mers傳播地數(shù)學模型地建立及分析報告

1、<p>　　2015高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽</p><p><b>　　承 諾 書</b></p><p>　　我們仔細閱讀了《全國大學生數(shù)學建模競賽章程》和《全國大學生數(shù)學建模競賽參賽規(guī)則》（以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國大學生數(shù)學建模競賽網(wǎng)站下載）。</p><p>　　我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不

2、能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。</p><p>　　我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。</p><p>　　我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。

3、如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。</p><p>　　我們授權全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。</p><p>　　我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A </p><p>　　我們的參賽報名號為（如果

4、賽區(qū)設置報名號的話）： </p><p>　　所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?成都工業(yè)學院 </p><p>　　參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 王××

5、 </p><p>　　2. 盧×× </p><p>　　3. 唐×× </p><p>　　指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)：

6、 </p><p>　?。ㄕ撐募堎|版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請仔細核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格。）</p><p>　　日期： 2015年 7 月 27 日</p><p>　　賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）

7、：</p><p>　　2015高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽</p><p><b>　　編 號 專 用 頁</b></p><p>　　賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：</p><p>　　賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：</p><p>　　全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國

8、前編號）：</p><p>　　全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：</p><p>　　MERS傳播的數(shù)學模型的建立與分析</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　本文針對MERS的傳播建立了傳統(tǒng)的SIR倉室數(shù)學模型。</p><p>　　針對問題一，對附件一提供的

9、早期模型，認為“傳染概率”的說法欠妥，傳染期限L的確定缺乏醫(yī)學上的支持，使模型的說服力降低。模型中借鑒廣東香港的參數(shù)來預測北京的疫情走勢，不失為一種方法。但在不同國家因政策，地域的不同，病毒的傳播和控制呈現(xiàn)不同的特點，使不同國家不同城市之間的可比性降低。而且由于MERS和SARS的治病機理不同，傳染率和死亡率不同，患病人數(shù)規(guī)模不同，所以對MERS的傳播分析，不能簡單的套用附件一所用的模型。</p><p>　　針

10、對問題二，我們在WHO(World Health Orgnazation)的官方網(wǎng)站上查找到了韓國MERS疫情從2015年5月20日至2015年7月5日的詳細數(shù)據(jù)[1]。對MERS的傳播建立傳統(tǒng)的SIR倉室模型，采用最小二乘法擬合參數(shù)，利用MATLAB編程求解，畫出參數(shù)感染率的參數(shù)散點圖和參數(shù)移出率的散點圖</p><p>　　對第三個問題，本文研究對MERS疫情對韓國入境旅游收入的影響，建立了灰色預測GM（1，

11、1）模型。</p><p>　　關鍵字： SIR倉室模型 常微分方程參數(shù)擬合 灰色預測</p><p><b>　　1.問題重述</b></p><p>　　MERS（Middle East Respiratory Syndrome）病毒是一種新型的冠狀病毒，這種病毒已經(jīng)被命名為中東呼吸綜合征冠狀病毒，大多數(shù)MERS病毒

12、感染病例發(fā)生在沙特。</p><p>　　2015年，MERS在韓國又有新一輪的爆發(fā)和蔓延，給韓國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了較大影響。對MERS 的傳播建立數(shù)學模型，具體要求如下：</p><p>　?。?）對附件所提供的一個SARS傳播的早期模型，請對其評價是否適用MERS。</p><p>　?。?）收集MERS的韓國疫情數(shù)據(jù)，建立MERS傳播的數(shù)學模型，說明優(yōu)

13、于附件1中的模型的原因；特別要說明怎樣建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠、足夠的信息的模型。對于衛(wèi)生部門所采取的措施做出評論，如：提前或延后n天采取嚴格的隔離措施，對疫情傳播所造成的影響做出估計。</p><p>　?。?）收集MERS對韓國旅游方面影響的數(shù)據(jù)，建立相應的數(shù)學模型并進行預測。</p><p><b>　　2.模型假設</b></p&g

14、t;<p>　　1.假設一個MERS康復者不會二度感染，他們已退出傳染體系，因此將其歸為“退出者”；</p><p>　　2.模型不考慮所研究這段時間內(nèi)的自然出生率和死亡率，MERS引起的死亡人數(shù)歸為“退出者”；</p><p>　　3.假設在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)總人數(shù)視為常數(shù)；</p><p>　　4.假設每個病人單位時間有效接觸的人數(shù)為常數(shù)；&l

15、t;/p><p>　　5. 假設韓國在MERS疫情流行期間和結束之后，旅游業(yè)數(shù)據(jù)的變化只與MERS疫情的影響有關，不考慮其它隨機因素的影響。</p><p><b>　　3.變量說明</b></p><p>　?。罕硎疽赘腥救巳?(susceptible)占總人數(shù)的比例；</p><p>　　；表示感染人群(infected

16、)占總人數(shù)的比例；</p><p>　?。罕硎疽瞥鋈巳赫伎側藬?shù)的比例；</p><p>　?。罕硎靖腥菊邔σ赘腥菊哂行Ц腥镜母腥韭?；</p><p>　　：表示移出率，即移出者的增加率</p><p>　　：表示第個單位時間的旅游業(yè)的收益；</p><p>　　表示在個單位時間時的累積旅游業(yè)的收益；</p>

17、<p>　?。?稱為系統(tǒng)發(fā)展灰數(shù)；</p><p><b>　　：稱為內(nèi)生控制變量</b></p><p>　　4.對早期模型的評價</p><p>　　附件1的模型主要采用“數(shù)據(jù)擬合”和“借鑒參數(shù)”的方法對北京疫情走勢進行預測。</p><p>　　在數(shù)據(jù)擬合方面，該模型中有兩個疑點：</p>

18、<p>　　1、感染期限L的確定。由于被嚴格隔離、治愈、死亡等原因，感染者在某一時段后不再具有對易感人群的傳染力，故對病毒的傳染加上感染期限是合理的。但在對該參數(shù)的確定上，作者為了較好地擬合各階段的數(shù)據(jù) ,通過人為調(diào)試來確定L的取值，缺乏醫(yī)學上的支持，使模型的說服力減弱，合理性和可靠性大大降低。</p><p>　　2、文中認為“K代表某種環(huán)境下一個人傳染他人的平均概率”。但從模型的公式中可以看出，

19、參數(shù)K的實際意義是一個病人平均每天傳染其他人的個數(shù)。兩者之間有實質的區(qū)別，文中的說法顯然不妥。</p><p>　　從預測思想來看，該模型是借鑒先發(fā)地區(qū)——廣東、香港的有關參數(shù)對北京的疫情進行預測的。由于廣東、香港的疫情和控制都在北京之前，已經(jīng)過了高峰期，到5月8日為止每日新增病例已降至10來例，基本處于后期控制階段。而當時北京的疫情剛過了高峰期，正處于社會劇烈調(diào)整時期，數(shù)據(jù)較為凌亂，略有下降趨勢，但不明顯?？梢?/p>

20、在當時，采取這種借鑒是無奈之舉。</p><p>　　但是由于城市之間的政策，風俗習慣等不同，城市之間的可比性不強，借鑒存在很大的局限性。如在香港，由于對傳播機制認識不足，中途又出現(xiàn)高度感染的特殊情況。另外使用借鑒法無法對首發(fā)城市進行預測。</p><p>　　MERSS和SARS又有許多不同, 例如，MERS的病死率約為40.7%，傳染性沒有SARS強，但SARS的病死率為14%-15%

21、，低于MERS，傳染性則強于MERS。MERS和SARS治病機理不同，傳染率死亡率不同，病毒潛伏時間也不同，所以不能簡單的套用附件所給模型來分析和預測MERS的傳播。</p><p>　　5.模型的建立與求解</p><p>　　問題2的模型建立與求解</p><p>　　5.1.1 問題2的模型思路</p><p>　　對于傳染病感染區(qū)，

22、由于為了避免傳染病的更大的擴散，一方面政府會對人口的流動做出限制，另一方面?zhèn)€人由于對傳染病的警惕也不會進入感染區(qū)，所以，感染區(qū)人口流動很小。即可把它看作一個封閉區(qū)，則可以建立SIR倉室模型[2],里面的總人數(shù)不變，里面的人分類為：</p><p>　　易感染者:即正常人，但可能會被感染。</p><p>　　感染者：已經(jīng)感染這種病的人，可以傳染給周圍的人。</p><p

23、>　　移出者：包括感染者中死亡的人，感染者中自愈的人和先天對這種病毒有免疫的人，他們將不在受這種傳染病的影響。</p><p>　　5.1.2 問題2的模型建立</p><p>　　根據(jù)傳染病的感染而致的各類人口比例的變化可以建立微分方程。這里用表示易感染人群 (susceptible)的比例關于時間的函數(shù)，同樣用表示感染人群(infected)的比例關于時間的函數(shù)，用表示移出人群的

24、比例關于時間的函數(shù)。</p><p>　　方程一：根據(jù)感染人群比例增長相等，可建立如下方程：</p><p><b>　　(1) </b></p><p>　　這里表示感染者對易感染者有效感染的感染率，即單位時間內(nèi)單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值；表示移出率，即單位時間內(nèi)移出者占染病者的比率；表示感染者比例關于時間的函數(shù)；表示易感染人者比例關于

25、時間的函數(shù)。</p><p>　　方程二：根據(jù)易感染者比例減少相等，可建立如下方程：</p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　方程三：根據(jù)移出者的增長相等，建立如下方程：</p><p><b>　　(3)</b></p><p>　　這里表示移出者比

26、例關于時間的函數(shù)。</p><p>　　方程四：易感染者比例，感染者比例和移出者比例之和恒為1：</p><p><b>　　(4)</b></p><p><b>　　綜上：</b></p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　5.

27、1.3問題2的模型求解</p><p>　　5.2.1問題2的模型微分方程初始值確定</p><p>　　我們統(tǒng)計的數(shù)據(jù)是從2015年5月20日到2015年7月7日的數(shù)據(jù)（見表一），共計49天，對于移除者比例，在病情開始沒有死亡人數(shù)，也沒有治愈人數(shù)，所以移除者比例的初始條件，對于感染者比例，根據(jù)數(shù)據(jù)看出開始只有1人，所以感染者比例的初始條件，對于易感染者的初始條件可有算出，即。</p

28、><p>　　表一 對MERS疫情每天數(shù)據(jù)的統(tǒng)計</p><p>　　5.2.2問題2的模型參數(shù)擬合</p><p>　　對于模型上的參數(shù)感染率和移出率受很多因素影響，很顯然不是一個常數(shù)。但是對于不是常數(shù)的參數(shù)很難擬合，所以，我們把所采集的數(shù)據(jù)（見表一）分為適當個組，把每個組的參數(shù)看作常數(shù)，這樣就很方便擬合出每個組的參數(shù)，最后再綜合各個組擬合的參數(shù)，把參數(shù)擬合成關于自變

29、量時間的函數(shù)（當然這里的組數(shù)分得越多則參數(shù)擬合得更加精確）。這樣就完整擬合出了每個時刻的參數(shù)值。</p><p>　　對于每個組的參數(shù)擬合，根據(jù)參數(shù)感染率的定義（單位時間內(nèi)單位病人傳染的人數(shù)與易感者之比值）而易感染人數(shù)遠大于單位病人傳染人數(shù)，所以。移出率（單位時間內(nèi)移出者占染病者的比率）同樣可以得知，所以可以定兩個參數(shù)的范圍都在0到1之間，這里可以用嘗試參數(shù)值去逼近最佳參數(shù)，具體步驟如下：</p>

30、<p>　　Step1：因為模型的參數(shù)感染率和移出率范圍都在0到1之間，這里我們先用0.1的梯度把參數(shù)分成（0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9）九個值，兩個參數(shù)共組成81組值。</p><p>　　Step2：把分成的每組參數(shù)值代入模型的微分方程組，用matlab中的函數(shù)可算出一個數(shù)值解。</p><p>　　Step3：用上面求出來的函數(shù)計算

31、出的值和實際值作差計算平方和（即最小二乘法），找出所有組參數(shù)值中最小的二乘數(shù)，即那組的感染率和移出率就是在梯度0.1下的最佳參數(shù)值。</p><p>　　Step4：畫出已經(jīng)計算出來的函數(shù)圖，與實際數(shù)據(jù)的函數(shù)圖對比，如果相差太遠這進行下一步，反之轉到Step7。</p><p>　　Step5：為了更加靠近最終的參數(shù)最佳值，這里再在上次擬合出來的參數(shù)值左右一個梯度的范圍再以上次梯度的0.1

32、倍進行參數(shù)再分組。例如：假設上次算出來的最佳感染率=0.5移出率=0.2，這次的參數(shù)范圍就是 ，這次就用0.01的梯度把參數(shù)分為20組參數(shù)。</p><p>　　Step6：回到Step2。</p><p>　　Step7：到了這里我們已經(jīng)算出了一組數(shù)據(jù)的最佳參數(shù)值。然后重復以上步驟，算出每組數(shù)據(jù)的最佳參數(shù)值。</p><p>　　Step8：根據(jù)各組數(shù)據(jù)的最佳參

33、數(shù)值畫出參數(shù)值得散點圖，擬合成適應函數(shù)。到這里，全部參數(shù)擬合結束。</p><p>　　算法流程圖如圖一所示：</p><p><b>　　圖1 算法流程圖</b></p><p>　　根據(jù)以上算法用matlab編程（程序見附件一），可以畫出參數(shù)感染率的參數(shù)散點圖（見圖2）和參數(shù)移出率的散點圖（見圖3）。[程序沒有寫出來，沒有結果]</p

34、><p>　　5.3問題3的模型建立與求解</p><p>　　5.3.1問題3的模型建立</p><p>　　對于問題3，MERS疫情對韓國入境旅游游客人數(shù)的影響，這里建立了一階一元灰色預測模型GM(1，1)，對旅游入境旅游游客人數(shù)進行預測。</p><p>　　以單位是表示的時間序列就為：</p><p><b&

35、gt;　　(6)</b></p><p>　　這里表示第個單位時間的韓國入境旅游游客人數(shù)</p><p><b>　　令：</b></p><p><b>　　(7)</b></p><p>　　即通過上面公式（7）累積形成新的列：</p><p><b&g

36、t;　　(8)</b></p><p>　　這里表示表示在個單位時間時的韓國累積入境旅游的游客人數(shù)</p><p>　　則可以建立GM(1,1)模型：</p><p><b>　　(9)</b></p><p><b>　　這里</b></p><p><b

37、>　　(10)</b></p><p>　　稱為系統(tǒng)發(fā)展灰數(shù)，稱為內(nèi)生控制變量。</p><p>　　5.3.2問題3的模型求解</p><p><b>　　確定參數(shù)：</b></p><p>　　可利用一階微分方程的解法求得其解，然后將（7）式代入，使用最小二乘法，便可以得出：</p>

38、<p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p><b>　　(13)</b></p><p>　　生成列可以按以下公式計算出：</p>

39、<p><b>　　(14)</b></p><p><b>　　其中，。</b></p><p><b>　　計算預測：</b></p><p>　　根據(jù)采集的數(shù)據(jù)（見表2），可以通過以上公式（11）可以用matlab算出參數(shù)，然后用matlab解出微分方程。</p><

40、;p>　　表 2 2015年韓國旅游各月份的游客數(shù)</p><p>　　6、模型的分析、推廣與改進</p><p>　　要真正建立能夠預測以及能為預防和控制提供可靠，足夠的信息的模型。要怎樣做，以及困難。事實上，真正情況要比我們的模型復雜的多，比如，由于初期傳播機理不明，醫(yī)護人員為收到好的保護，很多受到傳染。而傳播率事實上也是按照某種趨勢變化的，他與人們的警惕心理等因素有關。<

41、;/p><p>　　要建立這樣的模型，我們認為：</p><p>　　1、要不斷的研究傳染病理，完善模型。</p><p>　　2、建立實時反饋機制，不斷修改模型參數(shù)，以求更準確的預測以后的數(shù)據(jù)。</p><p>　　3、盡量以實際的研究數(shù)據(jù)建模，力求準確反映事件的實質。這樣，當人為修改參數(shù)進行模擬預測時，可以為采取什么措施效果最好做出較準確的建

42、議。</p><p>　　4、研究各種措施實際對疾病傳播的影響。</p><p>　　要做到這些，也恰恰是建模的難點，因為當涉及到新的傳染病的時候，以上數(shù)據(jù)或參數(shù)都必須通過長期的研究或擬合才能得到的。比如措施對疾病傳播的影響，是要統(tǒng)計大量實際數(shù)據(jù)才能獲得的。以上也可以看作我們模型的改進方向。</p><p><b>　　7、參考文獻</b>&l

43、t;/p><p>　　[1]世界衛(wèi)生組織. http://www.who.int/csr/disease/coronavirus_infections/MERS-CoV-cases-rok-21Jul15.xlsx?ua=1</p><p>　　[2] 周寧 李林，基于灰色微分方程的傳染病預測，http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-LLYY2014

44、04016.htm，2015.07.29</p><p><b>　　8、附錄</b></p><p><b>　　附件1：</b></p><p><b>　　附件2：</b></p><p>　　y= dsolve('Dy=81.9185-0.1852*y

45、','y(1)=52','t') y = 819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852 >> x=81.9185-0.5*0.1852*((819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/

46、2500)*exp(463/2500))/1852)+(819185/1852 - (722881*exp(-(463*(t-1))/2500)*exp(463/2500))/1852)) >> x >> t=[1 2 3 4 5 6 7 8]t = &

47、#160;   1     2     3     4     5     6     7 

48、0;   8>> x=81.9185-0.5*0.1852*((819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852)+(819185/1852 - (722881*exp(-(463*(t-1))/2500)*exp(46</p><p>　　y=&

49、#160;dsolve('Dy=81.9185-0.1852*y','y(1)=52','t') y = 819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852t=[1 2 3 4 5 6 7 8

50、]t =     1     2     3     4     5     6   

51、60; 7     8>> x=81.9185-0.5*0.1852*((819185/1852 - (722881*exp(-(463*t)/2500)*exp(463/2500))/1852)+(819185/1852 - (722881*exp(-(463*(t-1))/2500)*exp(463/2500

52、))/1852))x =   79.6419   66.1775   54.9894   45.6928   37.9679   31.5490   26.2152   21.783