定積分的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　編號(hào) </p><p><b>　　學(xué)士學(xué)位論文</b></p><p><b>　　定積分的應(yīng)用</b></p><p>　　學(xué)生姓名：艾麥提江·吾拉木江

2、 </p><p>　　學(xué) 號(hào)：20080101037 </p><p>　　系 部：數(shù)學(xué)系 </p><p>　　專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) </p><p>　　年 級(jí)：2008-1班 </p><p>

3、　　指導(dǎo)教師：熱米拉·阿不都克依木 </p><p>　　完成日期：2013 年4 月 日</p><p><b>　　中文摘要</b></p><p>　　定積分是一元函數(shù)積分學(xué)中的另一個(gè)基本概念，它是從大量的實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的在自然科學(xué)與工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，該論文主要討論從幾何問(wèn)題物理問(wèn)題出發(fā)敘述應(yīng)用定積

4、分解決各種問(wèn)題的優(yōu)越性。</p><p>　　關(guān)鍵詞：微元；體積；面積；參數(shù)方程；重心；旋轉(zhuǎn)體；變化率為；</p><p><b>　　中文摘要1</b></p><p><b>　　引言1</b></p><p>　　1. 定積分的應(yīng)用1</p><p>　　1.1定

5、積分在幾何方面的應(yīng)用1</p><p>　　1.1.1微元法1</p><p>　　1.1.2用定積分求平面圖形的面積2</p><p>　　1.2極坐標(biāo)下平面圖形的面積7</p><p>　　2. 應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積8</p><p>　　2.1平行截面積已知的立體體積.8</p>&

6、lt;p>　　2.1.1旋轉(zhuǎn)體體積9</p><p>　　3.定積分在物理上的應(yīng)用13</p><p><b>　　3.1重心13</b></p><p>　　3.2變力做功15</p><p>　　3.3電學(xué)上的應(yīng)用15</p><p>　　4.定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用16<

7、/p><p><b>　　總結(jié)17</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b></p><p><b>　　致謝19</b></p><p><b>　　引言</b></p><p>　　定積分在數(shù)學(xué)，物理上有好多個(gè)

8、應(yīng)用比如：求曲邊梯形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，物體的重心，變力做功，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等等，為什么把這些問(wèn)題應(yīng)用定積分來(lái)計(jì)算？答案是很簡(jiǎn)單這些問(wèn)題都與求和有關(guān)系，但是求和沒(méi)那么容易事所以必須用定積分這工具來(lái)解決。</p><p><b>　　1. 定積分的應(yīng)用</b></p><p>　　定積分在幾何，物理及經(jīng)濟(jì)上有廣泛的應(yīng)用。</p><p>　　首先我們

9、介紹以下定積分這個(gè)概念。</p><p>　　定義：設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。若>0，>0，使得對(duì)的任何分割，以及在其上任意選取的點(diǎn)集，只要<，就有</p><p><b>　　<，</b></p><p>　　則稱函數(shù)在區(qū)間上可積或數(shù)稱為在上的定積分，記作</p><p>　　下

10、面我們介紹以下定積分若干方面的應(yīng)用。</p><p>　　1.1定積分在幾何方面的應(yīng)用</p><p>　　我們用什么樣的方法把定積分應(yīng)用在幾何方面的問(wèn)題？</p><p>　　我們引入微元法這一概念。</p><p><b>　　1.1.1微元法</b></p><p>　　以曲邊梯形面積為列，

11、如圖曲邊梯形</p><p>　　選取一個(gè)變量為積分變量，并確定其變化區(qū)間在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間并記為。 </p><p><b>　　圖1-1</b></p><p>　　以點(diǎn)處的函數(shù)值為高，以為底的矩形面積作為</p><p>　　其中稱為面積微元，記為<

12、;/p><p><b>　　于是面積為</b></p><p>　　1.1.2用定積分求平面圖形的面積</p><p>　　直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積。</p><p>　　設(shè)函數(shù)在上連續(xù)求由曲線及直</p><p>　　線（<)所圍成圖形的面積。</p><p>　　分

13、析：在上任取小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上的面積為，它近</p><p>　　似于高為底為的小矩形面積，如圖1-2所示，從而的面積</p><p><b>　　微元為</b></p><p>　　以為被積表達(dá)式，在區(qū)間作定積分</p><p><b>　　圖1-2</b></p><p>

14、;　　就是所求圖形的面積在這個(gè)公式中無(wú)論曲線在軸的上方與下方都成立，只要在下方即可。</p><p>　　例求由曲線所圍成平面圖形的面積。</p><p>　　分析：先對(duì)曲線進(jìn)行分析，顯然曲線有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。</p><p><b>　　且。</b></p><p><b>　　時(shí)，</b><

15、/p><p>　　我們可以畫(huà)出草圖如圖1-3.</p><p><b>　　進(jìn)一步分析可知：</b></p><p><b>　　時(shí)，，</b></p><p>　　時(shí)，. 圖1-3 </p><p><b>　　所求面積<

16、;/b></p><p><b>　　解：由于</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>　　求由曲線及直線所圍成圖形面積在區(qū)間上任取小區(qū)間，設(shè)此小區(qū)間上的面積為，則近似于高為，低為的小矩形面積，從而得面積微元</p><p><b>　　于是所求面積為<

17、;/b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　例2．求由叁數(shù)方程所圍成圖形的面積</p><p><b>　　，</b></p><p>　　分析：對(duì)參數(shù)方程所圍圖形，與直角坐標(biāo)圖形相似，必須討論其所給曲線的幾何特征，爾后確定積分變量被積函數(shù)及積分區(qū)間。</p&g

18、t;<p>　　解：函數(shù)為周期（針對(duì)變量t而言）函數(shù)，因而在直角坐標(biāo)系中只須考慮0≤t≤2范圍內(nèi)的叁數(shù)方程即可，原方程可變形為</p><p>　　， 0≤t≤2.</p><p>　　時(shí)，，↗，↗此時(shí)，曲線單升，至最右點(diǎn)為。時(shí)，↘，↗，曲線至最左點(diǎn)為</p><p>　　，↘，↘，曲線至最左點(diǎn)為.</p><p>

19、;　　，↗，↘，曲線至最低點(diǎn)為</p><p>　　，↗，↗，曲線至點(diǎn)，</p><p><b>　　，↘，↗，曲線至點(diǎn)</b></p><p><b>　　圖象如圖1-4所示</b></p><p><b>　　圖1-4</b></p><p>　　1

20、.2極坐標(biāo)下平面圖形的面積</p><p>　　設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程在上連續(xù)，且，求此曲線與射線所圍成的曲邊扇形的面積如圖1-3所示，在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間設(shè)此小區(qū)間上曲邊扇形的面積，則近似于半徑為中心角為的扇形面積，從而得到面積微元為可得面積為 </p><p>　　例1..利用定積分求曲線圍成面積。</p><p>　　解

21、：如圖4-18，陰影部分即為所求面積</p><p><b>　　曲線，故所求面積為</b></p><p>　　例2.計(jì)算阿基米德螺線上對(duì)應(yīng)于從0變到的一段曲線與極軸所圍成圖形的面積 。</p><p>　　面積微元為于是所求面積為</p><p>　　2. 應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積</p><p&

22、gt;　　2.1平行截面積已知的立體體積.</p><p>　　設(shè)有一立體價(jià)于過(guò)點(diǎn)圓垂直于 軸的兩平面之間如圖所示，求此立體的體積.</p><p>　　如圖價(jià)于與之間的薄片的體積</p><p>　　近似等于地面面積為高為的扁柱體的體積，即體積微元為</p><p>　　于是所求的體積為 </p><p>　　即對(duì)

23、截面積從 到求積分。</p><p>　　2.1.1旋轉(zhuǎn)體體積 </p><p>　　設(shè)及所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)，如圖2-2所示。求所得旋轉(zhuǎn)體的體積，選取為積分變量其變化區(qū)間為過(guò)點(diǎn)做垂直于軸的平面，截的旋轉(zhuǎn)體截面是半徑為 的圓，其截面積為 從而所求旋轉(zhuǎn)體的體積</p><p>　　例1.求繞極軸把面積≤≤</p><p>　　旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

24、。</p><p>　　分析：分析所給面積(≤)</p><p>　　確定被積函數(shù)及積分上下限，是圓，</p><p>　　觀察曲線： </p><p>　　,,

25、 </p><p>　　則≤, 即曲線在以為半徑的圓內(nèi)，定義域?yàn)?≤≤或≤≤0≤≤,≤≤在第一第三象限內(nèi)有定義，由對(duì)稱性只求第一象限情況下的體積。， 時(shí)， 取最大值。這

26、樣，我們基本上掌握了極坐標(biāo)系下的曲線的基本形狀。曲線，與的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)為</p><p>　　所求體積，便是如圖2-3中陰影部分繞極軸旋轉(zhuǎn)而得的立體體積。根據(jù)結(jié)論，我們便有</p><p><b>　　為此，需求不定積分</b></p><p><b>　　令，</b></p><p><

27、b>　　則</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　令，則上述積分可得</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>

28、<b>　　于是，可得</b></p><p>　　例2設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么曲線及直線所圍曲邊梯形繞直線旋轉(zhuǎn)所成立體體積等于什么？</p><p>　　設(shè)為曲線上任意點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線為過(guò)點(diǎn)作直線的垂線為，即應(yīng)用定積分的元素法，考慮子區(qū)間，設(shè)相應(yīng)于的曲線弧段在直線上的投影長(zhǎng)為則當(dāng)子區(qū)</p><p>　　間的長(zhǎng)度充分小時(shí)，如圖10-15

29、所示，取切線上對(duì)應(yīng)于右端點(diǎn)的點(diǎn)到垂線的距離 </p><p>　　（在此不妨假設(shè)）而點(diǎn)到直線的距離為從而得</p><p><b>　　取積分</b></p><p>　　3.定積分在物理上的應(yīng)用</p><p>　　定積分在物理上有好多個(gè)應(yīng)用比如：求物體的重心，變力做功，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等等。</p&g

30、t;<p><b>　　3.1重心</b></p><p>　　如果平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量分別為 位置分別為</p><p>　　那未這一組點(diǎn)的重心的坐標(biāo)，可用下列公式求出：</p><p><b>　　﹙1﹚</b></p><p><b>　　﹙2﹚</b&g

31、t;</p><p>　　我們已經(jīng)知道了求平面薄板的重心坐標(biāo)公式</p><p>　　但是用這個(gè)公式求出重心沒(méi)那么容易，</p><p>　　我們解決的是求和問(wèn)題，可能腦子里出現(xiàn)是否用定積分來(lái)計(jì)算，我們進(jìn)一步討論以下：</p><p>　　設(shè)具有質(zhì)量的平面薄板是由曲線，直線 和軸所圍成的曲邊梯形，又設(shè)此平面薄板的面密度為常數(shù)設(shè)把區(qū)間 分成n個(gè)

32、小區(qū)間，則整個(gè)平面被分成n個(gè)小窄條取其中處寬為的小狹條,這個(gè)窄條的質(zhì)量可近似地看作均勻分布在線段 上而在該線段均勻分布的質(zhì)量又可以看作集中于 的中點(diǎn)處,于是這個(gè)窄條可以用質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)來(lái)近似地代替,而整個(gè)圖形就用 個(gè)質(zhì)因小條的質(zhì)量稱質(zhì)量微元,而點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,縱坐標(biāo)是 </p><p>　　故質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸及 軸的靜力矩是</p><p>　　則平面薄板對(duì)軸及軸的靜力矩為又這整個(gè)平面薄板的總質(zhì)量等

33、于密度與面積的乘積，而面積，故得整個(gè)平面薄板的中心為</p><p>　　如平面圖形是及直線所謂成，假設(shè)在區(qū)間內(nèi)則同理可得此平面圖形的中心為</p><p><b>　　3.2變力做功</b></p><p>　　下面我們討論一下變力做功</p><p>　　設(shè)某物體在力的作用下沿著軸運(yùn)動(dòng)力平行于軸并在軸上不同的點(diǎn)處取不

34、同的值，即力是的函數(shù).</p><p>　　我們要求物體在這個(gè)變力的作用下，由軸上的一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)時(shí)變力所做的功 </p><p>　?。▓D3-2）由力學(xué)知，物體受恒力產(chǎn)生位移，所做的功為功=力距離（等速）故當(dāng)物體由移動(dòng)到時(shí)，所做的功近似地為（為功微元）在上所做的功就是

35、 </p><p><b>　　3.3電學(xué)上的應(yīng)用</b></p><p>　　我們學(xué)過(guò)電流在單位時(shí)間所做的功稱為電流的功率，即，由于交流電流隨時(shí)間 在不斷變化，因而所求的功是一個(gè)非均勻分布的量，我們必須用定積分來(lái)

36、計(jì)算。</p><p>　　交流電流在不斷的變化，但是很短的時(shí)間隔內(nèi)可以近似地認(rèn)為是不變的，因而在時(shí)間內(nèi)對(duì)以不變代變，就可求得功局部量的近似值，即功微元在一個(gè)周期 內(nèi)消耗的功為 因此交流電的平均功率的計(jì)算公式是：</p><p>　　4.定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用</p><p>　　定積分在經(jīng)濟(jì)中也有用處比如</p><p>　　設(shè)是經(jīng)濟(jì)量的函

37、數(shù)（生產(chǎn)函數(shù)，成本函數(shù)，總收益函數(shù)等）則導(dǎo)數(shù)成為的邊際函數(shù)或變化率，在經(jīng)濟(jì)管理中，可以利用和分法，根據(jù)邊際函數(shù)，求出總函數(shù)或總函數(shù)在區(qū)間 上的改變量</p><p>　　（1）如已知其產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為則從時(shí)間到 </p><p><b>　　該產(chǎn)品的總產(chǎn)量</b></p><p>　?。?）設(shè)某產(chǎn)品總產(chǎn)量，如已知其產(chǎn)品成本對(duì)產(chǎn)量的變化率

38、為，則產(chǎn)量從到總成本為</p><p>　?。?）如某商品收益的變化率為已知時(shí)則銷(xiāo)售個(gè)單位的商品的收益為</p><p>　　例1設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)個(gè)單位，總收益的變化率為（≥0）</p><p>　　﹙1﹚生產(chǎn)40個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益。</p><p>　　﹙2﹚求從生產(chǎn)40個(gè)單位產(chǎn)品到60個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益。</p><p

39、>　　解：（1）生產(chǎn)40個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的總收益為</p><p><b>　　（單位）</b></p><p>　?。?）從產(chǎn)量增加到60時(shí)的總收益為：</p><p><b>　　（單位）</b></p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p

40、>　　我們已經(jīng)參閱了定積分的若干應(yīng)用；主要介紹了把定積分這個(gè)工具怎樣應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題的方法，也就是求出復(fù)雜圖形的面積，種種立體的體積，，交流電流所做的功，求物體重心；</p><p>　　雖然該論文未全面地?cái)⑹龆ǚe分的應(yīng)用但是基本上能為讀者提供了定積分應(yīng)用的優(yōu)越性。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] w

41、ww.ctbu.edu.cn/jpkc/2006jjsx/pajes/doc/w</p><p>　　[2] 高等數(shù)學(xué)-第一冊(cè)：物理類(lèi)/文麗，吳良大編-北京：北京大學(xué)出版社，1999.9重印 ISBN7-301-00700-0,471頁(yè)～480頁(yè)，494～495.</p><p><b>　　504～510.</b></p><p>　　[3]

42、 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué).上冊(cè)/《大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書(shū)》編寫(xiě)組編；北京：中國(guó)水利水電出版社。2004-ISBN7-5084-2253-8，332～335,340～343.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　在喀什師范學(xué)院的教育下經(jīng)過(guò)五年的學(xué)習(xí)，使我在做人做事各個(gè)方面得到了很大的提高.</p><p>　　在熱米拉老師的指導(dǎo)

43、下我的畢業(yè)論文順利通過(guò)，他幫我批閱了好多次，非常感謝她的幫助，在老師耐心的指導(dǎo)下，我學(xué)會(huì)了論文的三步驟：怎么樣開(kāi)頭，怎么繼續(xù)，怎樣結(jié)束.</p><p>　　非常感謝指導(dǎo)老師，也非常感謝我系的各位老師，在她們的教育下，使我在個(gè)方面得到了很大的提高，為以后工作打下了良好的基礎(chǔ)。</p><p><b>　　此致</b></p><p><b