owen2001)，使得適用于在線序貫監(jiān)控，來構(gòu)造一個新的穩(wěn)健的監(jiān)控位置參數(shù)的多元統(tǒng)計過程控制方法．通過運用修改的Newton-Raphson迭代方法，