4全稱量詞與存在量詞

1、1．4　全稱量詞與存在量詞,1．知識與技能理解全稱量詞、存在量詞，能夠用符號表示全稱命題、特稱命題，并會判斷其真假．2．過程與方法明確判斷全稱命題、特稱命題真假的判斷方法．,重點：理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．難點：全稱命題和特稱命題的真假的判定，以及寫出含有一個量詞的命題的否定．1．必須明確存在量詞和全稱量詞的含義及表示符號．2．明確全稱命題與特稱命題的含義．符號?x∈M，p(x)通

2、俗說就是對集合M中所有元素x，都有p(x)成立，符號?x∈M，q(x)通俗說存在集合M中的元素x，使q(x)成立．,3．要判定一個全稱命題是真命題必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題．只要從M中找一個x＝x0，使p(x)不成立即可，通常稱特例反駁．4．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0使p(x)成立即可；否則，這一特稱命題是假命題．,1．要判定全稱命題是真命題，需

3、對集合M中每個元素x，證明p(x)成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題．2．要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少能找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可，否則，這一特稱命題就是假命題．3．全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，因此，我們可以通過“舉反例”來否定一個全稱命題．,1．全稱量詞、全稱命題(1)短語“ ”、“ ”在邏輯中通常叫

4、做全稱量詞，用符號“?”表示，含有全稱量詞的命題叫做 ．(2)常見的全稱量詞有：“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“全部的”．(3)全稱命題的形式：對M中任意一個x，有p(x)成立，可簡記為：．,所有的,任意一個,全稱命題,?x∈M，p(x),2．存在量詞　特稱命題(1)短語“ ”、“ ”在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號?表示，含有存在量詞的命題叫做 ．(2)常見的存在量詞有：

5、“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“某個”“有的”．(3)特稱命題的形式：存在M中的一個x0，使p(x0)成立，可簡記為．,存在一個,至少有一個,特稱命題,?x0∈M，p(x0),3．含有一個量詞的命題的否定(1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，它的否定綈p： ，全稱命題的否定是命題．(2)特稱命題p：?x0∈M，p(x0)，它的否定綈p： ，

6、特稱命題的否定是 命題．,?x0∈M，綈p(x0),特稱,?x∈M，綈p(x),全稱,[例1]　判斷下列語句是全稱命題還是特稱命題，并判斷真假．(1)有一個實數(shù)α，tanα無意義；(2)任何一條直線都有斜率嗎？(3)所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑；(4)圓內(nèi)接四邊形，其對角互補；(5)對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)．,(2)不是命題．(3)含有全稱量詞，所以該命題是全稱命題．又任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑

7、，所以，全稱命題“所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑”是真命題．,(4)“圓內(nèi)接四邊形，其對角互補”的實質(zhì)是“所有的圓內(nèi)接四邊形，其對角都互補”，所以該命題是全稱命題且為真命題．(5)雖然不含邏輯結(jié)詞，其實“對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)”中省略了“所有的”，所以該命題是全稱命題且為真命題．[點評]　判斷一個語句是全稱命題還是特稱命題可分三個步驟：(1)首先判定語句是否為命題，若不是命題，就當(dāng)然不是全稱命題或特稱命題．,(2)若是命題，再

8、分析命題中所含的量詞，含有全稱量詞的命題是全稱命題，含有存在量詞的命題是特稱命題．(3)當(dāng)命題中不含量詞時，要注意理解命題含義的實質(zhì)．,判斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題，并判斷真假．(1)沒有一個實數(shù)α，tanα無意義．(2)存在一條直線其斜率不存在．(3)所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑嗎？(4)圓外切四邊形，其對角互補．(5)有的指數(shù)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)．,[解析]　由于(1)的實質(zhì)是“所有的實數(shù)α，tanα有意義”

9、，含有全稱量詞，所以(1)為全稱命題，是假命題．(2)中含有存在量詞，所以(2)是特稱命題是真命題．(3)是疑問句，不是命題．(4)“圓外切四邊形，其對角互補”的實質(zhì)是“所有圓的外切四邊形，其對角都互補”，所以該命題是全稱命題，是假命題．(5)中含有存在量詞，所以(5)是特稱命題．因為y＝ax(a>0且a≠1)中，a>1時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0<a<1時，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，不存在非單調(diào)的指數(shù)函數(shù)，所以此

10、命題是假命題.,[例2]　給出下列四個命題：①?x∈R，x2＋2>0；②?x∈N，x4≥1；③?x0∈Z，x<1；④?x0∈Q，x＝3.其中是真命題的是________(把所有真命題的序號都填上)．,[答案]?、佗踇分析]　由題目可獲取以下主要信息：①四個命題中有兩個全稱命題，兩個特稱命題；②要求判斷命題的真假．解答本題首先正確理解命題的含義，再采用舉反例等方法給予判斷．[解析]?、儆捎?x∈R，都有x2≥

11、0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以命題“?x∈R，x2＋2>0”是真命題．②由于0∈N，當(dāng)x＝0時，x4≥1不成立．所以命題“?x∈N，x4≥1”是假命題．,[點評]　1.全稱命題的真假判斷要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個x＝x0，使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”)．2．特

12、稱命題的真假判斷要判定一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，找到一個x＝x0，使p(x0)成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題．,,[例3]　判斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定：(1)三角形的內(nèi)角和為180°；(2)每個二次函數(shù)的圖象都開口向下；(3)任何一個平行四邊形的對邊都平行；(4)負數(shù)的平方是正數(shù)．[分析]　由題目可獲取以下主要信息：①題目給出四個命題且均為全稱命題；②第(1)個和第(4)個

13、命題不含全稱量詞．解答本題要先判定它們的真假，再寫出這些命題的否定．,[解析]　(1)是全稱命題且為真命題．命題的否定：三角形的內(nèi)角和不全為180°，即存在一個三角形且它的內(nèi)角和不等于180°.(2)是全稱命題且為假命題．命題的否定：存在一個二次函數(shù)的圖象開口不向下．(3)是全稱命題且為真命題．命題的否定：存在一個平行四邊形的對邊不都平行．(4)是全稱命題且為真命題．命題的否定：某個負數(shù)的平方不是正數(shù)

14、．,寫出下列命題的否定，并判斷其真假．(1)任何一個素數(shù)是奇數(shù)．(2)所有的矩形都是平行四邊形．(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．(4)可以被5整除的整數(shù)，末位是0.[解析]　(1)是全稱命題，其否定為：存在一個素數(shù)，它不是奇數(shù)．因為2是素數(shù)，而不是奇數(shù)，所以其否定是真命題．,(2)是全稱命題，其否定為：存在一個矩形，它不是平行四邊形，假命題．(3)是全稱命題，其否定為：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一，真

15、命題．(4)是全稱命題，其否定為：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0，因為15能被5整除，其末位為5，因此其否定是真命題.,,[解析]　(1)命題的否定是：“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，也即“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”．由于|－2|＝2，因此命題的否定為假命題．,[點評]　1.特稱命題的否定是全稱命題，是否定特稱命題“?x∈M，p(x)成立”，需要驗證對M中的每一個x，均有p(x)不成立，也就是說“?x∈M，綈p(x)成立”．

16、2．要證明特稱命題是真命題，只需要找到使p(x)成立的條件即可．3．只有“存在”一詞是量詞時，它的否定才是“任意”，當(dāng)“存在”一詞不是量詞時，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圓．這個命題是全稱命題，量詞“所有的”被省略了，所以，這個命題的否定是：有些三角形不存在外接圓．,,[解析]　(1)是特稱命題，其否定為：?x∈R，x2＋2x＋5≤0，∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，∴命題的否定是假命題．(2)是特稱命題

17、，其否定為：對任意的實數(shù)x，有x3＋1≠0，∵x＝－1時，x3＋1＝0，∴其否定是假命題．,[解析]　(1)由已知f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因為f(1)＝0，所以f(0)＝－2.(2)由(1)知f(0)＝－2，所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x.,[例6]　設(shè)集合S＝{四邊形}，p(x)：內(nèi)角和為360°，試

18、用不同的表述寫出全稱命題“?x∈S，p(x)．”[誤解]　對一個四邊形x，x的內(nèi)角和為360°.[辨析]　未清楚自然語言的含義．[正解]　對所有的四邊形x，x的內(nèi)角和為360°；對一切四邊形x，x的內(nèi)角和為360°；每一個四邊形x的內(nèi)角和為360°；任意一個四邊形x的內(nèi)角和為360°，凡是四邊形，它的內(nèi)角和都為360°.[點評]　深刻理解自然語言的含義，然后用全稱命題的

19、方式表述出來．,一、選擇題1．判斷下列特稱命題的真假，其中真命題為(　　)A．存在一個x∈Z，使3x＋4＝5B．一條直線確定一個平面C．所有整數(shù)只有兩個正因數(shù)D．存在奇函數(shù)具有反函數(shù)[答案]　D,2．命題“對任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．對任意的x∈R，x3－x2＋1>0[答

20、案]　C,3．下列命題中是全稱命題并且是真命題的是(　　)A．?x∈R，x2＋2x＋1>0B．若2x為偶數(shù)，則?x∈NC．所有菱形的四條邊都相等D．π是無理數(shù)[答案]　C[解析]　當(dāng)x＝－1時，x2＋2x＋1＝0，故A錯；當(dāng)x＝－1時，－2為偶數(shù)，但－1?N，故B錯； π是無理數(shù)不是全稱命題．,二、填空題4．寫出下列命題的否定．(1)p：?a∈N，≥0.____________________________(2

21、)q：19能被3或7整除．_______________________,5．使p(x)：x2－5x－6≤0為真命題的x的取值范圍是________．[答案]?。?≤x≤6[解析]　x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)≤0，∴－1≤x≤6.,三、解答題6．判斷下列命題的真假：(1)?x∈R,2x>0；(2)?x∈Q，x2－3x－1是有理數(shù)；(3)?x∈N,2x＝x2；(4)?x，y∈Z，x2＋y2＝10.[解析]