如何建立數(shù)學(xué)模型

1、1,,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文的寫作與評(píng)判國(guó)防科技大學(xué) 吳孟達(dá)2013 年 4月,2,一、數(shù)學(xué)建模ABC,A：Assume 如果你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)告訴你，不要超出已知條件。那么，在數(shù)學(xué)建模中，你要擺脫這種思維的束縛。數(shù)學(xué)建模是面對(duì)實(shí)際問題的，而實(shí)際問題所給出的已知條件往往是不夠的，你必須自己作出假設(shè)—關(guān)于什么是重要的，什么是不重要的；關(guān)于現(xiàn)實(shí)背景的某種約定；關(guān)于模糊概念的理解等等。,3,,總之，為你將要建立

2、的模型確定一個(gè)邊界較清晰的環(huán)境。事實(shí)上，有觀點(diǎn)認(rèn)為：模型就是假設(shè)。假設(shè)決定了模型的方向，假設(shè)與現(xiàn)實(shí)的相容度決定了模型的價(jià)值。 對(duì)現(xiàn)實(shí)與理論之間的平衡度的掌握，簡(jiǎn)化原則與貼近原則。,4,,B: Borrow 數(shù)學(xué)模型是用抽象形式表達(dá)我們所觀察到的事物的基本特性的一種嘗試，這種嘗試是否成功，既取決于建模者的數(shù)學(xué)能力，同樣（如果不是更多地）取決于建模者關(guān)于該事物的實(shí)際知識(shí)，這種知識(shí)可以從

3、建模者以往的經(jīng)驗(yàn)中獲得，也可以從別人的經(jīng)驗(yàn)中獲得，通過文獻(xiàn)或交流。,5,,另外，還取決于建模者的建模素養(yǎng)，這種素養(yǎng)主要不是從課堂講授中得到的，而主要是從建模者的建模實(shí)踐中獲得的，其中包括：目的性，鑒別力（信息、方法、模型），建模各個(gè)環(huán)節(jié)的把握等等。 對(duì)相關(guān)信息的獲取能力與決策能力。,6,,C: Criticize 建模者必須是一個(gè)批判者，批判別人也批判自己，這也是建模的一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)。建模的過程是一個(gè)迭代的

4、過程，也就是一個(gè)批判與改進(jìn)的過程。 對(duì)問題本質(zhì)的洞察能力。,7,二、數(shù)學(xué)建模的基本要素,The capacity to understand, interpret, criticize, and appreciate models is essential to all. The three most fundamental ideas in mathematical modeling are

5、transience, permanence, and optimality.,8,三、數(shù)學(xué)建模論文的一般結(jié)構(gòu),摘要問題重述與分析問題假設(shè)符號(hào)說明模型建立與求解模型檢驗(yàn)結(jié)果分析模型的進(jìn)一步討論模型優(yōu)缺點(diǎn),9,,,?摘要,主要理解,主要方法,主要結(jié)果,主要特點(diǎn),?問題重述與分析,對(duì)題意的理解,建模思路分析,重要概念的約定,—向?qū)?“拿到一個(gè)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題之后，首先應(yīng)盡可能深入了解其實(shí)際背景，并在此基礎(chǔ)上探討解決問題的方法。

6、” —— 數(shù)模競(jìng)賽中建好數(shù)學(xué)模型之研究,在一定意義下，你的模型的高度取決于你對(duì)問題理解的深度。,10,,,05B題—DVD租賃 題意理解問題（1）“保證希望看到該DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月 內(nèi)能夠看到該DVD” ——隨機(jī)需求。 P(ξ > 0.5 ) ≥ 0.95 . （2） “當(dāng)前需要處理的10

7、00位會(huì)員的在線訂單” ——第二問一次分配。（3）“95%的會(huì)員得到他想看的DVD” ——1張？3張？6張？,11,,,?問題假設(shè),?符號(hào)說明,?模型建立與求解,模型的完整性與正確性,一般，以一個(gè)模型為主,解法思路描述的清晰性與簡(jiǎn)潔性,12,,模型二：當(dāng)模型一無(wú)可行解時(shí)，以安全裕度利用率最小為目標(biāo)，調(diào)整各機(jī)組出力。,線路安全裕度 rj，安全裕度利用率 qj,例 ：2004 B題 電力市場(chǎng)

8、的輸電阻塞管理,13,,,“經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察判斷能力以及直覺、靈感等在建模過程起很大作用。 無(wú)法給出若干條普遍使用的建模準(zhǔn)則和技巧。面對(duì)競(jìng)賽題目，最基本的準(zhǔn)則就是具體問題具體分析。不過還是有些一般性的準(zhǔn)則(經(jīng)驗(yàn))： 1. 先要對(duì)問題進(jìn)行全面分析，簡(jiǎn)明建模的依據(jù)。 2. 盡量采用成熟的數(shù)學(xué)方法和已有的模型。 3. 有時(shí)針對(duì)問題的具體情況，可以先建立簡(jiǎn)單的、基本的模型，

9、再作改進(jìn)或修正。 4. 當(dāng)然，也要注意應(yīng)用新方法?！?—— 數(shù)模競(jìng)賽中建好數(shù)學(xué)模型之研究,14,,,?模型檢驗(yàn),穩(wěn)定性檢驗(yàn),敏感性檢驗(yàn),誤差分析,仿真檢驗(yàn),?結(jié)果分析,清晰、完整的表達(dá),結(jié)果合理性解釋,算法復(fù)雜度分析,不同模型、不同算法的對(duì)比,15,,,?模型進(jìn)一步討論,模型的改進(jìn)與拓廣,對(duì)題意不同理解下的模

10、型,有意義、有價(jià)值的設(shè)想（Valuable idea）,16,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),假設(shè)的合理性 假設(shè)是建模的基礎(chǔ)，具有導(dǎo)向性，容易被忽視。常犯錯(cuò)誤有缺少假設(shè)或假設(shè)不切實(shí)際。例如97年賽題“零件參數(shù)設(shè)計(jì)” 。 對(duì)一些關(guān)鍵性的或?qū)Y(jié)果有重大影響的條件或參數(shù)應(yīng)該在假設(shè)中明確約定。 假設(shè)具有導(dǎo)向性作用，不同的假設(shè)可能導(dǎo)致截然不同的結(jié)果。例如04年賽題“電力市場(chǎng)的輸

11、電阻塞管理”。,17,,作假設(shè)的兩個(gè)原則： ① 簡(jiǎn)化原則：抓住主要矛盾，舍棄次要因素，方便 數(shù)學(xué)處理。 ② 貼近原則：貼近實(shí)際。 以上兩個(gè)原則是相互制約的，要掌握好“度”。通常是先建模后假設(shè)。,18,,,CMCM—96A(最優(yōu)捕魚策略) 有的隊(duì)假設(shè)產(chǎn)卵的過程服從正態(tài)分布，這樣的假設(shè)是可以的，但大大增加了問題的難度。在不失生物學(xué)的真實(shí)的前提下，使模型的分析盡量簡(jiǎn)單的假設(shè)應(yīng)該是假

12、設(shè)魚群的個(gè)體在后四個(gè)月的第一天集中一次產(chǎn)卵。,19,,CMCM—05B(DVD租賃) （1）需求分布 一般用樣本均值代替總體均值,即認(rèn)為DVD1的需求為20000張，這樣得到第一問結(jié)果為6250。“要點(diǎn)”為二項(xiàng)分布B (n,p), 近似為正態(tài)分布N(np,npq), 取置信度為0.95，這樣得到第一問結(jié)果為6315。,20,,（2）還碟時(shí)間分布 最簡(jiǎn)單的一種是假定60％的會(huì)員月中還，4

13、0％的會(huì)員月底還，在此假定下，每張碟的每月使用次數(shù)為1.6次。還有其他種種假定。 （3）“95％的會(huì)員看到他想看的DVD”的理解。,21,,結(jié)果的正確性 模型的正確性。 計(jì)算的正確性（方法、結(jié)果）。 例一：99年“自動(dòng)化車床”，在計(jì)算刀具 發(fā)生故障后的損失時(shí)未考慮條件概率，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。 例二：98年“

14、投資組合策略”，使用均方風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，違背題義要求。,22,,例三：96年“最優(yōu)捕魚策略”，死亡率意義理解錯(cuò)。“自然死亡率為0.8（1/年）”被理解為每年平均死亡80%，事實(shí)上應(yīng)理解為單位時(shí)間內(nèi)死亡的魚的數(shù)量與魚的總量之比，是瞬時(shí)死亡率概念。 例四：95年“天車與冶煉爐調(diào)度”，對(duì)題目要求的理解有誤?！案髋_(tái)天車的作業(yè)率盡量均衡（考慮到設(shè)備及人員安全等因素，一般天車作業(yè)率不超過70%）”。,23,,建模的創(chuàng)造性

15、 創(chuàng)造性是靈魂，文章要有閃光點(diǎn)。 好創(chuàng)意、好想法應(yīng)當(dāng)既在人意料之外，又在人意料之中。 新穎性（獨(dú)特性）與合理性皆備。,24,,誤區(qū)之一：數(shù)學(xué)用得越高深，越有創(chuàng)造性。 解決問題是第一原則，最合適的方法是最好的方法。誤區(qū)之二：創(chuàng)造性主要體現(xiàn)在建模與求解上。 創(chuàng)造性可以體現(xiàn)在建模的各個(gè)環(huán)節(jié)上，并且可以有多種表現(xiàn)形式。,25,,誤區(qū)之三：好

16、創(chuàng)意來(lái)自于靈感，可遇不可求。 好創(chuàng)意來(lái)自于對(duì)數(shù)學(xué)方法的掌握程度與對(duì)問題理解的透徹程度。,26,,例一：94年B題：鎖具裝箱。① 將鎖具按照槽高之和H為奇數(shù)與偶數(shù)分為兩大類，每一類裝49箱。最優(yōu)性證明。② 隨機(jī)銷售方式與序貫銷售方式 。③ 抱怨程度的度量。,27,,例二：95年MCM A題：螺旋線交點(diǎn)問題。 關(guān)鍵是計(jì)算速度與計(jì)算精度的平衡問題。牛頓迭代法有很高的精度，但速度較慢；

17、線性近似法速度很快，可以滿足實(shí)時(shí)要求，但精度稍差。 “Rabbit , Turtle and Hunter” 抓住了問題的主要方面——速度。 創(chuàng)造性體現(xiàn)在對(duì)問題的理解程度上，進(jìn)而體現(xiàn)在建模思路上。,28,,表達(dá)的清晰性 好的文章 = 好的內(nèi)容 + 好的表達(dá)替讀者著想。該交代的要交代，如對(duì)題目的理解，關(guān)鍵指標(biāo)或參數(shù)的引入，建模的思路，結(jié)果

18、的分析等。寫好摘要，包括：建模主要方法、主要結(jié)果，模型主要優(yōu)點(diǎn)。專人負(fù)責(zé)寫作，及早動(dòng)手。考慮寫作的過程也是構(gòu)思框架、理清思路的過程，有利于從總體上把握建模的思路，反過來(lái)促進(jìn)建模。適當(dāng)采用圖表，增加可讀性。,29,,附：94年B題：鎖具裝箱 某廠生產(chǎn)一種彈子鎖具，每個(gè)鎖具的鑰匙有5個(gè)槽，每個(gè)槽的高度從1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)中任取一數(shù)。由于工藝及其它原因，制造鎖具時(shí)對(duì)5個(gè)槽的高度還有兩個(gè)限制：至少有3個(gè)不同的數(shù)；

19、相鄰兩槽的高度之差不能為5。滿足以上條件的所有互不相同的鎖具稱為一批。 從顧客的利益出發(fā)，自然希望在每批鎖具中“一把鑰匙開一把鎖”。但是在當(dāng)前工藝條件下，對(duì)于同一批中兩個(gè)鎖具是否能夠互開，有以下試驗(yàn)結(jié)果：若二者相對(duì)應(yīng)的5個(gè)槽的高度中有4個(gè)相同，另一個(gè)槽的高度差為1，則可能互開；在其他情況下，不可能互開。,30,,原來(lái)，銷售部門在一批鎖具中隨意地取每60個(gè)裝一箱出售。團(tuán)體顧客往往購(gòu)買幾箱到幾十箱，他們抱怨購(gòu)得的鎖具會(huì)出現(xiàn)互開的