解析

1、,第十單元 平面解析幾何,第一節(jié) 直線與方程,基礎(chǔ)梳理,1. 直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線 與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線 向上方向之間所成的角α叫做直線 的傾斜角.當(dāng)直線 與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.②傾斜角的范圍為0°≤α<180°.(2)直線的斜率①定義一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表

2、示，即k=tan α,傾斜角是90°的直線斜率不存在.②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn) (其中 )的直線的斜率公式為,,,,,,,,,,,,,,2. 直線方程的五種形式,,,,,,,,,,,典例分析,題型一 直線的傾斜角和斜率,【例1】直線xcosα+ y+2=0的傾斜角的范圍是 ( )A. B.

3、C. D.,分析 先求斜率的取值范圍，再求傾斜角的取值范圍.,解 由直線xcosα+ y+2=0,所以直線的斜率為k=設(shè)直線的傾斜角為β,則tanβ=,又 即所以β∈ .,學(xué)后反思 求傾斜角范圍的步驟是：（1）求出斜率的取值范圍；（2）利用正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象，確定傾斜角的取值范圍

4、.,舉一反三,直線xcosθ+y-1=0(θ∈R)的傾斜角的范圍是 ( ) A.[ 0,π) BC. D,解析 設(shè)傾斜角為α,則k=tanα=-cosθ.∵θ∈R,-1≤-cosθ≤1,∴-1≤tanα≤1，∴α∈ .,答案 D,題型二 求直線的方程,【例2】求下列直線 的方程.（1）過點(diǎn)A(0,2),它的傾斜角的正弦是 ;

5、(2)過點(diǎn)A(2,1),它的傾斜角是直線 ：3x+4y+10=0的傾斜角的一半.,分析 由已知條件求出直線的斜率，然后用適當(dāng)形式寫出直線的方程.,解 （1）設(shè)直線 的傾斜角為α,則sinα= ，所以tanα=± ,故 的方程為y=± x+2，即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.(2)設(shè)直線 和 的傾斜角分別為α、β，則 ,又tanβ=- ,故- =tan2α=

6、 ，解得tanα=3或tanα=- (舍去).由點(diǎn)斜式，得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.,學(xué)后反思 求直線方程首先要根據(jù)已知條件選擇合適的方程形式，同時(shí)注意各種形式的適用條件.用斜截式或點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線等.,舉一反三,2. 直線 過點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,求直線 的方程.,解析 由于直線在

7、兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，因此直線 在兩軸上的截距都存在且不過原點(diǎn)，故可設(shè)為截距式直線方程.設(shè)直線 的方程為 ,則a+b=12. ①又直線 過點(diǎn)(-3,4),則 . ② a=9, a=-4,由①、②解得 或 b=3 b=16.故所求的

8、直線方程為 或 ,即x+3y-9=0或4x-y+16=0.,題型三 與直線方程有關(guān)的最值問題,【例3】直線 過點(diǎn)M(2,1),且分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).求當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線 的方程.,分析 先根據(jù)題意，用點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，然后求方程中的參數(shù)，從而求出直線的方程.,解 方法一：如圖所示，直線 如果通過一、二、三或一、三、四象限時(shí)，△AOB的面積不存在最值，因此只

9、考慮直線 與x,y軸正方向相交的情況，這時(shí)斜率必為負(fù)值.設(shè)直線 的方程為y-1=k(x-2)（k＜0）,,則有A(2- ,0)與B(0,1-2k)，所以 當(dāng)且僅當(dāng) ,即k=- 時(shí)，等號(hào)成立.故直線 的方程為y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.,方法二：設(shè)過P（2，1）的直線為 (a＞0,b＞0),則 .由

10、基本不等式得 ,即ab≥8, ,當(dāng)且僅當(dāng) ,即a=4,b=2時(shí)，等號(hào)成立.故直線方程為 ,即x+2y-4=0.,學(xué)后反思 (1)對(duì)直線 的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范圍，指明了解題方向，這種分析是避免解題盲目性的重要技能.（2）本題將面積表示為k的函數(shù)，再用基本不等式求最小值，方程選擇不同，自然參數(shù)不同，但是求最值的方法首先考慮基本不等

11、式，然后是函數(shù)單調(diào)性、換元等方法.,舉一反三,3. 已知直線 過點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線 的方程.,解析 方法一：設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),則直線 的方程為∵ 過點(diǎn)P(3,2),∴ ,且a＞3.從而 ,,故有當(dāng)且僅當(dāng)

12、 ,即a=6時(shí),等號(hào)成立. ,此時(shí) .故直線 的方程為 ,即2x+3y-12=0.,方法二：依題意知，直線 的斜率存在.設(shè)直線 的方程為y-2=k(x-3)(k<0),則有A（3- ,0）,B(0,2-3k),,∴當(dāng)且僅當(dāng)-9k= 時(shí)，即k=- 時(shí)，等號(hào)成立， .故所求直線的方程為2x+3y-12=0.,方法三：如

13、圖所示，過P分別作x軸，y軸的垂線PM,PN,垂足分別為M,N.設(shè)θ=∠PAM=∠BPN,則,當(dāng)且僅當(dāng) ，即tanθ= 時(shí), ,此時(shí)直線 的斜率為- ，其方程為2x+3y-12=0.,題型四 應(yīng)用問題,【例4】(12分)為了綠化城市，擬在區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)草坪（如圖），另外△EFA內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)不能占用，經(jīng)測(cè)量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20

14、m,應(yīng)如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大？,分析 欲使草坪面積最大，點(diǎn)P的位置選取是關(guān)鍵，因此，應(yīng)考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出線段EF所在直線的方程，再設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，做為解題的切入點(diǎn).,解 如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0),F(0,20),…………………2′所以線段EF的方程為 (0≤x≤30)……………………………………………4′在線段EF上取點(diǎn)P(m,n),作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥CD于點(diǎn)R,設(shè)矩形

15、PQCR的面積為S，則S=｜PQ｜｜PR｜=(100-m)(80-n)…………………………………….6′又∴ ……………………………. 9′所以當(dāng)m=5時(shí)，S有最大值，這時(shí) ……………….10′所以當(dāng)草坪矩形的兩邊在BC、CD上，一個(gè)頂點(diǎn)在線段EF上，且這個(gè)頂點(diǎn)分EF成5∶1時(shí)，草坪面積最大…………………………………..12′,學(xué)后反思

16、 本題是一道用地規(guī)劃的實(shí)際問題，應(yīng)把問題化歸為在線段EF上找一點(diǎn)，使長(zhǎng)方形PQCR面積最大的數(shù)學(xué)問題，這樣，就需要建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)方法使問題得到解決.,舉一反三,4. 美麗的呼倫貝爾大草原的一條公路旁邊，在某鎮(zhèn)北偏西60°且距該鎮(zhèn)30 km處有A村，在鎮(zhèn)東北50 km處有B村，要在公路旁修一車站C,從車站C向A、B兩村修公路，問：車站C修在公路的什么地方，可使費(fèi)用

17、最小？（結(jié)果保留1位小數(shù)）,解析 以公路為x軸，該鎮(zhèn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-15 ,15),B(25 ,25 ),作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-15 ,-15),連接A′B交x軸于C.∵x軸是線段AA′垂直平分線，∴|CA|=|CA′|,∴|CA|+|CB|=|CA′|+|CB|=|A′B|最短.,由兩點(diǎn)式,得令y=0,得∴

18、 ,∴車站應(yīng)修在距該鎮(zhèn)的正西方約7.7 km處.,易錯(cuò)警示,【例】已知直線 過點(diǎn)P(1,2)且與以A(-2,-3),B(3,0)為端點(diǎn)的線段相交，求直線 的斜率的取值范圍.,錯(cuò)解 設(shè)PA與PB的傾斜角分別為α,β,則 所以直線 的斜率k的取值范圍為-1≤k≤ .,錯(cuò)解 分析不清楚傾斜角和斜率的關(guān)系，尤其是忽略了當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在

19、這種情況.,正解 設(shè)PA與PB的傾斜角分別為α,β,則 當(dāng)直線 由PA變化到與y軸平行的位置時(shí)，它的傾斜角由α增至90°，故斜率的取值范圍為[ ,+∞)；,當(dāng)直線 由與y軸平行的位置變化到PB的位置時(shí)，它的傾斜角由90°增至β,此時(shí)斜率的取值范圍為（-∞,-1］.綜上，斜率的取值范圍為（-∞,-1］∪[ ,+∞).,考點(diǎn)演練,10.（2009&#

20、183;廣東湛江）曲線y= -2x+4在（1，3）處的切線的傾斜角為——.,解析 y′=3 -2,曲線在（1，3）處的切線斜率為 ,設(shè)傾斜角為θ，且0°≤θ＜180°,∴θ=45°.,答案 45°,11. 一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求此直線的方程.,解析 設(shè)所求直線的方程為 .∵A(-2,2)在直線上，∴

21、 ， ①又∵直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴ ｜a｜·｜b｜=1. ② a-b=1, a-b=-1,由①②可得，（1） 或（2） ab=2， ab=-2. a=2， a=-1，由(1)

22、解得 或 方程組（2）無解. b=1 b=-2，故所求的直線方程為 或 ,即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程.,12. 設(shè)直線 的方程為（a+1）x+y+2-a=0(a∈R).(1)若 在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求 的方程；（2）若 不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解析 (1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和

23、y軸上的截距為零，當(dāng)然相等,∴a=2,即方程為3x+y=0.當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，又截距存在且相等，則截距均不為0，∴ ,即a+1=1,∴a=0,即方程為x+y+2=0.(2)方法一：將 的方程化為y=-(a+1)x+a-2, -(a+1)>0, -(a+1)=0,∴ 或 a-2≤0 a-2≤0，∴a≤-1.綜上可知，a的取值范圍是a≤-1.

24、方法二：將 的方程化為（x+y+2）+a(x-1)=0(a∈R).它表示過 :x+y+2=0與 :x-1=0的交點(diǎn)（1，-3）的直線系（不包括x=1).由圖象可知 的斜率為-(a+1)≥0,即當(dāng)a≤-1時(shí)，直線 不經(jīng)過第二象限.,第二節(jié) 直線的位置關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1. 兩條直線平行與垂直的判定（1）兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線 ，其斜率分別為 ，則有特別地，當(dāng)直線 的斜率都不存在時(shí)， 與 的關(guān)系

25、為平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線 的斜率存在，分別設(shè)為 ,則一般地，若直線 ( 不全為0)，直線 ( 不全為0)，則 且,,,,,,,,,,,,,與 重合 且,2. 三種距離（1）兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn) 間的距離公式特別

26、地，原點(diǎn)O（0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離｜OP｜=(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn) 到直線 :Ax+By+C=0的距離(3)兩條平行線的距離兩條平行線Ax+By+ =0與Ax+By+ =0間的距離,,,,,,,,,,,典例分析,題型一 兩條直線位置關(guān)系的判定和應(yīng)用,【例1】已知直線 :ax+2y+6=0和直線 :x+(a-1)y+ -1=0.(1)試判斷 與 是否平行；（2）當(dāng)

27、⊥ 時(shí)，求a的值.,分析 可以把直線化成斜截式，運(yùn)用斜率或截距的數(shù)量關(guān)系來判斷求解，但由于直線的斜率可能不存在，就必須進(jìn)行分類討論；也可以運(yùn)用一般式方程中的系數(shù)關(guān)系來判斷或求解，這樣可以避免討論.,解 （1）方法一：當(dāng)a=1時(shí)， :x+2y+6=0, :x=0, 不平行于 ;當(dāng)a=0時(shí)， :y=-3, :x-y-1=0, 不平行于 ;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線可化為 解得a=-1,綜上可知,

28、當(dāng)a=-1時(shí), ∥ ,否則 與 不平行.,方法二：由 ,得a(a-1)-1×2=0,由 ≠0,得a( -1)-1×6≠0, a(a-1)-1×2=0， -a-2=0，∴ a=-1  a( -1)-1

29、5;6≠0 a( -1)≠6,故當(dāng)a=-1時(shí)， ∥ ，否則 與 不平行.,（2）方法一：當(dāng)a=1時(shí), :x+2y+6=0, :x=0, 與 不垂直，故a=1不成立.當(dāng)a≠1時(shí)，由方法二：由 ,得a+2(a-1)=0,學(xué)后反思 (1)直線 : ,直線 ,“ ”的前提條件是 , 的斜率都存在，若

30、不能確定斜率的存在性，應(yīng)對(duì)其進(jìn)行分類討論：,當(dāng) , 中有一條存在斜率，而另一條不存在斜率時(shí)， 與 不平行；當(dāng) , 的斜率都不存在（ 與 不重合）時(shí), ∥ ;當(dāng) , 均有斜率且 時(shí)， ∥ .為避免分類討論，可采用直線方程的一般式，利用一般式方程中的“系數(shù)關(guān)系”的形式來判斷兩直線是否平行，如本例方法二.（2）當(dāng) ⊥ 時(shí)，可分斜率不存在與斜率存在，斜率存在時(shí),有

31、 ，如果利用 可避免分類討論.,舉一反三,1. 已知直線ax+3y+1=0與x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.,解析 由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0.當(dāng)a=1時(shí)，兩方程為x-y+2=0與x+y+1=0，互相垂直；當(dāng)a=0時(shí)，兩方程為y=0與x=0，互相垂直.所以a=1或a=0即為所求.,解析 當(dāng)a-2=0或a=0時(shí)兩直線顯然不平行；當(dāng)a-2≠0且a≠0時(shí)，由

32、 ,得a=-1或a=3.若a=-1,則 成立,故a=-1（舍去）,則a=3.,2. 已知直線ax-y+2a=0與（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值.,題型二 距離問題,【例2】求過點(diǎn)A(-1,2),且與原點(diǎn)的距離等于 的直線方程.,分析 設(shè)出所求直線的點(diǎn)斜式方程，運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的方程，但必須要注意斜率是否存在這個(gè)問題.,解 ∵過點(diǎn)A(-1,2)且垂直于x軸的直線不滿足題意，∴設(shè)過點(diǎn)

33、A(-1,2)的直線點(diǎn)斜式方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.∵原點(diǎn)到直線的距離等于 ,∴d=解得k=-1或k=-7,即所求直線方程為x+y-1=0或7x+y+5=0.,學(xué)后反思 （1）直線的點(diǎn)斜式方程不能代表垂直于x軸的直線，故要進(jìn)行討論.（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，必須把直線方程化為一般式.,舉一反三,3. 與直線2x+3y+5=0平行，且距離等于 的直線方程是——.,答案 2x+3y

34、+18=0或2x+3y-8=0,解析 ∵所求直線 與直線 :2x+3y+5=0平行，∴可設(shè) ：2x+3y+C=0,由 與 距離為 ，得 ,解得C=18或C=-8,∴所求直線 的方程為2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.,題型三 交點(diǎn)及直線系問題,【例3】求經(jīng)過直線 :3x+2y-1=0和 :5x+2y+1=0的交點(diǎn)且垂直于直線 :3x-5y+6=0的直線 的方程.,分析 本題可以

35、先求交點(diǎn)坐標(biāo)，然后由直線間位置關(guān)系求解，也可以先設(shè)出直線系方程，后代入點(diǎn)具體求解.,3x+2y-1=0,解 方法一：由 得 , 的交點(diǎn)P(-1,2). 5x+2y+1=0, 又 的斜率 ∴ 的斜率k=- ,∴ :y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0.方法二：由 ⊥ ,可設(shè) :5x+3y+C=0.∵ , 的交點(diǎn)可以求得為P(-1,

36、2).∴5×(-1)+3×2+C=0,∴C=-1,∴ :5x+3y-1=0.,方法三：∵ 過 , 的交點(diǎn)，故設(shè) :3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0，即（3+5λ）x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0，∴ ,解得λ= ,代入上式整理得 :5x+3y-1=0.,學(xué)后反思 三種解法都能比較迅捷地解決問題，但方法一、方法二都是在兩直線的斜率存在的前提下進(jìn)行的，如果

37、其中含有字母參數(shù)之類的，則要進(jìn)行分類討論；運(yùn)用直線系方程時(shí)，則必須對(duì)直線系中不包含的直線進(jìn)行檢驗(yàn).因此，本題的三種解法應(yīng)該是各有優(yōu)缺點(diǎn).,舉一反三,4. 已知兩直線 :x+2=0, :4x+3y+5=0,定點(diǎn)A(-1,-2),求過 , 的交點(diǎn)且與點(diǎn)A的距離等于1的直線 .,解析 方法一： , 的交點(diǎn)為（-2，1）.若直線 斜率存在，設(shè)所求的直線方程為y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.

38、 ①∵所求直線 與點(diǎn)A(-1,-2)的距離為1,∴ ,得k=- ,代入①,得所求直線 的方程為4x+3y+5=0.若直線 斜率不存在，即判斷過點(diǎn)（-2，1）且與y軸平行的直線x=-2是否符合所求直線 的條件.∵點(diǎn)A（-1，-2）到直線x=-2的距離為1，∴直線x=-2，即x+2=0也符合直線 的要求，故所求直線 的方程是x+2=0和4x+3y

39、+5=0.,方法二： , 的交點(diǎn)為（-2，1），過 , 交點(diǎn)的直線系方程是（x+2）+λ(4x+3y+5)=0,λ是參數(shù)，化簡(jiǎn)得(1+4λ)x+3λy+(2+5λ)=0， ②由 ,得λ=0.代入方程②，得x+2=0.又∵直線系方程②中不包含 ,∴應(yīng)檢驗(yàn) 是否也符合所求 的條件.∵點(diǎn)（-1，-2）到 的距離為∴ 也

40、符合要求，故所求直線 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,題型四 對(duì)稱問題,【例4】(12分)光線沿直線 :x-2y+5=0射入，遇直線 :3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.,分析 本題用光學(xué)原理得入射光線與反射光線所在的直線關(guān)于直線 對(duì)稱，用對(duì)稱點(diǎn)方法求出入射光線上一點(diǎn)P關(guān)于 的對(duì)稱點(diǎn)，再由兩點(diǎn)式寫出方程.,3x-2y+7=0, x=-1,解 方法一：由 得

41、 x-2y+5=0, y=2,即反射點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,2)……………………………………..2′又取直線x-2y+5=0上一點(diǎn)P（-5，0），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為由PP′⊥ ,可知 ………………………….. 4′而PP′的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,又Q點(diǎn)在 上，∴聯(lián)立 解得,即P′點(diǎn)坐標(biāo)為 …………

42、…………………...10′反射光線過M(-1,2)和P′根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程,可得反射光線所在的方程為29x-2y+33=0…………………………….12,方法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點(diǎn) 關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)P′(x,y),則 ……………………………………… 3′又PP′的中點(diǎn) 在 上，,∴ ,…………………………………

43、…6′由 ……………………………………………………………………..9′代入方程x-2y+5=0中，化簡(jiǎn)得29x-2y+33=0,即所求反射光線所在直線方程為29x-2y+33=0………………..12′,學(xué)后反思 比較兩種解法可知，對(duì)于直線的對(duì)稱問題，都是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱或點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決的.其中，方法一通過求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)

44、稱點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)式方程求解；方法二則利用了軌跡思想求對(duì)稱直線的方程，是求解曲線關(guān)于直線對(duì)稱問題的通法.,舉一反三,5. 已知A(7,-4)關(guān)于直線 的對(duì)稱點(diǎn)為B（-5，6），則直線 的方程是 ( )A. 5x+6y-11=0 B. 6x-5y-1=0C. 6x+5y-11=0 D. 5x-6y+1=0,解析 ∵AB的中點(diǎn)（1，1）在直線 上,又 ,即

45、所求直線的斜率k= ,∴所求直線 的方程為y-1= (x-1),即6x-5y-1=0.,答案 B,易錯(cuò)警示,【例】已知一直線 經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)且與點(diǎn)A(2,3)和B（0，-5）距離相等，求此直線的方程.,錯(cuò)解 方法一：設(shè)所求直線方程為y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0，∴ ,即｜k-1｜=｜k-7｜，解得k=4，∴所求直線方程為4x-y-2=0.方法二：由

46、已知 ∥AB,又∴ :y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.,錯(cuò)解分析 方法一中忽視了斜率可能不存在的情況，方法二中忽視了 可以過AB中點(diǎn)的情況.,正解 方法一：當(dāng) 斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1,滿足條件.當(dāng)斜率存在時(shí)，解法同錯(cuò)解中“方法一”.方法二：當(dāng) 過AB中點(diǎn)時(shí)，直線方程為x=1.當(dāng) ∥AB時(shí)，解法同錯(cuò)解中“方法二”.綜上,直線 的方程為x=1或4x-y-2=0.,考點(diǎn)演練,10. (2009

47、83;青島模擬）平行四邊形兩鄰邊方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,對(duì)角線交點(diǎn)為（3，3），則另兩邊的方程為——和 ——.,解析 方法一：所求直線與已知直線關(guān)于（3，3）中心對(duì)稱，故方程為（6-x）+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.,方法二：所求直線與已知直線分別平行，且過已知兩直線的交點(diǎn)關(guān)于（3，3）的對(duì)稱點(diǎn).設(shè) :x +y+ =0, :3x-y+ =0.兩

48、已知直線的交點(diǎn)坐 x+y+1=0, x=標(biāo)滿足 解得 3x-y+4=0, y=即 ,它關(guān)于（3，3）的對(duì)稱點(diǎn)為將 代入 , ，解得 =-13, =-16.所以所求直線 :x+y-13=0, :3x-y-16=0.,答案 x+y-13=03x-y-16=0,11. 已知正方形的中

49、心為直線2x-y+2=0與x+y+1=0的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線方程為x+3y-5=0,求正方形的其他三邊所在的直線方程.,解析 設(shè)與直線 :x+3y-5=0平行的邊所在的直線方程為 :x+3y+c=0. 2x-y+2=0，由 得正方形的中心坐標(biāo)P(-1,0), x+y+1=0由點(diǎn)P到兩直線 , 的距離相等，得 ,解得c=-5或c=7(-5不合題意，舍去)，∴

50、 :x+3y+7=0.又∵正方形另兩邊所在直線與 垂直，∴設(shè)另兩邊方程為3x-y+a=0,3x-y+b=0.∵正方形中心到四條邊的距離相等，∴ ，解得a=9或a=-3,∴正方形的其他兩條邊所在的直線方程為3x-y+9=0,3x-y-3=0.∴正方形的其他三邊所在的直線方程為3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.,12. 光線從A(-3,4)點(diǎn)射出，到x軸上的B點(diǎn)后，被x軸

51、反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射線恰好過點(diǎn)D（-1，6），求BC所在直線的方程.,解析 方法一：如圖所示，依題意，B點(diǎn)在原點(diǎn)O左側(cè)，設(shè)其坐標(biāo)為（a,0）,由反射角等于入射角，得∠1=∠2,∠3=∠4,∴又∴ ,即BC所在直線方程為y= (x-a),所以C點(diǎn)坐標(biāo)為又∵ ,解得a=- ,代入BC的方程,得5x-2y+7=0.,方法二：A

52、關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(-3,-4),D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′(1,6),由光學(xué)知識(shí)知,A′、B、C、D′四點(diǎn)共線，且則BC所在的直線方程為5x-2y+7=0.,第三節(jié) 圓的方程,基礎(chǔ)梳理,1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）方程 表示圓心為(a,b),半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r(r>0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .2. 圓的一般

53、方程方程 +Dx+Ey+F=0可變形為（1）當(dāng) 時(shí)，方程表示以 為圓心，以 為半徑的圓;,,,,,,,,,,（2）當(dāng) =0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn) ;(3)當(dāng) <0時(shí)，方程不表示任何圖形.,3. 與圓 的位置關(guān)系（1）若

54、 ，則點(diǎn)P在圓外；（2）若 ，則點(diǎn)P在圓上；（3）若 ，則點(diǎn)P在圓內(nèi).4. 求圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；（2）根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D，E，F(xiàn)的方程組；（3）解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.,,,,,,,,,,,,,,,,,典例分析,題型一

55、 求圓的方程,【例1】求過兩點(diǎn)A(1,4)、B（3，2）且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)P(2,4)與圓的關(guān)系.,分析 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，只需看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi).,解 方法一:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .∵圓心在y=0上，∴b=0，

56、∴圓的方程為又∵該圓過A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)，∴ 解得故所求圓的方程為,方法二：設(shè)圓的一般方程為 +Dx+Ey+F=0,因?yàn)閳A心在x軸上，則- =0,即E=0.又該圓過A（1,4）和B（3,2），所以D+17+F=0, D=2, 解得 E=0,3D+13+F=0, F=-19.

57、所以圓的方程為 +2x-19=0.,方法三:∵圓過A(1,4)、B(3,2)兩點(diǎn)，∴圓心C必在線段AB的垂直平分線l上，又∵ ,∴ 的斜率為1.又AB的中點(diǎn)為（2，3），故AB的垂直平分線 的方程為y-3=x-2,即x-y+1=0.,又知圓心在直線y=0上，∴圓心坐標(biāo)為C(-1,0).∴半徑r=｜AC｜=即所求圓的方程為又點(diǎn)P(2,4)到圓心C(-1,0)的距離為

58、d=｜PC｜= =5>r，所以點(diǎn)P在圓外.,學(xué)后反思 （1）本題方法一與方法二都使用了待定系數(shù)法，其中方法一設(shè)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，方法二設(shè)了圓的一般方程，都是結(jié)合條件來求所設(shè)方程中的待定系數(shù)；方法三則應(yīng)用了平面幾何知識(shí)：圓心與弦的中點(diǎn)的連線與弦垂直.一般而言，在解析幾何問題中，用上平面幾何知識(shí)，會(huì)使解題變得相對(duì)簡(jiǎn)單.(2)無論哪種解法，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個(gè)關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑

59、的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.,舉一反三,1. 求經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.,解析 ∵圓經(jīng)過點(diǎn)A(5,2),B(3,2),∴圓心在x=4上，又圓心在2x-y-3=0上，∴圓心為（4，5），可設(shè)圓的方程為 ,又圓過B(3,2)，即 ,∴ ，∴圓的方程為,題型二 與圓有關(guān)的參數(shù)問題,【例2】(2009&

60、#183;威海模擬）已知圓的方程為 ,要使過定點(diǎn)A（1，2）的圓的切線有兩條.求a的取值范圍.,分析 (1)若方程表示圓，則 >0,即(2)由定點(diǎn)A的切線有兩條，則點(diǎn)A一定在圓外.,解 若 表示圓，則應(yīng)滿足 ,即4-3 >0, ①又點(diǎn)A應(yīng)在圓外，則

61、即 +a+9>0, ②由①②得故a的取值范圍是,學(xué)后反思 (1)一般地，方程表示圓隱含著條件 >0.此點(diǎn)易被忽視.(2)若點(diǎn) 在圓 +Dx+Ey+F=0外，則,舉一反三,2. 已知圓的方程 ,要使圓的半徑不大于 且過定點(diǎn)A（1，2）的圓的切線有兩條，求a

62、的取值范圍.,解析 圓的方程可化為 .由已知 即解得 <a≤-1或1≤a< ,所以a的取值范圍為( ,-1]∪[1, ).,題型三 與圓有關(guān)的最值問題,【例3】已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程 -4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求

63、 的最大值和最小值.,分析 根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識(shí)，數(shù)形結(jié)合求解.,解 原方程可化為 ,表示以（2，0）為圓心， 為半徑的圓.(1) 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè) =k,即y=kx.當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí),解得k=± ，如圖1，所以 的最大值為 ,最小值為- .,(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸

64、上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí) ,解得b=-2± .如圖2，所以y-x的最大值為-2+ ，最小值為-2- .(3) 表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心的連線和圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值，如圖3.又圓心到的原點(diǎn)的距離為所以， 的最大值為 的最小值為,學(xué)后反思 （1）本例中

65、利用圖形的直觀性，使代數(shù)問題得到非常簡(jiǎn)捷的解決，這是數(shù)形巧妙結(jié)合的好處.（2）本例的解題關(guān)鍵在于抓住“數(shù)”中的某些結(jié)構(gòu)特征，從而聯(lián)想到解析幾何中的某些公式或方程，從而挖掘出“數(shù)”的幾何意義，實(shí)現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化.（3）與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ= 形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；③形如

66、 形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方的最值問題.,舉一反三,3. 已知圓C： ,點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求d= 的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).,解析 設(shè) 則欲求d的最值，只需求ω= 的最值，即求圓C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離平方的最值，故過原點(diǎn)O與圓心C的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn) 即為所求.設(shè)過O,C兩點(diǎn)的直線交圓

67、C于 兩點(diǎn)，則此時(shí)此時(shí),題型四 與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單的軌跡問題,【例4】已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓 上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.,分析 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與點(diǎn)A的位置變化有關(guān)，因此可以把點(diǎn)A的坐標(biāo)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出來，再代入點(diǎn)A所滿足的方程求得點(diǎn)M的軌跡方程.,解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)因?yàn)镸是線段AB的中點(diǎn)，且B（4，3），所以

68、 所以 ①又點(diǎn)A在圓 上運(yùn)動(dòng)，,所以 . ②把①代入②，得整理得 .所以點(diǎn)M的軌跡是以 為圓心，半徑為1的圓.,學(xué)后反思 （1）本例中M、A是相關(guān)動(dòng)點(diǎn)，M、A、B三者存在著不變的關(guān)系，抓住該關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M、A的坐標(biāo)

69、間的轉(zhuǎn)化.（2）一般地，設(shè)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)設(shè)為（x,y），相關(guān)點(diǎn)設(shè)為 ，并將(x,y)用 表示出來，代入 滿足的關(guān)系式.,舉一反三,4. 已知圓 上一定點(diǎn)A(2,0),P為圓上的動(dòng)點(diǎn).求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程.,解析 設(shè)AP中點(diǎn)為M(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2x-2,2y）.∵P點(diǎn)在圓 上，∴故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為,題型五 圓的方程的實(shí)際應(yīng)用