投資組合有效邊界的實(shí)證應(yīng)用分析【畢業(yè)論文+文獻(xiàn)綜述+開(kāi)題報(bào)告】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　投資組合有效邊界的實(shí)證應(yīng)用分析</p><p>　　所在學(xué)院 </p><p>　　專業(yè)班級(jí) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

2、 </p><p>　　學(xué)生姓名 學(xué)號(hào) </p><p>　　指導(dǎo)教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：投資組合作為籌集社會(huì)閑散資金的一種有效方式，在社會(huì)經(jīng)濟(jì)

3、生活中占據(jù)日益重要的地位.為解決資產(chǎn)投資中的收益和風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系問(wèn)題，現(xiàn)代投資理論應(yīng)運(yùn)而生.然而,如何在規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的情況下將資金合理分配以求得最大利益就成為了一個(gè)焦點(diǎn).本文在馬科維茨對(duì)投資組合收益和風(fēng)險(xiǎn)的四種假設(shè)下，一方面，從均值-方差角度出發(fā)討論了包含多項(xiàng)資產(chǎn)的投資組合在不同比例分配下的期望收益和方差；同時(shí)通過(guò)對(duì)可行集理解學(xué)會(huì)如何分析無(wú)差異曲線以得到最優(yōu)投資組合.另一方面，通過(guò)收集真實(shí)的數(shù)據(jù)，采用不同的方法對(duì)建立的有效邊界的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行實(shí)證

4、模擬，并用相應(yīng)的軟件求出投資組合的有效邊界和最小方差組合的期望收益及風(fēng)險(xiǎn)，從而給投資者提供一定的參考依據(jù).</p><p>　　關(guān)鍵詞：投資組合；均值—方差模型；期望收益；風(fēng)險(xiǎn)；有效邊界.</p><p>　　The Analysis of Empirical Application of Efficient Frontier in the Portfolio</p><

5、;p>　　Abstract: As an effective way of raising social idle capital, Portfolio plays an significant role in the social and economic life. The theory of modern investment has emerged in order to solve the relationship be

6、tween returns and risks in the investment. However, how to allocate funds where we can achieve the maximum benefit is becoming a main issue. It is worth noting that we discuss the paper under Markowitz's four assump

7、tions of returns and risks in the portfolio. On one hand, from the persp</p><p>　　Key words: portfolio; mean-variance model; expected return; risk; efficient </p><p><b>　　Frontier.</b&g

8、t;</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 緒論1</b></p><p>　　1.1 課題研究的背景、現(xiàn)狀及意義1</p><p>　　1.2 課題研究的內(nèi)容與方法1</p><p>　　2 馬科維茨（Markowitz）資

9、產(chǎn)投資過(guò)程2</p><p>　　2.1 均值- 方差(MV) 模型概述2</p><p>　　2.1.1 均值-方差模型的假設(shè)2</p><p>　　2.1.2 均值-方差模型的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)2</p><p>　　2.1.3 相關(guān)系數(shù)對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的影響3</p><p>　　2.1.4 均值-

10、方差模型下的相應(yīng)公式及模型的表達(dá)式3</p><p>　　2.2 有效組合的決定4</p><p>　　2.3 最優(yōu)投資組合的選擇5</p><p>　　3 可能投資組合曲線的形狀（有效邊界的確定）6</p><p>　　3.1 全局最小方差組合及最大收益組合的概念及公式7</p><p>　　3.2

11、 不允許賣空條件下的有效邊界8</p><p>　　3.3 允許賣空條件下的有效邊界9</p><p>　　3.4 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下的效率邊界10</p><p>　　4 有效邊界的計(jì)算方法12</p><p>　　4.1 允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸12</p><p>　　4.2 允許賣空但不存在

12、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸14</p><p>　　4.3 存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸但不允許賣空交易15</p><p>　　4.4 既不允許賣空也不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸15</p><p>　　4.5 額外約束的考慮16</p><p>　　5 模型的實(shí)證模擬16</p><p>　　5.1 求解允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸下的有效

13、邊界16</p><p>　　5.2 求解允許賣空但不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸下的有效邊界17</p><p>　　5.3 求解存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸但不允許賣空交易下的有效邊界18</p><p>　　5.4 求解既不允許賣空也不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸19</p><p>　　5.5 求解擴(kuò)展模型的最優(yōu)投資組合20</p><p

14、>　　6 結(jié)論及討論21</p><p>　　致謝錯(cuò)誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)22</b></p><p><b>　　附錄24</b></p><p><b>　　1 緒論</b></p><p>　　1.

15、1 課題研究的背景、現(xiàn)狀及意義 </p><p>　　隨著我國(guó)社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的確立與發(fā)展，各種各樣的投資手段正以前所未有的速度出現(xiàn)，投資組合作為籌集社會(huì)閑散資金、調(diào)節(jié)社會(huì)資本分配的一種有效方式和直接融資的一種手段，必將在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中占據(jù)日益重要的地位.為解決資產(chǎn)投資中的收益和風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系問(wèn)題，現(xiàn)代投資理論應(yīng)運(yùn)而生.這一理論提出一整套分散投資的方法，可使投資者將資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)減少到最小程度，并使投資者選出一個(gè)在

16、一定收益水平下含有最小風(fēng)險(xiǎn)的最有效的資產(chǎn)組合，這便是Markowitz（1952）和Tibia(1985)的均值-方差投資組合理論[1].本文將在這一理論支持下，運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃等有關(guān)運(yùn)算方法，提供一個(gè)解決多項(xiàng)投資選擇的數(shù)學(xué)模型，其計(jì)算問(wèn)題將借助于計(jì)算機(jī)予以解決.</p><p>　　1952年，Markowitz提出的投資組合選擇理論奠定了現(xiàn)代組合投資理論的基礎(chǔ)，帶動(dòng)了金融市場(chǎng)理論的創(chuàng)新，并被譽(yù)為金融領(lǐng)域的一場(chǎng)革命

17、[2]-[4].在此基礎(chǔ)上，1964年，Sharpe建立了資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）.該模型給出了資產(chǎn)的收益、風(fēng)險(xiǎn)以及兩者之間的精確描述.投資組合理論的模型均是在其間接前提假設(shè)和直接均衡條件下推導(dǎo)出來(lái)的.Markowitz的均值-方差模型是根據(jù)投資者力求收益最大和風(fēng)險(xiǎn)最小這兩個(gè)相互制約的目標(biāo)達(dá)到平衡的條件而建立的，從而得出有效組合，或者說(shuō)，在有相同風(fēng)險(xiǎn)水平的可行投資組合中，期望收益最大的組合集構(gòu)成投資組合的有效邊界，即有相同收益水平的

18、可行投資組合中，風(fēng)險(xiǎn)最小的組合集的上半部分構(gòu)成投資組合的有效邊界[5].</p><p>　　在金融機(jī)構(gòu)的資產(chǎn)管理中，在證券公司的投資策略中，在個(gè)人財(cái)富持有方式的選擇過(guò)程中，以及每一個(gè)需要對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行權(quán)衡的場(chǎng)合，現(xiàn)代投資組合理論都具有廣闊的應(yīng)用前景.但是，這一理論在中國(guó)市場(chǎng)的研究目前還基本上處于起步階段.出現(xiàn)這一現(xiàn)象的一個(gè)重要原因是很多人認(rèn)為中國(guó)目前的市場(chǎng)還不規(guī)范，存在著過(guò)度炒作和投機(jī)的問(wèn)題，因此運(yùn)用現(xiàn)代投資

19、組合理論來(lái)降低投資風(fēng)險(xiǎn)的潛力比較有限.目前，我國(guó)市場(chǎng)的一個(gè)特點(diǎn)是價(jià)格波動(dòng)幅度大，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)較大，當(dāng)投資者進(jìn)行投資時(shí)應(yīng)該針對(duì)各資產(chǎn)之間的相關(guān)性對(duì)其進(jìn)行分組, 使每組內(nèi)資產(chǎn)的相關(guān)性盡量大，而使每組資產(chǎn)之間的相關(guān)性盡量小[6].</p><p>　　1.2 課題研究的內(nèi)容與方法</p><p>　　本文主要是對(duì)投資組合的有效邊界進(jìn)行了實(shí)證應(yīng)用分析：第一章為緒論，介紹了投資組合理論的歷史背景、現(xiàn)狀

20、和發(fā)展?fàn)顩r及對(duì)本文的安排情況；第二章為馬科維茨資產(chǎn)投資過(guò)程，在均值—方差模型的四種假設(shè)下，給出了期望收益和風(fēng)險(xiǎn)的相應(yīng)公式及模型表達(dá)式，并簡(jiǎn)要分析相關(guān)系數(shù)對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的影響，同時(shí)利用可行集等概念和無(wú)差異曲線確定有效組合，從而決定最優(yōu)投資組合；第三章為可能投資組合曲線的形狀，文中介紹了全局最小方差組合及最大收益組合的概念并給出了相應(yīng)的公式，同時(shí)詳細(xì)分析了在允許賣空、不允許賣空和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下的有效邊界形狀；第四章給出了四種條件下的有效邊

21、界計(jì)算方法，并將其進(jìn)行一定的擴(kuò)展，從而為數(shù)學(xué)理論應(yīng)用到實(shí)際提供了可能的解決性；第五章為本文的實(shí)證研究部分，通過(guò)利用MATLAB、LINGO等軟件，參照投資組合有效邊界的數(shù)學(xué)模型及其擴(kuò)展，結(jié)合經(jīng)過(guò)幾何平均插值處理后中國(guó)國(guó)航和中國(guó)石油兩只證券的收盤價(jià)進(jìn)行實(shí)證模擬，樣本日期為2009年9月1日到2010年8月31日，求出最優(yōu)投資組合和全局最小方差組合，并畫出有效邊界圖形.第六章根據(jù)所得結(jié)果進(jìn)行分析得出一定的結(jié)論，討論了投資組合理論的現(xiàn)狀及研究

22、方向，從而對(duì)投資選擇起</p><p>　　2 馬科維茨（Markowitz）資產(chǎn)投資過(guò)程</p><p>　　2.1 均值- 方差(MV) 模型概述</p><p>　　Markowitz的投資組合選擇理論[2]在今天已經(jīng)成為現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的基石，它不但在理論上使金融經(jīng)濟(jì)學(xué)從此改觀，并且在證券市場(chǎng)上引起一場(chǎng)“華爾街革命”，標(biāo)志著現(xiàn)代投資組合理論的誕生.今天人們

23、在處理投資組合的收益-風(fēng)險(xiǎn)分析時(shí)，Markowitz理論始終是一種基本工具[7].我們把資金同時(shí)投資于多種資產(chǎn)的作法稱為多元組合資產(chǎn)投資.</p><p>　　2.1.1 均值-方差模型的假設(shè)</p><p>　　對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，投資組合的基本目標(biāo)說(shuō)是在特定的限制條件下獲得最大可能的收益.通常衡量一項(xiàng)資產(chǎn)組合獲利大小的指標(biāo)是收益率，然而在一般情況下資產(chǎn)的收益率是一個(gè)不確定的量，投資者在投

24、資時(shí)無(wú)法預(yù)知其未來(lái)的實(shí)際值，而只能得到某種“平均值”，從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，平均值就是根據(jù)隨機(jī)變量收益率的概率分布而求得的數(shù)學(xué)期望.正是由于收益率本身的不確定性，使得投資者在追求最大收益時(shí)也伴隨著一系列的風(fēng)險(xiǎn)；收益越大，風(fēng)險(xiǎn)越高.根據(jù)投資者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度可分三類：風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者、風(fēng)險(xiǎn)厭惡者和風(fēng)險(xiǎn)中立者，而投資者所得到的預(yù)期收益，則伴隨著其對(duì)收益與風(fēng)險(xiǎn)這種交換關(guān)系的態(tài)度不同而變化.</p><p>　　馬科維茨為了抽象說(shuō)明理

25、論的本質(zhì)，對(duì)于投資組合的收益和風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系作出如下假設(shè)：第一，假設(shè)投資市場(chǎng)是有效的，投資者能得知證券收益和風(fēng)險(xiǎn)變動(dòng)及其原因；第二，假設(shè)投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，都愿意得到較高的收益率，如果要他們承受較大風(fēng)險(xiǎn)則必須以得到較高的預(yù)期收益作為補(bǔ)償；第三，假設(shè)投資者根據(jù)資產(chǎn)的預(yù)期收益和風(fēng)險(xiǎn)選擇資產(chǎn)組合，則此種組合具有較高預(yù)期收益率或較低的風(fēng)險(xiǎn)；第四，假定多種資產(chǎn)之間的的收益都是相關(guān)的，如果得知每種資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)，就有可能降低最低風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合[1]

26、.</p><p>　　2.1.2 均值-方差模型的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)</p><p>　　Markowitz理論的基本思想在于把投資組合的收益率看作隨機(jī)變量，在Markowitz的MV模型中，用來(lái)描述收益的兩個(gè)最常用屬性：一個(gè)是描述中心趨向性的指標(biāo)，稱為期望收益；另一個(gè)是描述風(fēng)險(xiǎn)或圍繞中心偏差的指標(biāo)，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或方差.于是該收益率的期望值就是該資產(chǎn)的期望收益，其標(biāo)準(zhǔn)差則可看作證券投資風(fēng)險(xiǎn)的

27、一種度量.為了減少投資風(fēng)險(xiǎn)并取得適當(dāng)?shù)耐顿Y收益，投資者往往采用組合證券的投資方式，即把一筆資金同時(shí)投資于許多不同的資產(chǎn).投資者對(duì)其投資行為最關(guān)心的問(wèn)題有兩個(gè)：一個(gè)是預(yù)期收益的高低，二是預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)的大小.</p><p>　　投資組合的期望收益是其所包含的各種資產(chǎn)的預(yù)期收益的加權(quán)平均值，權(quán)重是各種資產(chǎn)在總投資中所占的比例，權(quán)重總和為1.權(quán)重可正可負(fù)，負(fù)的權(quán)重表示賣空（short sale） 該種資產(chǎn)，也稱此為空頭.&

28、lt;/p><p>　　投資組合的風(fēng)險(xiǎn)通常是指對(duì)未來(lái)收益率的不確定性，是指預(yù)測(cè)收益率與實(shí)際收益率之間的偏差.該風(fēng)險(xiǎn)不僅取決于資產(chǎn)組合中各資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)大小，而且取決于這些資產(chǎn)收益率之間的相關(guān)程度.投資組合中各資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)用方差（variance）或標(biāo)準(zhǔn)差（stardard deviation）來(lái)表示，各資產(chǎn)收益率之間的而相互關(guān)系，用協(xié)方差（covariance）表示[8]-[11].</p><p>

29、;　　2.1.3 相關(guān)系數(shù)對(duì)投資組合風(fēng)險(xiǎn)的影響</p><p>　　相關(guān)系數(shù)是反映兩個(gè)隨機(jī)變量之間共同變動(dòng)程度的相關(guān)關(guān)系數(shù)量的表示,用表示.對(duì)投資組合來(lái)說(shuō)，相關(guān)系數(shù)可以反映一組資產(chǎn)中，每?jī)山M資產(chǎn)之間的期望收益作同方向運(yùn)動(dòng)或反方向運(yùn)動(dòng)的程度.相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值小于等于1，即.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，稱為正相關(guān)，表示兩種資產(chǎn)的收益作同方向運(yùn)動(dòng)，即一種資產(chǎn)的收益增加或減少，另一種資產(chǎn)的收益也

30、增加或減少.越接近于1，一種資產(chǎn)收益增減值與另一種資產(chǎn)的收益增減值越接近.組合期望收益在兩種資產(chǎn)的收益之間是同一趨勢(shì)波動(dòng).這個(gè)結(jié)果意味著投資組合并不收到降低風(fēng)險(xiǎn)的效果.</p><p>　　當(dāng)時(shí)，表示一種資產(chǎn)的期望收益的變動(dòng)對(duì)另一種資產(chǎn)收益毫不產(chǎn)生影響.這個(gè)組合結(jié)果，意味著可能降低部分風(fēng)險(xiǎn)，也可能不能降低風(fēng)險(xiǎn).</p><p>　　當(dāng)時(shí)，稱為負(fù)相關(guān)，表示兩種資產(chǎn)的收益作反方向運(yùn)動(dòng).即一種資

31、產(chǎn)的期望收益增加或減少，另一種資產(chǎn)的收益則減少或增加，這種資產(chǎn)組合期望收益變化較為平緩.取得了降低風(fēng)險(xiǎn)的效果.</p><p>　　從上面的分析可以看出，在多種資產(chǎn)中要選幾種資產(chǎn)進(jìn)行組合投資時(shí)，應(yīng)選相關(guān)程度較低的資產(chǎn)組[12]. </p><p>　　2.1.4 均值-方差模型下的相應(yīng)公式及模型的表達(dá)式</p><p>　　假設(shè)有種資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合,其中為組合

32、投資的期望收益,為資產(chǎn)的期望收益，為投資組合的方差，為資產(chǎn)的方差，為投資于資產(chǎn)的比重，且滿足，為資產(chǎn)1與資產(chǎn)2之間的協(xié)方差，為資產(chǎn)1與資產(chǎn)2之間的相關(guān)系數(shù)，則</p><p>　?。?.1） </p><p><b>　　（2.2）</b><

33、/p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　Markowitz的投資組合理論的觀點(diǎn)是：在收益達(dá)到一定水平以及其他的約束條件下使投資組合的風(fēng)險(xiǎn)最小，用模型表示如下：，其中為投資組合的方差，為投資于資產(chǎn)的比重,為資產(chǎn)與資產(chǎn)之間的協(xié)方差，為投資組合的期望收益，為資產(chǎn)的期望收益[13][14].</p><p>　　2.2 有效組合

34、的決定</p><p>　　一般地，在給定預(yù)期收益率下，有無(wú)窮多種組合資產(chǎn)可以實(shí)現(xiàn)該預(yù)期風(fēng)險(xiǎn).如果以預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)為橫坐標(biāo)，預(yù)期收益為縱坐標(biāo)，則任一可行的組合資產(chǎn)唯一地確定了平面上的一點(diǎn)，而所有可行的組合資產(chǎn)則確定了平面上的一個(gè)區(qū)域?yàn)榭尚屑?而有效組合就隱含在可行集之中.根據(jù)現(xiàn)在組合理論創(chuàng)始人馬科維茨的假定，投資者大多是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，他們總是在一定預(yù)期收益及風(fēng)險(xiǎn)水平上選擇組合資產(chǎn).理性的投資者總是希望在已知風(fēng)險(xiǎn)條件下獲得

35、最大期望收益，或者在已知期望收益條件下，使投資風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到極小.例如兩個(gè)資產(chǎn)組合和，當(dāng)它們對(duì)應(yīng)在平面的區(qū)域上的點(diǎn)為和,滿足且，或且時(shí)則稱優(yōu)于,其中為資產(chǎn)組合的收益，為資產(chǎn)組合的方差.</p><p>　　在所有的可能的資產(chǎn)組合中，稱那些沒(méi)有比它更優(yōu)的資產(chǎn)組合為有效資產(chǎn)組合.所有有效投資組合在平面上確定了一段弧線，該弧線實(shí)際上是可行集的邊界的部分，常稱為有效邊界.在有效邊界上投資者不需要評(píng)估可行集中的所有投資組合，只需

36、分析任意給定風(fēng)險(xiǎn)水平有最大的預(yù)期收益或任意給定預(yù)期收益有最小的風(fēng)險(xiǎn)的投資組合.圖2-1中就是曲線為有效邊界.投資組合有最小的風(fēng)險(xiǎn)，有最大的預(yù)期收益.可行集中的組合都可以用比它好的有效集上的投資組合代替.比如，投資組合可以用投資組合代替，因?yàn)樵谙嗤L(fēng)險(xiǎn)水平下，的預(yù)期收益比大；同時(shí)可以用代替，因?yàn)樵谙嗤A(yù)期收益水平下，的風(fēng)險(xiǎn)比的風(fēng)險(xiǎn)小. </p><p>　　因此，投資者可以從有效資產(chǎn)的集合中來(lái)選擇自己最理想的資產(chǎn)組

37、合. </p><p>　　圖2-1 均值-方差模型的有效邊界 </p><p>　　2.3 最優(yōu)投資組合的選擇</p><p>　　確定投資組合的有效集后，投資者就可以從這個(gè)有效集中選出適合自己的投資組合，這取決于投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度.為了了解不同投資者在有效集上所作出的進(jìn)一步選擇，則必須結(jié)合其效用的無(wú)差異曲線來(lái)進(jìn)行分析.不同類型投資者的無(wú)差異曲線與一

38、定風(fēng)險(xiǎn)度相適應(yīng)的任一投資收益都能給投資者帶來(lái)一定的效用.一般而言，收益越高，效用最大；風(fēng)險(xiǎn)越大，效用越小.根據(jù)收益與風(fēng)險(xiǎn)對(duì)稱的原理，較小的預(yù)期收益對(duì)應(yīng)著較小的風(fēng)險(xiǎn)，而較大的預(yù)期收益往往伴隨著較大的風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于任一投資者而言，其總是能夠找出為其帶來(lái)相同滿足程度，但具有不同收益與風(fēng)險(xiǎn)的投資組合.將這些組合描述在橫軸表示方差、縱軸表示預(yù)期收益的平面上，就得到如圖2-2所示的無(wú)差異曲線：</p><p>　　圖2-2 無(wú)

39、差異曲線的基本形態(tài)</p><p>　　圖2-2中，曲線上的任一點(diǎn)都給投資者帶來(lái)相同的效用.如該線上的、兩點(diǎn)，雖然點(diǎn)的收益較點(diǎn)大，但由于其風(fēng)險(xiǎn)也較大，所以它給投資者帶來(lái)的滿足程度與點(diǎn)沒(méi)有什么不同，所以它們同處一條無(wú)差異曲線.但曲線與都高于曲線，所以它們的效用都大于曲線上投資策略所帶來(lái)的效用. </p><p>　　由以上分析可知：第一，無(wú)差異曲線不是單獨(dú)的一條，而是一束；第二，對(duì)于同一投

40、資者而言，同一平面上的兩條無(wú)差異曲線不可能相交.</p><p>　　結(jié)合圖2-1、圖2-2，我們可以得到投資者的最優(yōu)選擇如圖2-3所示：</p><p>　　圖2-3 最優(yōu)投資組合的選擇</p><p>　　圖2-3中，投資者的無(wú)差異曲線位置最高，但由于其離開(kāi)了有效邊界，就表明不存在能給投資者帶來(lái)這樣的滿足程度的投資選擇.而無(wú)差異曲線與都與有效邊界相交，其交點(diǎn)即

41、為可行的投資選擇，但都不是最優(yōu)的選擇，因?yàn)榇嬖谥в酶笄铱尚械耐顿Y選擇,點(diǎn)就是我們所尋找的最優(yōu)投資選擇[1][11]. </p><p>　　3 可能投資組合曲線的形狀（有效邊界的確定）</p><p>　　圖3-1、圖3-1、圖3-1代表了3種假定的由某公司股票和最小方差組合構(gòu)成的組合的形狀.圖3-1的形狀是不可能存在的，因?yàn)樵谄谕找?標(biāo)準(zhǔn)差空間中，投資組

42、合風(fēng)險(xiǎn)不能大于兩種資產(chǎn)連線的風(fēng)險(xiǎn)（也就是完全正相關(guān)的情況）.接著考慮圖3-1，雖然整體上所有投資組合風(fēng)險(xiǎn)都小于某公司股票和最小方差組合的連線風(fēng)險(xiǎn)，但當(dāng)我們單獨(dú)考慮和兩個(gè)投資組合時(shí)，其中和是兩個(gè)由某公司股票和最小方差組合的連線風(fēng)險(xiǎn)，我們發(fā)現(xiàn)所有由于和構(gòu)成的組合要么位于連接和的直線之上，要么位于這條直線的上方.因而圖3-1是不可能出現(xiàn)的，唯一合理的形狀是圖3-1,這是一條凹曲線.在考慮最小方差組合和具有更高方差和更低收益的證券或投資組合構(gòu)成

43、的組合時(shí)，我們可用同樣的分析方法推出投資組合可能曲線是凸曲線.也就是說(shuō)，合理的曲線形狀一定是圖3-2，而不是圖3-2和圖3-2.</p><p>　　圖3-1 當(dāng)最小方差組合與結(jié)合時(shí)，期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差的不同可能關(guān)系</p><p>　　圖3-2 當(dāng)最小方差組合與結(jié)合時(shí)，期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差的不同可能關(guān)系</p><p>　　3.1 全局最小方差組合及最大收益組合的

44、概念及公式</p><p>　　在有效邊界上具有最小風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合稱為全局最小方差組合，而具有最大收益的資產(chǎn)組合稱為最大收益組合.其中最小風(fēng)險(xiǎn)組合可以通過(guò)考察關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的方程式獲得：</p><p>　　，為找到使這一方程為最小值的，我們求對(duì)的導(dǎo)數(shù)，并另其為0，然后求解，即</p><p>　?。?.1）

45、

46、 </p><p>　　3.2 不允許賣空條件下的有效邊界</p><p>　　從理論上講，我們可以在一個(gè)收益標(biāo)準(zhǔn)差空間內(nèi)畫出所有可以想象到的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)及其構(gòu)成的組合，之所以用理論上這一提法，并不是因?yàn)橛?jì)算股票或者其組合的風(fēng)險(xiǎn)和回報(bào)時(shí)存在困難，而是因?yàn)樾枰紤]的可能性無(wú)窮多.我們不僅要考慮風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的可能分組，還要考慮所有分組中所有可能的配置

47、百分比例.</p><p>　　如果我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)-收益空間內(nèi)畫出所有可能的情況，我們能得到類似圖3-3的一個(gè)圖，并用有限的點(diǎn)來(lái)代表所有可能的組合.考慮并分析圖3-3，看看能否從投資者視角去掉該圖的某些部分.投資者喜好高收益、厭惡高風(fēng)險(xiǎn)是合理的.因而，如果我們能找到具有如下特征的投資組合集合，即在相同風(fēng)險(xiǎn)下能提供更高收益或在相同收益下能提供更小風(fēng)險(xiǎn)，就能識(shí)別投資者愿意持有的所有投資組合，其余的投資組合則可以忽略.&l

48、t;/p><p>　　考察投資組合和.相對(duì)于組合，所有投資者更偏好組合，這是因?yàn)榻M合能在相同風(fēng)險(xiǎn)水平下提供更高的收益.我們還可以看到組合優(yōu)于組合，這是因?yàn)樵谙嗤找嫦拢M合具有更小的風(fēng)險(xiǎn).因此我們不能找出更優(yōu)于組合和組合的組合.</p><p>　　顯然，一個(gè)有效投資集不會(huì)包括內(nèi)部投資組合.對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)-收益空間中的任何一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)然希望它盡可能地沿著收益增加或風(fēng)險(xiǎn)減少的方向移動(dòng).考察點(diǎn)，這是一個(gè)邊

49、界點(diǎn).由于存在組合，在相同風(fēng)險(xiǎn)下，組合比組合收益高，因而可以去掉點(diǎn).對(duì)于從點(diǎn)到點(diǎn)的所有外邊界上的點(diǎn)，情況都是一樣的.由于不存在風(fēng)險(xiǎn)與相同但收益更高，或收益與相同但風(fēng)險(xiǎn)更低的組合，點(diǎn)不能被去掉，此時(shí)點(diǎn)被稱為全局最小方差組合.</p><p>　　最后考察點(diǎn)，點(diǎn)位于外邊界上，但點(diǎn)在于它有相同收益的情況下有更小風(fēng)險(xiǎn).當(dāng)點(diǎn)開(kāi)始沿著外邊界移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，所有組合都遜于點(diǎn).由于不存在風(fēng)險(xiǎn)與相同但收益更高，或收益與相同但風(fēng)險(xiǎn)更低的

50、組合，因而點(diǎn)不能去掉.點(diǎn)代表所有投資組合中提供最高收益的組合（通常是某一證券）.因而，有效集是介于全局最小方差組合和最大收益組合之間的包絡(luò)曲線，這一集合稱為有效邊界.</p><p>　　經(jīng)過(guò)以上分析可以得到，有效邊界在期望收益-標(biāo)準(zhǔn)差空間中是最小方差組合開(kāi)始延伸至最大收益組合.投資組合問(wèn)題實(shí)際就是找到這一邊界上的所有投資組合.</p><p>　　圖3-3 多種資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)與收益的可能

51、性</p><p>　　3.3 允許賣空條件下的有效邊界</p><p>　　在股票市場(chǎng)（以及其他一些資本市場(chǎng)），投資者經(jīng)常出售他并不擁有的證券，這一過(guò)程稱為賣空出售，所以可將賣空交易視為在不擁有證券的情況下出售證券的能力，并假設(shè)這一過(guò)程沒(méi)有特別的交易成本.從本質(zhì)上說(shuō)，賣空是持有一只證券的負(fù)頭寸.值得指出的是分析不允許賣空的情形并非浪費(fèi)時(shí)間，這源于兩個(gè)理由.首先，絕大多數(shù)機(jī)構(gòu)投資者并不進(jìn)

52、行賣空交易.一些機(jī)構(gòu)投資者被法律禁止賣空交易，而其他一些機(jī)構(gòu)則在自我約束下也不從事賣空交易.其次，當(dāng)投資者預(yù)期某種證券的收益為負(fù)時(shí)，賣空交易就有意義了，因?yàn)樵谕粫r(shí)刻賣空某一證券獲得的現(xiàn)金流可以用來(lái)購(gòu)買有更高期望收益的證券，但相應(yīng)地會(huì)增加風(fēng)險(xiǎn).例假定某兩種證券和的相關(guān)系數(shù)是0.5，在允許賣空交易下可以繪出和證券的組合投資圖3-4.</p><p>　　圖3-4 當(dāng)允許賣空交易時(shí)，和組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差<

53、/p><p>　　由于投資者可以應(yīng)用賣空交易出售有較低期望收益的證券，并將所得資金購(gòu)買有較高期望收益的證券，因而在賣空交易下投資組合可以提供無(wú)限的期望收益率.與不允許賣空交易類似，能提供比全局最小方差有更大收益的投資組合的有效集是從最小方差組合開(kāi)始的曲線，與不允許賣空交易條件不同的是允許賣空交易上界無(wú)限.</p><p>　　3.4 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下的效率邊界</p><

54、p>　　在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下我們可以將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸款視為有確定收益的資產(chǎn)，借款視為賣空這種資產(chǎn)，因而借款可以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行.將無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的固定收益率定義為，由于收益是確定的，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益標(biāo)準(zhǔn)差必然為0.我們首先考察投資者可以按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率無(wú)限制借貸資金的情況，即投資組合的資金可以大于初始資金，可以大于1.假定投資者有興趣將部分資金投資于組合，并且愿意借款或貸款.在這一假定下，可以很容易確定組合與借貸款組合的幾何形式，以代表初始資

55、金中投資組合的比重，則即為初始資金中投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比重，，</p><p>　　表示組合的期望收益，表示組合的標(biāo)準(zhǔn)差，表示組合和的相關(guān)系數(shù).則無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合的收益回報(bào)可表示為 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　組合的風(fēng)險(xiǎn)為 </p><p>　　由于等于0，

56、 </p><p>　　整理后得到 </p><p>　　由此可見(jiàn)在期望收益-標(biāo)準(zhǔn)差空間中，由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸和組合構(gòu)成的所有組合都位于一條直線</p><p>　　上，這條直線的截距（在收益軸上）為，直線的斜率為且通過(guò)點(diǎn)，如圖</p><p>　　3-5，圖中在點(diǎn)的左邊是貸款和組合的組合，右邊則是借款與組合的組合.

57、在期望收益-標(biāo)準(zhǔn)</p><p>　　差空間中，任何證券或投資組合與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸構(gòu)成的組合都分布于一條直線上.</p><p>　　考察圖3-6，假如將組合與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸進(jìn)行組合并沿著而非持有組合.由于在相同風(fēng)險(xiǎn)下能提供更高的收益，沿著的組合優(yōu)于沿著的組合，顯然將過(guò)點(diǎn)的直線按照逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，最遠(yuǎn)能旋至通過(guò)點(diǎn)的直線，其中點(diǎn)是有效邊界與通過(guò)縱軸上點(diǎn)的射線的焦點(diǎn).按有效邊界定義在過(guò)點(diǎn)和的直線的上方

58、，不存在可能組合，因而投資者不能進(jìn)一步旋轉(zhuǎn)這條射線.具有如圖3-6所示的有效邊界和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的所有投資者，都會(huì)持有相同的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)—組合，一些厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投資者會(huì)沿著段投資組合，他們將其資金部分投資于組合，部分投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn).其他更能忍受風(fēng)險(xiǎn)的投資者會(huì)沿著段選擇投資組合，他們借入資金，并將借入資金與初始資金一起投資于組合.還有一些投資者將所有初始資金投資于組合.所有投資者持有的風(fēng)險(xiǎn)組合都與組合的構(gòu)成相同.因而，在存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的情況下，識(shí)

59、別組合就成為了求解組合問(wèn)題答案的一個(gè)組合部分，無(wú)須知道任何投資者信息就可確定最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資組合的能力就成為分離定理.</p><p>　　圖3-5 當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與組合組合時(shí)的期望收益和風(fēng)險(xiǎn)</p><p>　　圖3-6 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與不同風(fēng)險(xiǎn)組合的組合</p><p>　　下面介紹兩種在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸受約束條件下的有效邊界形狀.投資者按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸款的能力（購(gòu)買政府證券

60、）是不容置疑的，如果投資者按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸款，而不能按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借款，有效邊界就會(huì)成為圖3-7中的段，一些投資者會(huì)在點(diǎn)和點(diǎn)之間持有風(fēng)險(xiǎn)投資組合.然而只要投資者持有一定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，他就會(huì)將所有剩余資金投資于風(fēng)險(xiǎn)組合.</p><p>　　另一種情況是投資者按一定利率進(jìn)行貸款，但必須按不同的、更高的利率進(jìn)行借款，將借款利率設(shè)為，則有效邊界就會(huì)成為圖3-8的.此時(shí)投資者只有較小的風(fēng)險(xiǎn)投資組合選擇范圍，如果與差異不大，則能

61、以相同利率進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸可作為投資者持有最優(yōu)投資組合段部分的近似假定[15]-[19].</p><p>　　圖3-7 允許以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貸出資金但禁止無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借款條件下的有效邊界</p><p>　　圖3-8 不同無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借款利率條件下的有效邊界</p><p>　　4 有效邊界的計(jì)算方法</p><p>　　4.1 允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)

62、借貸</p><p>　　無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的存在意味著存在優(yōu)于其他組合的一個(gè)組合.在收益率-標(biāo)準(zhǔn)差空間中，這個(gè)組合位于連接無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)組合的逆時(shí)針?lè)较蜃畲罂赡苄D(zhuǎn)的射線上.例如，圖4-1中射線上的投資組合就優(yōu)于其他風(fēng)險(xiǎn)投資組合.有效邊界是過(guò)和點(diǎn)射線的所有部分.射線上的不同點(diǎn)代表不同借貸款數(shù)量和風(fēng)險(xiǎn)投資組合的不同組合.</p><p>　　圖4-1 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)組合的結(jié)合</p&g

63、t;<p>　　識(shí)別射線的一個(gè)等價(jià)方法是識(shí)別具有最大斜率的射線.據(jù)了解，連接無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)投資組合的直線的斜率等于風(fēng)險(xiǎn)投資組合期望收益率再除以風(fēng)險(xiǎn)投資組合收益標(biāo)準(zhǔn)差.因此，可以在投資于各資產(chǎn)比例的總和為1的約束下，通過(guò)尋找超額收益率（風(fēng)險(xiǎn)組合期望收益率減無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率）與收益率標(biāo)準(zhǔn)差之比最大的投資組合來(lái)確定有效邊界.以方程的形式來(lái)表示，最大化目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為.</p><p>　　上述問(wèn)題也可用

64、以下方法求解，即將約束條件代入目標(biāo)函數(shù)，然后在無(wú)約束條件下求解目標(biāo)函數(shù)最大化.具體如下：我們可以將寫成乘以1得到</p><p>　　（4.1） </p><p>　　將（4.1）式代入目標(biāo)函數(shù)，利用公式（2.1）、（2.2）得到</p><p>　　我們用基礎(chǔ)的微積分方法求解上述最大化問(wèn)題，但

65、在計(jì)算上述函數(shù)最大值時(shí)，對(duì)每一變量求偏</p><p>　　導(dǎo)，并另導(dǎo)數(shù)等于0.因此最大化問(wèn)題就等價(jià)于找到上述聯(lián)立方程組的解，即</p><p>　　在附錄1中我們已經(jīng)證明（4.2）</p><p>　　假設(shè)并將其代入公式（4.2）以簡(jiǎn)化表達(dá)式，其中是一個(gè)常數(shù)，是投資于每類資產(chǎn)的資金比重，與每只證券的最優(yōu)投資總量成比例.將方差、協(xié)方差移項(xiàng)到等式右邊得</p&g

66、t;<p>　　對(duì)每一個(gè)值都有一個(gè)類似形式的方程，因而求解最大化問(wèn)題等同求解下列聯(lián)立方程組，即</p><p>　　有個(gè)方程（一個(gè)方程對(duì)應(yīng)一只證券）對(duì)應(yīng)個(gè)未知數(shù)（一只證券對(duì)應(yīng)一個(gè)），因此投資于股票的比重為</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　4.2 允許賣空但不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸</p>

67、<p>　　當(dāng)投資者不希望假定可以以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行借貸時(shí)，考察圖4-2，5%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇投資組合，4%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇投資組合，6%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇投資組合.此問(wèn)題可轉(zhuǎn)述為假定存在一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，并能找到相應(yīng)最優(yōu)化投資組合.然后假定存在另一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，并能找到另一個(gè)與之相應(yīng)的最優(yōu)化投資組合.持續(xù)改變無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，直至有效邊界被確定.</p><p>　　圖4-2 不同風(fēng)險(xiǎn)利率

68、下的切點(diǎn)組合 </p><p>　　由于整個(gè)有效邊界能通過(guò)位于有效邊界上的任意兩個(gè)組合的不同組合來(lái)確定，所以針對(duì)兩個(gè)任意，確定兩個(gè)最優(yōu)組合特性后就可以確定整個(gè)有效邊界.</p><p>　　4.3 存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸但不允許賣空交易</p><p>　　與允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的情況類似，即存在一個(gè)最優(yōu)投資組合，它也使連接風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的斜率最大化.然而，由于

69、增加了一個(gè)新的約束，可以與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸相組合的有效投資組合是不同的.投資者不能持有負(fù)數(shù)量的證券.這個(gè)問(wèn)題可以正式地表示為 </p><p><b>　　最大限度</b></p><p><b>　　約束為 （1）</b></p><p><b>　?。?） 全部</b

70、></p><p>　　因?yàn)殛P(guān)于的約束是不等式，（1）（2）是線性約束，而目標(biāo)函數(shù)是非線性（包含和項(xiàng).包括平方項(xiàng)和交叉相乘項(xiàng)的方程稱為二次型方程）.因此除目標(biāo)函數(shù)外，這一問(wèn)題看起來(lái)就像是線性規(guī)劃問(wèn)題，所以它被稱為二次規(guī)劃問(wèn)題.</p><p>　　4.4 既不允許賣空也不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸</p><p>　　有效風(fēng)險(xiǎn)集是在任意期望收益率水平上最小化風(fēng)險(xiǎn)決定的.

71、如果指定一個(gè)收益率水平，通過(guò)求出這一收益水平的最小方差，就能找到有效邊界上的一個(gè)點(diǎn).因而，為了得到有效邊界上的一個(gè)點(diǎn)，則需要在某一收益水平和一定的限制條件下找到對(duì)應(yīng)的最小方差.這里的限制條件包括投資于每只證券的比例之和為1，且每只證券的投資比例為正或?yàn)?，這相當(dāng)于求解如下問(wèn)題：</p><p><b>　　最大限度 </b></p><p>　　約束條件為 （1）

72、</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（3） </b></p><p>　　在最小方差組合收益率和最大收益率組合的收益率之間的變動(dòng)，就可以描繪出有效集.由于出現(xiàn)了和（平方項(xiàng)和交叉相乘項(xiàng)），這也是二次規(guī)劃問(wèn)題.</p><p>　　4.5 額外約束的考慮&l

73、t;/p><p>　　在求解投資組合問(wèn)題時(shí)，其他類型的約束條件也經(jīng)常被采用.可能的最常見(jiàn)約束是在投資組合投資比例方面為股票投資設(shè)立上限.投資于任何一只股票的資金上限經(jīng)常被寫進(jìn)共同基金的章程.投資組合中投資于任何一個(gè)行業(yè)的資金比例往往也有一個(gè)上限（有時(shí)也規(guī)定下限）.最后，我們也可以納入關(guān)于投資組合換手率的約束條件，并在計(jì)算收益率時(shí)考慮交易成本[19]-[22]. </p><p>　　5 模

74、型的實(shí)證模擬</p><p>　　本文收集了從2009年9月1日至2010年8月31日中國(guó)國(guó)航和中國(guó)石油兩只證券的收盤價(jià)（具體數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄2），它們的證券代碼分別為601111和601857，根據(jù)2009年9月1日至2010年8月31日人民幣存貸款基準(zhǔn)利率一直保持不變，我們假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率為當(dāng)時(shí)銀行一年定期存款利率=2.25%.我們通過(guò)幾何平均插值的方法將每只證券的數(shù)據(jù)補(bǔ)全為365個(gè)，用excel算出期望收益率，

75、從而算出期望收益率標(biāo)準(zhǔn)差、兩只證券的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表5-1所示： </p><p>　　表5-1 相關(guān)數(shù)據(jù)</p><p>　　5.1 求解允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸下的有效邊界</p><p>　　在允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的條件下，根據(jù)公式（2.1）、（2.2）、（4.3）及附錄3中的程序，我們得到了=-9.0955，=-1.7955，=0.0

76、482，=0.9518，=-4.6829，=0.0110，則這兩只證券的最優(yōu)投資組合為（0.0110，-4.6829）.根據(jù)附錄4及用MATLAB軟件畫出圖5-1.其有效集是一條直線，截距為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率2.25%，斜率等于超額收益率與標(biāo)準(zhǔn)差之比，即=-2.0816.</p><p>　　由于最優(yōu)投資組合中的期望收益率也為負(fù)，說(shuō)明投資者不會(huì)將資金投入到中國(guó)國(guó)航和中國(guó)石油中的任何一只證券中，即這兩只證券沒(méi)有投資價(jià)值，而

77、是將資金全部存入銀行獲得一年期利率為2.25%的利息.所以在允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的條件下有效邊界是一條從（0，0.0225）出發(fā)，且斜率為-2.0816的射線.</p><p>　　圖5-1 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下的有效集</p><p>　　5.2 求解允許賣空但不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸下的有效邊界</p><p>　　根據(jù)公式（3.1）及附錄3中程序我們計(jì)算得到=0.

78、0748，=0.9252，=-0.0004213397476，=0.01102290125306，則最小方差組合點(diǎn)為（0.01102290125306，-0.0004213397476）.</p><p>　　在允許賣空但不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下，假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率分別為2.25%、2.75%、3%、3.25%、3.75%、4%下根據(jù)附錄3中的程序運(yùn)用MATLAB分別得到2.25%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇最優(yōu)投資組合點(diǎn)

79、(0.01103417204958，-0.0004682928087601502)，2.75%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇最優(yōu)投資組合點(diǎn)（0.01103049812013，-0.0004598946282743772），3%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇最優(yōu)投資組合點(diǎn)（0.0110293011636，-0.0004567307692164823），3.25%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇最優(yōu)投資組合點(diǎn)(0.01102836630039,-0.00045

80、40474273200589)，3.75%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇最優(yōu)投資組合點(diǎn)(0.01102702040562,-0.0004497421530143624),4%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸利率導(dǎo)致選擇最優(yōu)投資組合點(diǎn)(0.01102652671534,-0.0004479889275749412).持續(xù)改變無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，并將最小方差組合點(diǎn)及最優(yōu)投資組合各點(diǎn)相連即可</p><p>　　圖5-2 不同風(fēng)險(xiǎn)利率下的切點(diǎn)組合的連

81、線</p><p>　　因此在允許賣空但不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下，有效邊界是從最小方差組合點(diǎn)開(kāi)始延伸的弧，期間經(jīng)過(guò)了在不同利率下的最優(yōu)投資組合點(diǎn).當(dāng)利率發(fā)生變化時(shí)，我們對(duì)其最優(yōu)組合可進(jìn)行一定的預(yù)測(cè)。</p><p>　　5.3 求解存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸但不允許賣空交易下的有效邊界</p><p>　　在存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸但不允許賣空交易條件下我們建立如下模型：</p&g

82、t;<p><b>　　max </b></p><p><b>　　約束為 </b></p><p>　　根據(jù)附錄6中的程序并應(yīng)用LINGO軟件得到=1，=0.我們同樣由附錄3中的程序求得=0.001212668，=0.020574646，=-1.03463904069115，此時(shí)這兩只證券最優(yōu)投資組合點(diǎn)為（0.02057464

83、6，0.001212668）.利用MATLB軟件和附錄4中程序畫出了其有效集，如圖5-3.</p><p>　　圖5-3 存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸但不允許賣空交易條件下的可行集</p><p>　　所以，在不允許賣空且存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的條件下有效邊界是以（0,0.0225）和兩只證券最優(yōu)投資組合點(diǎn)（0.020574646，0.001212668）為端點(diǎn)的直線段.同樣地，由于0.0225>0.0

84、01212668，投資兩只證券還要承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)，所以應(yīng)把資金全部存入銀行獲得一年期利率為2.25%的利息.</p><p>　　5.4 求解既不允許賣空也不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸</p><p>　　在既不允許賣空也不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的條件下建立如下模型：</p><p><b>　　min </b></p><p>&

85、lt;b>　　約束為 </b></p><p>　　由于，大于0，可見(jiàn)是的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最大值，且最大值=0.001212668，=0.020574646</p><p>　　，則最大收益率組合點(diǎn)為（0.020574646，0.001212668）.</p><p>　　在最小方差組合收益率-0.0004和最大收益率組合的收益率0.0012之間變

86、動(dòng)，假定依次取為-0.0004，-0.0002，0.0004，0.0006，0.0008，0.0010，0.0012，由附錄7和3中程序求得表5-2中數(shù)據(jù)：</p><p>　　表5-2 期望收益率、期望收益率標(biāo)準(zhǔn)差等相關(guān)數(shù)據(jù)</p><p>　　根據(jù)附錄5中程序，畫出有效邊界如圖5-4，所以在既不允許賣空且不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下的有效邊界是從最小方差組合（0.0110229012530

87、6，-0.0004）開(kāi)始延伸至最大收益組合（0.020574646，0.0012）的弧段，期間經(jīng)過(guò)了點(diǎn)（0.01127140900618，-0.0002），（0.01406290722538，0.0004），（0.01547333026476，0.0006），（0.01703305608054，0.0008），（0.01870477324924，0.0010），（0.020574646，0.0012）.</p><p

88、>　　圖5-4 在既不允許賣空也不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸條件下的有效邊界</p><p>　　5.5 求解擴(kuò)展模型的最優(yōu)投資組合</p><p>　　假定在既不允許賣空也不允許無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的條件下投資經(jīng)理人希望建立一個(gè)投資組合模型使其投資收益率不低于0.0006，不高于0.0010且風(fēng)險(xiǎn)達(dá)到最小，則我們建立以下模型：</p><p><b>　　min

89、 </b></p><p><b>　　約束為 </b></p><p>　　根據(jù)附錄8和3的程序求得=0.6530981,=0.3469019,所以該投資組合的最佳投資方案為將65.31%的資金投入到中國(guó)國(guó)航證券，34.69%的資金投入到中國(guó)石油證券，此時(shí)其投資組合的期望收益率為0.0006，期望收益率標(biāo)準(zhǔn)差為0.0155.</p>&l

90、t;p><b>　　6 結(jié)論及討論</b></p><p>　　本文以現(xiàn)代靜態(tài)證券組合理論為基礎(chǔ)，利用Markowitz均值—方差模型對(duì)中國(guó)國(guó)航和中國(guó)石油兩只證券的收盤價(jià)及MATLAB、LINGO軟件對(duì)在不同條件下的有效邊界進(jìn)行了應(yīng)用實(shí)證研究，求出最優(yōu)投資者組合、最小方差組合及最大收益組合，使投資者能在一定的風(fēng)險(xiǎn)下獲得最大的收益.本文的投資組合問(wèn)題會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)組合優(yōu)化問(wèn)題，若考慮一些

91、現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，如交易費(fèi)用等，采用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法求解會(huì)存在很大困難，而實(shí)際的投資過(guò)程也是動(dòng)態(tài)的，在目前多階段投資組合問(wèn)題研究中有很多不合理的假設(shè)從而與現(xiàn)實(shí)偏離.因此，設(shè)計(jì)良好的啟發(fā)式算法求解大規(guī)模投資組合問(wèn)題和多階段的投資組合問(wèn)題是今后的一個(gè)重要的研究方向，從而使投資策略更加符合現(xiàn)實(shí)，使投資者更好的選擇.同時(shí)從證券收益率變化大小我們可以看出，由于這兩只證券的相關(guān)系數(shù)不高，組合中證券對(duì)分散風(fēng)險(xiǎn)具有一定的作用.</p><p&

92、gt;　　此外，投資組合理論表明在成熟的資本市場(chǎng)上風(fēng)險(xiǎn)與收益之間應(yīng)該有一種正相關(guān)的關(guān)系，資產(chǎn)的多樣化可以分散甚至完全消除非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn).因此，投資者在投資時(shí)應(yīng)盡可能地分散投資.雖然，分散投資的效果在中國(guó)目前的投資市場(chǎng)上還不是很明顯，但是，隨著我國(guó)市場(chǎng)日趨成熟、資產(chǎn)數(shù)量的增加、投資機(jī)會(huì)的不斷涌現(xiàn)，投資組合理論將顯示出其廣闊的應(yīng)用前景，越來(lái)越多的投資者會(huì)運(yùn)用這個(gè)規(guī)則進(jìn)行投資.隨著我國(guó)市場(chǎng)的不斷規(guī)范，將從客觀上為投資組合理論應(yīng)用帶來(lái)良好的外部環(huán)境

93、；同時(shí)，針對(duì)我國(guó)市場(chǎng)的特點(diǎn)，可以通過(guò)對(duì)現(xiàn)有的投資組合模型進(jìn)行修正，使其更加符合我國(guó)市場(chǎng)的條件.因此，我們應(yīng)該本著在應(yīng)用中研究在研究中發(fā)展的思想，探索出適合我國(guó)市場(chǎng)的投資組合模型，使投資組合理論在我國(guó)具有更大的應(yīng)用價(jià)值[24].</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 葛靜.數(shù)學(xué)規(guī)劃在證券投資選擇中的應(yīng)用[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)

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106、 </p><p><b>　　，</b></p><p>　　根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t得到 （1.1）</p><p><b>　　令，</b></p><p>　　，將其帶

107、入公式（1.1）到</p><p><b>　　（1.2）</b></p><p>　　將公式（1.2）整理得到</p><p><b>　　并定義為得到，</b></p><p>　　將乘進(jìn)括號(hào)內(nèi)得到，這就是我們?cè)谡闹兴吹降谋磉_(dá)式. </p><p><b>

108、　　附錄2</b></p><p>　　本文采集了從2009年9月1日至2010年8月31日中國(guó)國(guó)航和中國(guó)石油這兩只證券的收盤價(jià).其中加粗部分的數(shù)據(jù)是經(jīng)過(guò)幾何平均插值方法補(bǔ)充得到的，且數(shù)據(jù)來(lái)源于網(wǎng)站</p><p>　　http://quote.stockstar.com/stock/external_history/sh_601111.xhtml?sTime=2010-01-