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文檔簡介
1、<p> 模擬氣體運(yùn)動的快速壓縮機(jī)</p><p> M.G. MEERE1, B. GLEESON1 and J.M. SIMMIE2</p><p> Department of Mathematical Physics, NUI, Galway, Ireland</p><p> 2Department of Chemistry, NUI,
2、Galway, Ireland</p><p> Received 25 July 2001; accepted in revised form 8 May 2002</p><p> 摘要:本文介紹了一種模型,其描述了天然氣等氣體混合物在快速壓縮機(jī)器里壓力,密度和溫度的變化。該模型包括一個耦合系統(tǒng)的非線性偏微分方程,還有正式的漸進(jìn)化數(shù)字的解決方案。使用 漸近技術(shù),一個簡單的離散型算法
3、表達(dá)了氣體的壓力,溫度和 密度的演化,核心數(shù)據(jù)來源于記錄室的記錄。結(jié)果表明,使用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)該模型有有較好的計算和預(yù)測能力。</p><p> 關(guān)鍵詞:快速壓縮機(jī),震動波,奇異攝動理論</p><p><b> 1 導(dǎo)言 </b></p><p> 1.1 快速壓縮機(jī) 一種快速壓縮機(jī)器設(shè)備用來研究自燃的氣體混合物在高壓和高溫條件下,
4、尤其是在自動點(diǎn)火內(nèi)燃機(jī) 中(見[ 1-3 ])。一個典型的內(nèi)燃機(jī)處于一個非常骯臟的和復(fù)雜的環(huán)境中, 這也促使壓縮機(jī)器的科學(xué)研究朝更清潔和更簡單的設(shè)置方向著快速發(fā)展。 圖1說明了兩個活塞式快速壓縮機(jī)器的基本情況。然而,單活塞機(jī), 活塞在一頭,另一端是結(jié)實(shí)的墻壁,更典型。在本篇論文中,對單活塞和雙活塞壓縮機(jī)均有詳盡的闡述。</p><p> 快速壓縮機(jī)器操作非常簡單----活塞壓縮處于封閉狀態(tài)的氣體混合物。
5、封閉的壓縮氣體造成 氣體壓力,溫度和密度迅速增加。圖1 (a),1 (b)和1(c)分別快速壓縮機(jī)器之前,期間和之后的壓縮情況。這臺愛爾蘭國立大學(xué)的體積壓縮機(jī)器初步比例最后為1:12 ,這個值也是其他機(jī)器的典型值。在 結(jié)束壓縮時混合氣體由于被壓縮,溫度升高,可能發(fā)生自燃現(xiàn)象。</p><p> 在圖2中,我們描述了H2/O2/N2/Ar混合物氣體的壓力概況(來自于布雷特的有關(guān)壓力的文獻(xiàn))。在這圖,時間t = 0
6、對應(yīng)于壓縮結(jié)束。我們注意到,在大部分的壓縮時間內(nèi),容器內(nèi)部的溫度緩緩上升,但是壓縮快要結(jié)束之前(t=0),壓力急劇上升。壓縮結(jié)束時,壓力上升陡峭程度超出意料。 </p><p> 圖1的示意圖為我們簡要的描述了快速壓縮機(jī)的運(yùn)動過程(a)為壓縮前,(b)、(C)分別為壓縮中和壓縮后</p><p> 表格2中,說明了混合氣體(H2/O2/N2/Ar=2/1/2/3)的壓力變化概要,與哥爾
7、韋的測量結(jié)果是一致的。它來源于文獻(xiàn)(4),初步壓力和初始溫度分別為0.05MP和344開爾文。</p><p> 曲線變化對應(yīng)于氣體混合物的點(diǎn)火。我們注意到,壓縮時間和延遲點(diǎn)火的時間均是(10)毫秒。 </p><p> 壓力是實(shí)驗(yàn)中衡量的唯一參數(shù)。然而,核心溫度的大小是化學(xué)家最感興趣的,因?yàn)樗械姆磻?yīng)都主要由溫度決定,盡管有時壓力也可能影響著化學(xué)反應(yīng)的速率。核心溫度測量的準(zhǔn)確性由于存
8、在一個熱邊界層而出現(xiàn)較大誤差;下面就可看到一個筒形漩渦。然而,只要有實(shí)驗(yàn)的壓力數(shù)據(jù),對應(yīng)的溫度可以用關(guān)系式:</p><p> ln(p/pi) = </p><p> 進(jìn)行估算。在上面的關(guān)系式中,Ti和Pi是初始值,T和P是一段時間后的值,</p><p> γ (s)是
9、絕熱指數(shù)。在實(shí)驗(yàn)中,初始核心溫度是300開爾文,壓縮后的是1000開爾文。</p><p> 在這篇論文中,我們講討論混合氣體在壓縮中的變化,后壓縮變化不在考慮范圍之內(nèi),但在后續(xù)的論文中我們將闡述。然而,這里提出的模型提供了純凈氣體和惰性氣體混合物的后續(xù)變化。參見3.5節(jié)</p><p> 1.2 模型 我們假設(shè)壓縮室體積范圍為X,T=0時,0<X<2L,X=0對應(yīng)于左活塞的初始位置
10、,X=2對應(yīng)于右活塞的初始位置。本篇論文中,我們假定氣體的運(yùn)動是一維空間,氣體的流動僅與X有關(guān),并且T》0。這一假設(shè)其實(shí)影響挺大。因?yàn)楦呔S效應(yīng)在實(shí)驗(yàn)中時常產(chǎn)生,筒狀漩渦在活塞頭和汽缸壁更加顯著(參見文獻(xiàn)5 )。由于氣缸壁的熱邊界層產(chǎn)生了這些漩渦,漩渦影響了氣缸中受壓氣體的運(yùn)動。然而,這里一維空間的研究包括兩方面:1.通過在活塞頭引進(jìn)縫隙,可以成功抑制活塞運(yùn)動時產(chǎn)生的熱邊界層(文獻(xiàn)6),從而使結(jié)果更加接近真實(shí)值。2.一維空間活塞運(yùn)動的研究
11、為高維空間研究提供了基礎(chǔ)。</p><p> 現(xiàn)在,我們給三維空間一個控制方程。在文獻(xiàn)7中,提供了的完整的多氣體反應(yīng)的控制方程的演算;這些演算在這里就不贅述。模型中,我們研究了了許多簡化假設(shè),上述文件將明確規(guī)定它們的產(chǎn)生。該模型有質(zhì)量守恒:</p><p> 上式中,ρ = ρ(x, t) and v = v(x, t) a分別是氣體的密度和速度,X位置和T代表時間 。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是,這
12、些氣體指的是混合氣體,因此,如果有N種混合氣體,則:</p><p><b> ,</b></p><p> 這里ρi = ρi(x, t) 是混合氣體的密度 。V是混合氣體的平均速度。</p><p> 其中,Yi = ρi/ρ , vi = vi(x, t) 分別是i不同氣體成分的體積分?jǐn)?shù)和速度。參見文獻(xiàn)7。忽略驅(qū)動壓力和粘性作用,可
13、以用以下方程表達(dá)受力:</p><p> 其中p = p(x, t) 表示壓力。假定氣體是理想的,可用以下方程表示:</p><p> 其中T = T (x, t)溫度, R 是常數(shù)(8·314 JK?1mol?1), M是氣體的摩爾質(zhì)量</p><p> ni 和Wi 分別代表體積分?jǐn)?shù)和氣體摩爾質(zhì)量,A=6·022×molecu
14、les mol?1,方程如下:</p><p> u = u(x, t) 是氣體的內(nèi)能,有以下方程:</p><p> hi = hi(T ) 表示如下:</p><p> , i = 1, 2, . . . ,N, </p><p> T是相關(guān)的溫度,是N中氣體不變的比熱,忽略不同的氣體速度和熱輻射,有以下方程
15、: q = ?λ(T),λ(T )是熱擴(kuò)散系數(shù).。</p><p> 質(zhì)量分?jǐn)?shù)ρi/ρ是不要考慮的,因?yàn)榛瘜W(xué)反應(yīng)會改變氣體成分。但是,對許多系統(tǒng),在分析壓縮氣體混合物時,化學(xué)效應(yīng)可以忽略不計。只有核心溫度上升到一定的水平,化學(xué) 反應(yīng)可以產(chǎn)生重大的影響,但這段時間通常很短(通常是幾毫秒)。然而,對某些不夠迅速的化學(xué)反應(yīng)它是可能大大影響 壓縮的。但是,我們在這里并不試圖演示該模型,而是采用易快速反應(yīng)的氣體。
16、 把方程(4)及(6)代人(3),并使用(5),我們得出最終形式方程:平均的比熱。</p><p> 1.3 .邊界和初始條件 我們假定的左,右活塞移動速度分別 是V0和-V0 ,因此,它們的運(yùn)動得到X = 和X = 2L- 。在現(xiàn)實(shí)中,活塞快速壓縮機(jī)器將花費(fèi)一些時間加速壓縮 ,慢慢停止。這是不難分析的。然而,考慮變化的活塞速度使得問題復(fù)雜化了,我們將把活塞的運(yùn)動速度簡單化,因?yàn)榭傮w模型的運(yùn)動一旦完成
17、,活塞的速度基本穩(wěn)定;參見3.4節(jié)。我們假定活塞所在的溫度恒定,即T0.所以,對于左邊的活塞:</p><p> v = V0, T = T0 , x = V0t,</p><p><b> 對右活塞</b></p><p> v = ?V0, T = T0 , x = 2L ? V0t .</p><p> 氣
18、缸中的氣體初始速度為零.</p><p> v = 0, T = T0, p = p0, ρ = ρ0 , t = 0,</p><p> P0和ρ0保持不變。很明顯,由方程2,我們得出:</p><p> 但是,上式并沒有考慮范圍和初始條件。根據(jù)已知的條件我們列出:</p><p> v(x, t) = ?v(2L ? x, t),
19、 T (x, t) = T (2L ? x, t), p(x, t) = p(2L ? x, t),</p><p> ρ(x, t) = ρ(2L ? x, t).</p><p> 我們考慮氣體的運(yùn)動模型V0t <x < L,速度和溫度的變化對稱。</p><p> V=0, =0 , x=L
20、 </p><p> 單活塞的雙活塞情況基本相同,僅有一點(diǎn)區(qū)別:</p><p> V=0, T= , x=L </p><p> 代替方程(7),問題的分析過程也很相似。問題的關(guān)鍵差別在于熱邊界層,當(dāng)x=L時即x=vtshi時。然而,最主要的問題是一致的,并且3.4節(jié)提供的運(yùn)算法則適合于兩種情況。</p>
21、;<p> 1.4. 無空間的變化</p><p> 我們定義無空間變化:</p><p> 為了獲得解決問題的便利,假定</p><p><b> 表格一中,</b></p><p> 對于大多數(shù)的氣體或氣體混合物, 是相近的或者是不變的,所以:</p><p> 在和
22、是常量。下文討論的計算結(jié)果,我們使用恒定值λ和γ 。根據(jù)典型的實(shí)驗(yàn)條件下,, ,見表1 。 顯然,從表1,我們僅僅考慮(8)的ε → 0 。然而,對非常輕的氣體 如氫和氦,也有例外。我們有,而不是。這是僅需要考慮的極限ε → 0 ,以便獲得有用結(jié)果;盡管偶爾θ很大,但考慮θ → ∞沒有必要。</p><p> 2.數(shù)值解析2.1 數(shù)值方法 方程(8)進(jìn)行了數(shù)值綜合的差分算法。我們用方程 , 分別
23、計算隨時間變化的ρ,v和T。方程被用來更新有差異的速度v ,這一選擇相對應(yīng)于v ≥ 0 。所有這些數(shù)值的計算都有λ(T)≡ 1,γ(T)≡ 1 ? 9 , θ = 10和ε 。</p><p> 表格三:數(shù)字運(yùn)算a t = 0·1,γ (T ) ≡ 1·9,λ(T ) ≡ 1, θ = 10 ,ε = 8 × </p><p> 我們應(yīng)該注意到,使用的值為
24、θ是明顯小于常見的氣體(見表1) ,為了考慮ε → 0 的漸近行為不同步性,同時考慮了θ較大的情形,第2.2節(jié)將有詳細(xì)的討論。主要的的差別在于?2T /x2.在數(shù)值計算,250個空間坐標(biāo)點(diǎn)間距均勻沿0 ≤ x ≤ 1 變化。,是位移步距,是時間步距。活塞一個行程為80時間段,,40時間段可以被認(rèn)為是合適的的。更多的活塞運(yùn)動模型,可以用X= Xp(t),計算,不會有太大的難度。</p><p> 2.2 探討數(shù)值
25、結(jié)果 </p><p> 一些數(shù)值解(8)中顯示在3-5 可求出。許多的解決方案在第三節(jié)有更詳細(xì)的說明。提出材料的這項(xiàng)命令是為了使分析更清楚和詳細(xì)。 </p><p> 當(dāng)壓縮開始,一個(聲音)波迅速從活塞的頭部到尾部。 結(jié)果表明在下一節(jié)中說,這一波的速度為O(θ)當(dāng)θ大于1 時。鑒于一個事實(shí),即θ = 0(103)一般情況下,波的速度通常是活塞的30倍。不包括達(dá)到終點(diǎn)線 x
26、= 1,所花費(fèi)的時間為O(1/θ ),圖3顯示了第一個波穿越中心線的相應(yīng)數(shù)值。我們使v = 0, </p><p> 表格四: t = 0·25,γ (T ) = 1·9, λ(T ) =1, θ = 10 and ε = 8 × 10?5.</p><p> p= ρ= T= 1 。在波的前面,V~ 1,ε → 0,。這也就是說,在波的后面,波的速度與
27、活塞的速度相同。圖3中,由于我們使得θ = 10,事實(shí)上可能會增大,所以增加的(p, ρ , T ) 是很重要的。我們選擇不使用一個非常大的價值 θ ,以免掩蓋了漸近行為ε → 0 。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是,為使θ接近真實(shí)值 ,波會略增加(p, ρ , T ) 。 然而,由于波的速度為O(),波通常會由于壓縮而經(jīng)過一個特定點(diǎn)多次,導(dǎo)致壓縮后(P,ρ ,T )的大幅度增加。這些討論通過下面的分析將更精確。</p><p>
28、 有一個相同的波在活塞右邊朝相反的方向發(fā)出。當(dāng)兩個接近波碰撞的中心線上它們反映了各自的位移,這些位移反應(yīng)了它們各自的對應(yīng)時間。</p><p> 圖5 數(shù)值解(8)在t = 0 ? 40與γ(T)的≡ 1?9 , λ(T)的≡ 1 , θ = 10 , ε = 8 × </p><p> 波再次從右往左運(yùn)動是,這時的(p, ρ , T )已增加了O()。主要的(P,ρ,T
29、)的恒定值的在波發(fā)出是前已知的,我們可以用方程求解。當(dāng)波到達(dá)活塞處是,它又反應(yīng)了各自的距離,(P,ρ,T)又可以計算。在壓縮中,同樣的這種過程發(fā)生多次,而每次的(P,ρ,T)都可以計算得到。</p><p> 2.3 計算過程 氣缸中的(P,ρ,T)的初始值為(p0,ρ0,T0),在一維條件下,我們令p0 = ρ0 = T0=1,即=0時的值。當(dāng)波第一次離開活塞頂端短時,即時刻,(p1, ρ1, T1
30、)可以計算得出。這段時間也就是波到達(dá)氣缸中心線經(jīng)歷的時間。由于方程表達(dá)了波的速度,這段時間可以求出。(P, ρ , T )的波所反映在中心線( P2, ρ2 ,T2)和,我們定義時間是與波返回活塞的時間之和。繼續(xù)這樣,我們就能計算出一個序列的數(shù)值的i= 1,2,...,這模式的演變反應(yīng)了壓力,密度和溫度。 3 漸近分析;算法 我們現(xiàn)在考慮的漸近行為(8)在限制ε → 0.開始考慮特定情況下的波運(yùn)行和第一次返回至中心線。波在
31、氣缸中來回的往返N次的情況是相近的,我們將簡單地引用N = 1情況下相關(guān)的結(jié)果。 </p><p> 有關(guān)的條件與快速壓縮事件的聯(lián)系非常特別,因?yàn)闀r間短,以及最終實(shí)現(xiàn)的非常高的溫度和壓力。 先前還沒有任何關(guān)于氣體混合物在快速壓縮機(jī)器中運(yùn)行的珍貴研究。然而,計算跳轉(zhuǎn)條件跨越正常振動波是非常明確的規(guī)定和討論,例如, [ 11-13] 。那個利用奇異攝動理論計算跳轉(zhuǎn)條件匹配狹隘過渡層在[ 14 ]和[ 15 ]中討
32、論,包括其他教科書微擾方法。 下文有漸近解,但還沒有進(jìn)行嚴(yán)格的推理。嚴(yán)格的數(shù)學(xué)處理這些問題具有重要的價值,但這不是本文分析的目的。 3.1.1 熱邊界層的活塞 這邊界層位于活塞和清晰可見的密度和溫度剖面的數(shù)值解中顯示在表格3-5;這是因?yàn)榛钊^在整個壓縮過程中保持不變的假定初始溫度,而氣缸的核心溫度的顯著升高。固定的中心氣缸壁的溫升大于邊界層。 該層位于在=O(1),第≥ 0 ,其中x=t + ,并在控
33、制方程中這些變量成為</p><p> 為了很好的解決時的問題,考慮一定的范圍是很必要的。但是,我們</p><p> 也只需要考慮涉及主要秩序的范圍。所以,時,我們得出:</p><p> 3.1.1.1. 方程式</p><p><b> 如下:</b></p><p> 在中,我們
34、假定條件,在中包含</p><p> 視情況而定。在中并不能完全確定的值。所以應(yīng)該考慮必要的修正。 </p><p> 3.1.1.2 的方程</p><p><b> 中的可以寫成:</b></p><p> 這里我們用了邊界條件,把(12)代入中,并且有:</p><
35、p> 隨著條件而變化。(13),14)的解答過程在這里并沒有詳盡寫出,因?yàn)橹饕獑栴}的解決不需要外界條件,正是外部的問題提供了解決問題的可分離應(yīng)算法則。</p><p> 3.1.2. 外部條件</p><p> 我們引入波陣面的方向?yàn)?所以時,我們得出,。而對,我們假定:</p><p> p ~ p?0 (x, t), ρ ~ ρ?0 (x, t),
36、 v ~ v?0 (x, t), T ~ T ? 0 (x, t),</p><p><b> 得出主要的方程:</b></p><p> 這些方程對應(yīng)于條件:(參見上面3.1.1部分),在(下文的3.1.3節(jié)。(15)可以簡化為</p><p> 還有滿足表格3中顯示了兩種數(shù)值的一致性。我們得出:這里,是在是對應(yīng)的。并且外部條件符合方程
37、(15),并在最終保持不變。 </p><p> 3.1.3 過渡區(qū)域</p><p> 區(qū)間在時,。在表格3中很明顯可看出,特別是從總體輪廓上,速度勉強(qiáng)從下降到。我們假定:</p><p><b> 獲得主要方程式:</b></p><p> 現(xiàn)在,我們聯(lián)立(16)中的第二、三、
38、四,并且令,獲得波前雙側(cè)的主要方程(16)中的第二、三、四方程分別表達(dá)了質(zhì)量守恒、動量守恒、和能量守恒。</p><p> 第二方程中,令。有方程</p><p> 讓時,這個表達(dá)式變成</p><p> 很明顯,我們要求》0但這個數(shù)值僅僅要求活塞的速度不超過聲音在空氣中的速度?;钊淖畲笏俣仁?,而聲音在一般空氣中的速度是.</p><p&
39、gt; 把(17)方程代入中,結(jié)合條件得出:</p><p><b> ,有</b></p><p><b> 所以</b></p><p> 以上都是恒量,我們假設(shè)不變時。的預(yù)測值與表三所顯示的結(jié)果一致。</p><p> 把(17)和(19)帶入(16)的第四個方程中,且得出:<
40、/p><p> 其中, </p><p> 3.1.4 小結(jié)</p><p> 帶入以上個方程,并且</p><p><b> 可以得出以下式子:</b></p><p> 4 與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較如圖7 ,我們提供一些比較實(shí)驗(yàn)結(jié)果和預(yù)
41、測模型。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取自Musch[16] ,每三個實(shí)驗(yàn)曲線的初始溫度為295 K和初始壓力為0.06兆帕。結(jié)果顯示在無量綱形式。近似為XP (P)使用測量獲得的活塞運(yùn)動?;钊ㄙM(fèi)大約30 %的壓縮時間加快從運(yùn)動,不到15%的時間減速,而其余的時間在最大速度 。</p><p> 圖7 比較模型預(yù)測與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(一)氮,(二)氧和(c)氬。</p><p> 這些參數(shù)計算了使用數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)條件
42、和已知數(shù)據(jù)的氣體( [ 9 ] )。然而,該模型反映壓縮室內(nèi)的核心最后的壓力。該算法預(yù)測,當(dāng)活塞停止,核心溫核心不斷失去冷墻,雖它仍然可以產(chǎn)生重大影響的高峰壓力,例如如氬,其中有相當(dāng)大的度和壓力的最終壓縮值,因?yàn)檫@是領(lǐng)先分析方程預(yù)測。</p><p> 5 討論 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是,本文我們只能模擬氣體快速壓縮階段。壓縮問題的特點(diǎn)通常是不同的。模擬快速壓縮機(jī)器里氣體運(yùn)動的主要目的是拓展到封閉混合氣體在高溫
43、高壓下可能發(fā)生的自燃現(xiàn)象。第一次嘗試是模型壓縮后假設(shè)氣體很快停止,活塞停止;該模型研究的文件預(yù)測,活塞停下后,天然氣的議案塞特爾斯運(yùn)動(有一個良好的的相似)的一個時間段,即。經(jīng)過壓縮,然后使用一個系統(tǒng)的常微分方程模型計算氣體的反應(yīng)溫度和中間產(chǎn)物 。活塞停止,靠近氣缸壁成為熱邊界層后,這種模式將不會有效。 為系統(tǒng)的這種做法被證明是不充分的代表權(quán)的行為, 這一問題將有分裂整齊地分為兩個不同的部分可以單獨(dú)研究。 在第一部分中,壓縮(研究在這
44、里) ,天然氣占主導(dǎo)地位的議案和化學(xué)的影響微不足道的,因?yàn)閴毫蜏囟群艿?,但所有的最后幾毫秒壓縮。第二部分,后壓縮行為,氣體運(yùn)動是可以忽略不計和化學(xué)效應(yīng)占主導(dǎo)地位,我們有一個系統(tǒng)的常微分方程執(zhí)政的濃度化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng),溫度,初始條件是由國家提供的系統(tǒng)在年底壓縮。 然而,那里的系統(tǒng)耦合關(guān)系具有重要意義的議案和化學(xué)氣體壓縮后的影響,這種做法會失敗。這類系統(tǒng),分析更加困難,因?yàn)槊恳环N混合物然后有自己的偏微</p><p>
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