《通信原理課件》圖2-4瑞利分布后面我們將介紹的窄帶高斯噪聲的包絡(luò)

1、第二章：信號(hào)與噪聲,2.1 信號(hào)的分類2.2 確知信號(hào)的分析2.3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征2.4 隨機(jī)過程的一般表述2.5 平穩(wěn)隨機(jī)過程2.6 高斯隨機(jī)過程2.7 隨機(jī)過程通過系統(tǒng)的分析2.8 窄帶高斯噪聲2.9 周期平穩(wěn)隨機(jī)過程,2.1信號(hào)的分類,2.1.1確知信號(hào)與隨機(jī)信號(hào),確知信號(hào)是指能夠以確定的時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，它在定義域內(nèi)任意時(shí)刻都有確定的函數(shù)值。例如電路中的正弦信號(hào)和各種形狀的周期信號(hào)等。在事件發(fā)生之前無法

2、預(yù)知信號(hào)的取值，即寫不出明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式，通常只知道它取某一數(shù)值的概率，這種具有隨機(jī)性的信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)。例如，半導(dǎo)體載流子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的噪聲和從目標(biāo)反射回來的雷達(dá)信號(hào)（其出現(xiàn)的時(shí)間與強(qiáng)度是隨機(jī)的）等都是隨機(jī)信號(hào)。所有的實(shí)際信號(hào)在一定程度上都是隨機(jī)信號(hào)。,,,,,,2.1.2周期信號(hào)與非周期信號(hào),周期信號(hào)是每隔一個(gè)固定的時(shí)間間隔重復(fù)變化的信號(hào)。周期信號(hào)滿足下列條件,,（2.1-1）,式中，為的周期，是滿足式（2.1-1）條件的最小時(shí)段

3、。非周期信號(hào)是不具有重復(fù)性的信號(hào)。,設(shè)能量信號(hào)為時(shí)間的實(shí)函數(shù)，通常把能量信號(hào)的歸一化能量（簡稱能量）定義為由電壓加于單位電阻上所消耗的能量，即為,（2.1-3）,2.2確知信號(hào)的分析,確知信號(hào)的性質(zhì)可以從頻域和時(shí)域兩方面進(jìn)行分析。頻域分析常采用傅里葉分析法，時(shí)域分析主要包括卷積和相關(guān)函數(shù)。本節(jié)我們將概括性地介紹傅里葉分析法，重點(diǎn)介紹相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和能量譜密度等概念。,2、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù),利用歐拉公式

4、 可得的指數(shù)表達(dá)式式中,,,（2.2-6）,,,,,(稱為復(fù)振幅)；,,（是,,的共軛）。,（a）非周期信號(hào) （b）構(gòu)造的周期信號(hào)圖2-1 非周期信號(hào),,信號(hào)的傅里葉變換具有一些重要的特性，靈活運(yùn)用這些特性可較快地求出許多復(fù)雜信號(hào)的頻譜密度函數(shù)，或從譜密度函數(shù)中求出原信號(hào)，因此掌握這些特性是非常有益的。其中較為重要且經(jīng)常用到的一些性質(zhì)和傅里葉變換對見附錄二。下面討論周期信號(hào)的傅里葉變換。,由以上兩式

5、可見，互相關(guān)函數(shù)反映了一個(gè)信號(hào)與另一個(gè)延遲τ秒后的信號(hào)間相關(guān)的程度。需要注意的是，互相關(guān)函數(shù)和兩個(gè)信號(hào)的前后次序有關(guān)，即有,,則整個(gè)頻率范圍內(nèi)信號(hào)的總功率與功率譜之間的關(guān)系可表示為可以證明：功率信號(hào) 的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度是一對傅里葉變換，即,,,（2.2-31）,,（2.2-32）,,2.3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征,前面我們對確知信號(hào)進(jìn)行了分析。但實(shí)際通信系統(tǒng)中由信源發(fā)出的信息是隨機(jī)的，或者說是不可預(yù)知的，因而攜帶信息的信號(hào)

6、也都是隨機(jī)的，如語言信號(hào)等，另外通信系統(tǒng)中還必然存在噪聲，它也是隨機(jī)的，這種具有隨機(jī)性的信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)。盡管隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲具有不可預(yù)測性和隨機(jī)性，我們不可能用一個(gè)或幾個(gè)時(shí)間函數(shù)準(zhǔn)確地描述它們，但它們都遵循一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。在給定時(shí)刻上，隨機(jī)信號(hào)的取值就是一個(gè)隨機(jī)變量。本節(jié)我們介紹基于概率論的隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)特征，它是隨機(jī)過程和隨機(jī)信號(hào)分析的基礎(chǔ)。,2.3.1 隨機(jī)變量,在概率論中，將每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果用一個(gè)變量來表示，如果變量的取

7、值是隨機(jī)的，則稱變量為隨機(jī)變量。例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)隨機(jī)變量的取值個(gè)數(shù)是有限個(gè)時(shí)，則稱它為離散隨機(jī)變量。否則就稱為連續(xù)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律用概率分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。,,,,,,,,,,,,,（2.3-1）,（2.3-2）,可見，概率密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。從圖形上看，概率密度就是分布函數(shù)曲線的斜率。概率密度函數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）,,,,（2.3

8、-5）,（2.3-6）,（2.3-7）,對于離散隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為,,（2.3-8）,均勻分布的概率密度函數(shù)的曲線如圖2-2所示。 圖2-2 均勻分布的概率密度函數(shù),,圖2-3 高斯分布的概率密度函數(shù)高斯分布是一種重要而又常見的分布，并具有一些有用的特性。在后面我們將專門進(jìn)行討論。,,,,,圖2-4 瑞利分布后面我們將介紹的窄帶高斯噪聲的包絡(luò)就是服從瑞利分布。,2.3.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征

9、,前面討論的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，能夠較全面地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。然而，在許多實(shí)際問題中，我們往往并不關(guān)心隨機(jī)變量的概率分布，而只想了解隨機(jī)變量的某些特征，例如隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值，以及隨機(jī)變量的取值相對于這個(gè)平均值的偏離程度等。這些描述隨機(jī)變量某些特征的數(shù)值就稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。,除了原點(diǎn)矩外，還定義相對于均值a的n階矩為n階中心矩，即顯然，隨機(jī)變量的二階中心矩就是它的方差，即,,（2.3-28）,,2.4隨機(jī)過程

10、的一般表述,2.4.1 隨機(jī)過程的概念前面所討論的隨機(jī)變量是與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的某一個(gè)隨機(jī)取值的量。例如，在給定的某一瞬間測量接收機(jī)輸出端上的噪聲，所測得的輸出噪聲的瞬時(shí)值就是一個(gè)隨機(jī)變量。顯然，如果連續(xù)不斷地進(jìn)行試驗(yàn)，那么在任一瞬間都有一個(gè)與之相應(yīng)的隨機(jī)變量，于是這時(shí)的試驗(yàn)結(jié)果就不僅是一個(gè)隨機(jī)變量，而是一個(gè)在時(shí)間上不斷變化的隨機(jī)變量的集合。,我們定義隨時(shí)間變化的無數(shù)個(gè)隨機(jī)變量的集合為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的基本特征是：它是時(shí)間t的函數(shù)，但

11、在任一確定時(shí)刻上的取值是不確定的，是一個(gè)隨機(jī)變量；或者，可將它看成是一個(gè)事件的全部可能實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的總體，其中每個(gè)實(shí)現(xiàn)都是一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個(gè)實(shí)現(xiàn)是不確定的。通信過程中的隨機(jī)信號(hào)和噪聲均可歸納為依賴于時(shí)間t的隨機(jī)過程。,圖2-5 隨機(jī)過程波形,,二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性, 但在實(shí)際工作中，有時(shí)不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描

12、述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，更簡單直觀。1、數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值）隨機(jī)過程 的數(shù)學(xué)期望定義為并記為 。隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是時(shí)間的函數(shù)。,,,,（2.4-5）,2、 （2.5-6）3、 （2.5-7）4、

13、 （2.5-8）5、 （2.5-9）由上述性質(zhì)可知，用自相關(guān)函數(shù)幾乎可以表述的主要特征，因而上述性質(zhì)有明顯的實(shí)用價(jià)值。,,,,,二、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。由式（2.2-31）可知，對于任意的確定功率信號(hào)f(t)其功率譜密度為

14、 （2.5-10） 式中， 是f(t)的截短函數(shù) 的頻譜函數(shù)。f(t)和 的波形如圖2-6所示。,,,,,圖2-6 功率信號(hào)及其截短函數(shù),,下面結(jié)合自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，歸納功率譜的性質(zhì)如下：1、 （非負(fù)性）2、3、 （偶函

15、數(shù)）,,,,2.6.2高斯過程的性質(zhì),1、若高斯過程是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它也是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。也就是說，對于高斯過程來說，寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)是等價(jià)的。2、若高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；3、高斯過程的線性組合仍是高斯過程；4、高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后的過程仍是高斯過程。,圖2-7 一維概率密度函數(shù),,圖2-8 白噪聲的雙邊帶功率譜密度和自相關(guān)函數(shù),如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白

16、噪聲。由式（2.6-22）可以看出，高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實(shí)際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。,2.7.2 隨機(jī)過程通過乘法器,在通信系統(tǒng)中，經(jīng)常進(jìn)行乘法運(yùn)算，所以乘法器在通信系統(tǒng)中應(yīng)用非常廣泛，下面我們計(jì)算平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器后，輸出過程的功率譜密度。平穩(wěn)隨

17、機(jī)過程通過乘法器的數(shù)學(xué)模型如圖2-10所示 圖2-10平穩(wěn)隨機(jī)過程通過乘法器,,（4）X(t)的平均功率為,,2.8窄帶高斯噪聲,2.8.1 窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計(jì)特征一、窄帶高斯噪聲的概念設(shè)系統(tǒng)的帶寬為，中心頻率為，當(dāng)時(shí)稱該系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。當(dāng)高斯白噪聲通過窄帶系統(tǒng)時(shí)，其輸出噪聲只能集中在中心頻率附近的帶寬之內(nèi)，稱這種噪聲為窄帶高斯噪聲。窄帶高斯噪聲的原理框圖及相關(guān)波形如圖2-11所示。,,（a）原理框圖,

18、（b）窄帶噪聲的功率譜 （c）窄帶噪聲的波形 圖2-11 窄帶噪聲的原理框圖及波形,,2.8.2 正弦波加窄帶高斯噪聲,通信系統(tǒng)中傳輸?shù)男盘?hào)通常是一個(gè)正弦波作為載波的已調(diào)信號(hào)，信號(hào)經(jīng)過信道傳輸時(shí)總會(huì)受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機(jī)前端設(shè)置一個(gè)帶通濾波器，以濾除信號(hào)頻帶以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是正弦波信號(hào)與窄帶噪聲的合成信號(hào)。這是通信系統(tǒng)中常會(huì)遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號(hào)的包絡(luò)和相