不等式的證明方法

1、<p><b>　　不等式的證明方法</b></p><p>　　摘要：不等式的解法。 </p><p><b>　　關(guān)鍵詞：不等式 </b></p><p>　　Abstract: the method of inequality. </p><p>　　Keywords: inequa

2、lity </p><p>　　中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2095-2104（2013） </p><p><b>　　1.比較法 </b></p><p><b>　　(1)作差比較法 </b></p><p>　　知道a＞b&#8660;a－b＞0，a＜b&am

3、p;#8660;a－b＜0，因此要證明a＞b，只要證明即可，這種方法稱為作差比較法． </p><p><b>　　(2)作商比較法 </b></p><p>　　由a＞b＞0&#8660;＞1且a＞0，b＞0，因此當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)要證明a＞b，只 </p><p>　　要證明＞1即可，這種方法稱為作商比較法． </p>

4、<p>　　設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3＋b3≥(a2＋b2)． </p><p>　　證明：由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得 </p><p>　　a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－) </p><p>　　＝(－)()5－()5)． </p><p>　　當(dāng)a≥b時(shí)，≥， 從而()5≥()5， </p>

5、<p>　　得(－)(()5－()5)≥0； </p><p>　　當(dāng)a<b時(shí)，<，從而()5<()5， </p><p>　　得(－)(()5－()5)>0. </p><p>　　所以a3＋b3≥(a2＋b2)． </p><p>　　例2．設(shè)a>b>0，求證：> </p>

6、<p>　　證明：∵a>b>0， </p><p>　　∴a＋b>0，a－b>0. </p><p><b>　　∴＝·＝ </b></p><p><b>　?。剑?＋>1. </b></p><p><b>　　∴>. <

7、;/b></p><p><b>　　2．綜合法 </b></p><p>　　從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ@種證明不等式的方法稱為綜合法或順推法． </p><p>　　例3設(shè)a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1. </p><p&

8、gt;　　求證：(1)a＋b＋c≥； </p><p>　　(2)＋＋≥(＋＋)． </p><p>　　證明：(1)要證a＋b＋c≥，由于a，b，c>0， </p><p>　　因此只需證明(a＋b＋c)2≥3. </p><p>　　即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， </p><p>　　

9、而ab＋bc＋ca＝1， </p><p>　　故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． </p><p>　　即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. </p><p>　　而這可以由ab＋bc＋ca≤＋＋ </p><p>　?。絘2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)證得． </p&g

10、t;<p><b>　　∴原不等式成立． </b></p><p><b>　　(2)＋＋＝. </b></p><p>　　在(1)中已證a＋b＋c≥. </p><p>　　因此要證原不等式成立，只需證明≥＋＋， </p><p>　　即證a＋b＋c≤1， </p>

11、<p>　　即證a＋b＋c≤ab＋bc＋ca. </p><p><b>　　而a＝≤， </b></p><p><b>　　b≤，c≤. </b></p><p>　　∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立)． </p><p><b>　　∴原不等式

12、成立． </b></p><p><b>　　3．分析法 </b></p><p>　　證明命題時(shí)，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件 ，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定理、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法． </p><p&

13、gt;　　例4. (2011·安徽高考)(1)設(shè)x≥1，y≥1, </p><p>　　證明x＋y＋≤＋＋xy； </p><p>　　(2)設(shè)1　　logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. </p><p>　?。ㄇ伤迹?duì)于問題(1)，由于不等式的兩側(cè)既有整式又有分式，故可考慮先將不等式的兩側(cè)均轉(zhuǎn)化為整式，然后利用作差法證

14、明； </p><p>　　對(duì)于問題(2)，由于1　　證明：(1)由于x≥1，y≥1， </p><p>　　∴x＋y＋≤＋＋xy &#8658;&#8656; xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. </p><p>　　將上式中的右式減左式，得 </p><p>　　[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(

15、xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) </p><p>　?。?xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)． </p><p>　　既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立． </p><p>　　(2)設(shè)logab＝x，logbc＝y(tǒng)

16、，由對(duì)數(shù)的換底公式得 </p><p>　　logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. </p><p>　　于是，所要證明的不等式即為 </p><p>　　x＋y＋≤＋＋xy， </p><p>　　又由于1　　其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1. </p><p>　　故由(1)可知

17、所要證明的不等式成立． </p><p><b>　　4．反證法 </b></p><p>　　先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法． </p><p>　

18、　例5. 已知f(x)＝x2＋px＋q， </p><p>　　求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于. </p><p>　　證明：假設(shè)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于， </p><p>　　則|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2， </p><p>　　而|f(1)|＋2|f(2)|＋|

19、f(3)| </p><p>　　≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| </p><p>　　＝|(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，出現(xiàn)矛盾． </p><p>　　∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個(gè)不小于. </p><p><b>　　5．放縮法 </b></p&g

20、t;<p>　　證明不等式時(shí)，通過把不等式中的某些部分的值放或縮簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法． </p><p>　　設(shè)a，b是不相等的正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證：1　　例6. 設(shè)a，b是不相等的正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證：1　　證明：∵a>0，b>0且a≠b， </p><p>　　∴a3－b3＝a2－b2可化為a

21、2＋ab＋b2＝a＋b. </p><p>　　∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2＝a＋b.∴a＋b>1. </p><p>　　又∵(a＋b)2>4ab. </p><p>　　∴a＋b＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab>(a＋b)2－(a＋b)2. </p><p>　　即(a＋b)2　　∴a

22、＋b<.∴1　　6.數(shù)學(xué)歸納法 </p><p>　　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時(shí)成立推證n＝k＋1時(shí)也成立，用上歸納假設(shè)后，可以采用分析法、綜合法、比較法、放縮法等方法去證明，以前學(xué)過的證明不等式的方法都可以應(yīng)用． </p><p>　　例7. 設(shè){xn}是由x1＝2，xn＋1＝＋(n∈N*)定義的數(shù)列． </p><p>　　求證：不等式＜xn

23、＜＋(n∈N*)． </p><p>　　證明：∵x1＝2，由xn＋1＝＋， </p><p>　　∴xn＞0.∴xk＋1＝＋＞2 ＝. </p><p>　　所以xn＞(n∈N*)顯然成立． </p><p>　　下面證明：xn＜＋(n∈N*)． </p><p>　　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，x1＝2＜＋1，不等式成立．

24、</p><p>　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，不等式成立，即xk＜＋，又∵xk＞，∴＜， </p><p>　　那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，xk＋1＝＋＜＋＋＝＋≤ ＋， </p><p>　　即xk＋1＜＋.即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．綜合(1)(2)知，結(jié)論成立． </p><p><b>　　7.柯西不等式 <

25、;/b></p><p>　　使用柯西不等式的一般形式求最值時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合已知條件構(gòu)造兩個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，變形為柯西不等式的形式 </p><p>　　例8.若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，求＋＋ </p><p><b>　　的最大值． </b></p><p>　　解：由柯西不等式得 </p>

26、<p><b>　　(＋＋)2 </b></p><p>　?。?1×＋1×＋1×)2 </p><p>　　≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3) </p><p>　?。?(2×6＋4)＝48. </p><p><b>　　∴＋＋≤4. <