三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算

1、3.三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算,九年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第一章 直角三角形的邊角關(guān)系,1.,準(zhǔn)確計(jì)算,2. cos230°＋cos260°－tan45°,1.在直角三角形中，我們把兩個(gè)銳角、三條邊稱(chēng)為直角三 角形的五個(gè)元素. 圖中∠A，∠B，a，b，c即為直角三角形 的五個(gè)元素.2.解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形．,什么是解直角三角形,練一練,1.在Rt △

2、ABC中，∠C＝90°，已知a， ∠A的值，則c的值為 A. atanA B. asinA C. D. （ ）2.在Rt △A

3、BC中，∠C＝90°，已知 ，BC＝6， 則AC＝ ，AB＝ .3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形； (1) ∠A＝45°, a= 3; (2) c=8,b=4;,思考：解直角三角形時(shí)，必須已知幾個(gè)元素，才能求得其余元素呢？,D,8,10,一個(gè)直角三角形中，若已知五個(gè)

4、元素中的兩個(gè)元素（其中必須有一個(gè)元素是邊），則這樣的直角三角形可解.,利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題 的一般步驟:,1.將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題;,(畫(huà)出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題),2.根據(jù)條件的特點(diǎn),適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等 去解直角三角形;,3.得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案;,4.得到實(shí)際問(wèn)題的答案.,2009中考題2．如圖，市政府準(zhǔn)備修建一座高AB＝6m的過(guò)街天橋，已知天橋的坡面AC與地面BC的夾角

5、∠ACB的正弦值為 ，則坡面AC的長(zhǎng)度為 m．,2008中考題1．如圖所示，某河堤的橫斷面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB長(zhǎng)13米，且tan∠BAE＝ ，則河堤的高BE為 米．,,指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線構(gòu)成小于900的角,叫做方位角.如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°（西南方向）,方位角,介紹:,,問(wèn)題：海中有一個(gè)小

6、島A，它的周?chē)?海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？,,,,,B,A,D,,F,,,,12,,,,,重點(diǎn)例題,,問(wèn)題：海中有一個(gè)小島A，它的周?chē)?海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)

7、得小島A在北偏東45°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？,,,,,B,A,D,,F,,,,12,,,,,重點(diǎn)例題,,問(wèn)題：海中有一個(gè)小島A，它的周?chē)?海里范圍內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東45°方向上，航行12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上，如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？,,,,,B,A,D,,F,,,,12,,,,

8、,重點(diǎn)例題,仰角和俯角,,,,,鉛直線,水平線,視線,視線,仰角,俯角,在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.,介紹:,鞏固練習(xí),建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC 40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為60°,觀察底部B的仰角為45°,求旗桿的高度.,40,在山腳C處測(cè)得山頂A的仰角為45°問(wèn)題如下: 沿著水平地面向前300米到達(dá)D點(diǎn)在D點(diǎn)測(cè)得山頂

9、A的仰角為600 , 求山高AB.,,D,鞏固練習(xí),猜一猜,這座古塔有多高,你能運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)出這座古塔的高嗎?,學(xué)以致用,,,,,A,B,小明在A處仰望塔頂,測(cè)得仰角的大小為30°,再往塔的方向前進(jìn)50m到B處,又測(cè)得仰角的大小為45°,根據(jù)這些條件求塔的高度.,學(xué)以致用,小明在A處仰望塔頂,測(cè)得頂點(diǎn)B仰角的大小為60°, 又測(cè)得底端C的仰角的大小為45°,已量得DC=21米。根據(jù)這些條件

10、求塔的高度.,D,小明在A處仰望塔頂,測(cè)得頂點(diǎn)B仰角的大小為60°, 又測(cè)得底端C的仰角的大小為45°,已量得BC=30米。根據(jù)這些條件求DC.,D,如圖,大樓高30m,遠(yuǎn)處有一塔BC,某人在樓底A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?00,爬到樓頂D處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?00,求塔高BC及大樓與塔之間的距離AC.,想一想 P21,古塔究竟有多高?,學(xué)以致用,某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能,把傾角由原來(lái)的45°減至30&#

11、176;,已知原樓梯的長(zhǎng)度為4m,調(diào)整后的樓梯會(huì)加長(zhǎng)多少?樓梯多占多長(zhǎng)一段地面?,樓梯加長(zhǎng)了多少?,1.在解直角三角形及應(yīng)用時(shí)經(jīng)常接觸到的一些概念(仰角,俯角;方位角等) 2.實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化 (解直角三角形),知識(shí)小結(jié),,問(wèn)題:如圖，在小島上有一觀察站A.據(jù)測(cè)，燈塔B在觀察站A北偏西450的方向，燈塔C在B正東方向，且相距10海里， 燈塔C與觀察站A相距 1

12、0 海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔C處在觀察站A的什么方向？,學(xué)以致用,,1,2,10,10,F,在直角三角形中,除直角外,由已知兩元素 求其余未知元素的過(guò)程叫解直角三角形.,1.解直角三角形,(1)三邊之間的關(guān)系:,a2＋b2＝c2（勾股定理）；,2.解直角三角形的依據(jù),(2)兩銳角之間的關(guān)系:,∠ A＋ ∠ B＝ 90º；,(3)邊角之間的關(guān)系:,知識(shí)回顧,(必有一邊),已知斜邊求直邊，,已知直邊求直

13、邊，,已知兩邊求一邊，,已知兩邊求一角，,已知直邊求斜邊，,計(jì)算方法要選擇，,正弦余弦很方便；,運(yùn)用正切理當(dāng)然；,函數(shù)關(guān)系要選好；,勾股定理最方便；,用除還需正余弦；,能用乘法不用除.,優(yōu)選關(guān)系式,,a,b,c,如圖，在小島上有一觀察站A.據(jù)測(cè)，燈塔B在觀察站A北偏西450的方向，燈塔C在B正東方向，且相距10海里，燈塔C與觀察站A相距10 海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔C處在觀察站A的什么方向？,解：過(guò)點(diǎn)C作CD ⊥AB,垂足為D,,10,5,

14、10,F,,,∵燈塔B在觀察站A北偏西45°的方向,∴ ∠B=45°,∵sinB =,∴CD=,BC·sinB=,10×sin45°=,10× =,∵在Rt△DAC中， sin ∠DAC=,∴ ∠ DAC=30°,∴∠CAF=,∠BAF -∠DAC=,45°-30°=15°,45°,45°,∴燈塔

15、C處在觀察站A的北偏西15°的方向,如圖，在小島上有一觀察站A.據(jù)測(cè)，燈塔B在觀察站A北偏西450的方向，燈塔C在B正東方向，且相距10海里，燈塔C與觀察站A相距10 海里，請(qǐng)你測(cè)算燈塔C處在觀察站A的什么方向？,,,,,,解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E,,,10,10,設(shè)CE=x,∵在Rt△BAE中，∠BAE=45°∴AE=BE=10+x,∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2,∴x2+(10+x)2=(

16、10　)2,即：x2+10x-50=0,(舍去),∴燈塔C處在觀察站A的北偏西15° 的方向,∴sin ∠CAE=,∴∠CAE≈15°,45°,再見(jiàn),要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角α一般要滿足50°≤ α ≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)6m的梯子.問(wèn):,(1)使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精確到0.1m),這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為: 在Rt△ABC中,已知∠

17、A= 75°,斜邊AB=6,求BC的長(zhǎng),,角α越大,攀上的高度就越高.,你能解決嗎?,要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端,梯子與地面所成的角α一般要滿足50°≤ α ≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)6m的梯子.問(wèn):,,(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí),梯子與地面所成的角α等于多少(精確到1°)?這時(shí)人能否安全使用這個(gè)梯子?,這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為: 在Rt△ABC中,已知AC=2.4m,斜邊AB=6, ,求

18、銳角α的度數(shù)?,你能解決嗎?,角α是否在50°≤ α ≤75°內(nèi),例1.如圖，為了測(cè)量電線桿的高度AB，在離電線桿21米的C處，用高1.20米的測(cè)角儀CD測(cè)得電線桿頂端B的仰角a＝30°，求電線桿AB的高.,,1.20,21,,知識(shí)應(yīng)用,,,,,,,例1.如圖，為了測(cè)量電線桿的高度AB，在離電線桿21米的C處，用高1.20米的測(cè)角儀CD測(cè)得電線桿頂端B的仰角a＝30°，求電線桿AB的高．,,1

19、.20,21,α＝30°,,,知識(shí)應(yīng)用,,E,,,,例2:熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底部的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高?,,α=30°,,,β=60°,120,A,B,C,D,,,鞏固練習(xí),建筑物BC上有一旗桿AB,由距BC 40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為60°,觀察底部B的仰角為45°,

20、求旗桿的高度.,40,例3. 如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東45°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？,,,,,,,,45°,30°,P,B,C,A,,,1.在解直角三角形及應(yīng)用時(shí)經(jīng)常接觸到的一些概念(仰角,俯角;方位角等) 2.實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化

21、 (解直角三角形),知識(shí)小結(jié),問(wèn)題：如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn)A、B、C.景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向8km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上.已知AB=5km.(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向公路a修建一條距離最短的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長(zhǎng)；(結(jié)果精確到0.1km) (2)求景點(diǎn)C與景點(diǎn)

22、D之間的距離.(結(jié)果精確到1km),(參考數(shù)據(jù)：,=1.73，,(參考數(shù)據(jù)： =1.73, =2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=0.60cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38