matlab統(tǒng)計(jì)工具箱

1、1,Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱,一:統(tǒng)計(jì)工具箱簡(jiǎn)介二:概率分布三:參數(shù)估計(jì)四:描述性統(tǒng)計(jì)五:假設(shè)檢驗(yàn)六:統(tǒng)計(jì)繪圖,2,一.matlab統(tǒng)計(jì)工具箱(statistics toolbox)簡(jiǎn)介,統(tǒng)計(jì)學(xué)是處理數(shù)據(jù)的藝術(shù)和科學(xué),通過收集,分析,解釋和表達(dá)數(shù)據(jù)來(lái)探索事物中蘊(yùn)含的規(guī)律.隨著科技水平的迅猛發(fā)展,知識(shí)經(jīng)濟(jì)的時(shí)代來(lái)臨,海量的數(shù)據(jù)需要人們處理.matlab統(tǒng)計(jì)工具箱為人們提供了一個(gè)強(qiáng)有力的統(tǒng)計(jì)分析工具. 統(tǒng)計(jì)工具箱基于mat

2、lab數(shù)值計(jì)算環(huán)境,支持范圍廣泛的統(tǒng)計(jì)計(jì)算任務(wù).它包括200多個(gè)處理函數(shù)(m文件)主要應(yīng)用于以下幾方面:,3,1.1 統(tǒng)計(jì)工具箱的幾大功能,*概率分布 *參數(shù)估計(jì) *描述性統(tǒng)計(jì) *假設(shè)檢驗(yàn) *統(tǒng)計(jì)繪圖,4,,統(tǒng)計(jì)工具箱提供了20種概率分布類型,其中包括

3、離散型分布:(如binomial二項(xiàng)分布, 即n次貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)k次成功的概率.poisson 分布, 和 分布等).,,1.1.1概率分布---離散型,5,1.1.2 概率分布—連續(xù)型,連續(xù)型分布如

4、正態(tài)分布F(x)=beta分布,uniform平均分布等.每種分布提供5類函數(shù): 1 概率密度 2 (累積)分布函數(shù) 3 逆累積分布函數(shù) 4 隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器 5 均值和方差函數(shù).,6,1.1.3另外4大功能,*參數(shù)估計(jì)---依據(jù)原始數(shù)據(jù)計(jì)算參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)域.*描述性統(tǒng)

5、計(jì)---方差,期望等數(shù)字特征.*假設(shè)檢驗(yàn)---提供最通用的假設(shè)檢驗(yàn)函數(shù)t-檢驗(yàn),z-檢驗(yàn).*統(tǒng)計(jì)繪圖--- box圖函數(shù),正態(tài)概率圖函數(shù)等.注意:統(tǒng)計(jì)工具箱中的說有函數(shù)都可用 type function_name語(yǔ)句查看其代碼,也可進(jìn)行修改,從而變?yōu)榧河?加入到工具箱中.,7,二 概率分布,隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)行為取決于其概率分布，而分布函數(shù)常用連續(xù)和離散型分布。統(tǒng)計(jì)工具箱提供20種分布。每種分布有五類函數(shù)。1: 概率密度(p

6、df) ; 2: 累積分布函數(shù)(cdf); 3:逆累積分布函數(shù)(icdf);4: 隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器 5: 均值和方差函數(shù)；一：離散型概率密度函數(shù):為觀察到的特定值的概率。 連續(xù)型概率密度函數(shù)定義為：如存在非負(fù)函數(shù)p(x) ≥0,使對(duì)任意b≥a，X 在(a,b)上取值概率為p{a<X<b}= ;則稱p(x)為隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)。二：累積分布 (cdf):它取決

7、于pdf. 表達(dá)式為F(x)= . 逆累積分布(icdf):實(shí)際上是cdf的逆，它返回給定顯著概率條件下假設(shè)檢驗(yàn)的 臨界值。,8,2.1,三：隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器 所有隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生方法都派生于均勻分布隨機(jī)數(shù)。產(chǎn)生方法有：直接法、反演法、拒絕法。四：均值和方差 均值和方差是分布函數(shù)的簡(jiǎn)單函數(shù)。在Matlab里用“stat”結(jié)尾的函數(shù)可計(jì)算得到給定參數(shù)的分布的均值和方差。以下以正態(tài)分布為

8、例說明在Matlab里的實(shí)現(xiàn)。一：概率密度函數(shù) X=[-3:0.5:3];f=normpdf(x,0,1);（其中normpdf為正態(tài)分布的Matlab分布實(shí)現(xiàn)函數(shù)，可由以下介紹的函數(shù)代替。）,9,,功能：可選分布的概率密度函數(shù)。格式：Y=pdf(‘name’,X,A1,A2,A3)說明：‘name’為特定分布的名稱，如‘Normal’,’Gamma’等。X為分布函數(shù)的自變量X的取值矩陣，而A1,A2,A3分別為相應(yīng)的分

9、布參數(shù)值。Y給出結(jié)果，為概率密度值矩陣。舉例：p=pdf(‘Normal’,-2:2,0,1) 給出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在-2到2的分布函數(shù)值。 而p=pdf(‘Poisson’,0:4,1:5)給出Poisson分布函數(shù)。,2.2,10,累積分布函數(shù)與逆累積分布函數(shù)同樣地，累積分布和逆累積分布對(duì)每個(gè)分布都有特定地Matlab實(shí)現(xiàn)函數(shù)，這里

10、只介紹通用的cdf,icdf.--- cdf, icdf功能：計(jì)算可選分布的累積分布函數(shù)和逆累積分布函數(shù)。格式：P=cdf(‘name’,X,A1,A2,A3) X=icdf(‘name’,X,A1,A2,A3)說明：cdf和icdf中的參數(shù)使用和pdf中的相同。只是計(jì)算結(jié)果不同。舉例：p=cdf(‘Normal’,0:5,1:6) X=icdf(‘Normal’,0.1:0.2

11、:0.9,0,1),2.3,11,隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器在Matlab里和pdf,cdf與icdf一樣，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生也有通用函數(shù)random.--- random功能：產(chǎn)生可選分布的隨機(jī)數(shù)。格式：y=random(‘name’,A1,A2,A3,m,n)說明：random函數(shù)產(chǎn)生統(tǒng)計(jì)工具箱中任一分布的隨機(jī)數(shù)?！畁ame’為相應(yīng)分布的名稱。A1,A2,A3為分布參數(shù)，意義同pdf參數(shù)。m,n確定了結(jié)果y的數(shù)量，如果分布參數(shù)A1,A2,

12、A3為矢量，則m,n是可選的，但應(yīng)注意，它們給出的長(zhǎng)度或矩陣行列數(shù)必須與分布參數(shù)的長(zhǎng)度相匹配。舉例：rn=random(‘Normal’,0,1,2,4),2.4,12,均值和方差和以上其他函數(shù)不同的是均值和方差的運(yùn)算沒有通用的函數(shù)，只能用各個(gè)分布的函數(shù)計(jì)算。對(duì)應(yīng)于正態(tài)分布的計(jì)算函數(shù)為normstat();它返回兩個(gè)參數(shù)的向量，分別為均值和方差。舉例：[m,n]=normstat(mu,sigma),2.5,13,三.參數(shù)

13、估計(jì),參數(shù)估計(jì): 某分布的數(shù)學(xué)形式已知,應(yīng)用子樣信息來(lái)估計(jì)其有限個(gè)參數(shù)的值本節(jié)主要介紹 3.1 最大似然估計(jì)(Maximum likelihood estimation) 3.2 對(duì)數(shù)似然函數(shù),14,3.1最大似然估計(jì),基本思想: 已知一組觀測(cè)值,給定這組值出自的某類分布中,求 得最有可能出現(xiàn)這組值的一個(gè)分布.調(diào)用方法: [phat,pci]=mls[‘dist’

14、,data,alpha] phat為參數(shù)估計(jì)結(jié)果,pci為置信區(qū)間計(jì)算結(jié)果dist為用戶給定的分布名稱,data為數(shù)據(jù)列表,(1-alpha)置信區(qū)域.,15,3.1.1 最大似然估計(jì)(mls)舉例,例: rv=binornd(20,0.75) rv= 17 [p,pci]=mle(‘binomial’,rv,0.05,20)

15、 p=    0.8000 pci= 0.5634 0.9427,16,3.2 對(duì)數(shù)似然函數(shù),統(tǒng)計(jì)工具箱提供了β分布,γ分布,正態(tài)分布和威布爾分布的負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)值的求取函數(shù).正態(tài)分布的負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)調(diào)用

16、方法 L=normlike(params,data) Params為正態(tài)分布參數(shù):params(1)為μ,params(2)為σ,17,3.2.1其他負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù),β分布的負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù) logL=betalike(params,data)γ分布的負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù) logL=gamlike(params,data)威布爾分布的負(fù)對(duì)

17、數(shù)似然函數(shù) logL=weiblike(params,data) 參數(shù)設(shè)置與正態(tài)分布的負(fù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)類似,不加冗述.,18,四 描述性統(tǒng)計(jì),概述：人們希望用少數(shù)樣本來(lái)體現(xiàn)樣本總體的規(guī)律。描述性統(tǒng)計(jì)就是收集、整理、加工和分析統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，使之系統(tǒng)化、條理化，以顯示出數(shù)據(jù)資料的趨勢(shì)、特征和數(shù)量關(guān)系。根據(jù)統(tǒng)計(jì)量特征性質(zhì)的不同，工具箱提供了位置度量、散布度量、自助法以及在缺失數(shù)據(jù)情況下處理方法等方面的描述性統(tǒng)計(jì)工具函數(shù)。

18、,19,4.1中心趨勢(shì)（位置）度量,數(shù)據(jù)樣本中心度量的目的在于對(duì)數(shù)據(jù)樣本的數(shù)據(jù)分布線上分布的中心予以定位，即中心位置的度量。均值是對(duì)位置的簡(jiǎn)單和通常的估計(jì)量。但野值的存在往往影響位置的確定。而中位數(shù)和修正的均值則受野值的干擾很小。中位數(shù)是樣本的50%分位點(diǎn)。而修正的均值所蘊(yùn)涵的思想則是剔除樣本中最高值和最低值來(lái)確定樣本的中心位置。幾何均值和調(diào)和均值對(duì)野值都較敏感。當(dāng)樣本服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布或偏斜程度很大時(shí)，它們也都是有效的方法。以下介

19、紹位置度量有關(guān)函數(shù)。,20,4.2.1: 幾何平均數(shù)（geomean）,功能：樣本的幾何均值。格式：m=geomean(X)說明：幾何均值的定義為 m= (1.4.1) geomean 函數(shù)計(jì)算樣本的幾何均值 。X若為矢量，它返回X中元素的幾何均值；X若為矩陣，它的結(jié)果為一個(gè)行矢量，每個(gè)元素為X對(duì)應(yīng)列元素的幾何均值。舉例：x=exprnd(1,10,6)

20、; geometric=geomean(X); average=mean(X);,21,4.2.2: （調(diào)和均值）harmmean,功能：樣本數(shù)據(jù)的調(diào)和均值。格式：m=harmmean(X)說明：調(diào)和均值定義為舉例：樣本均值大于或等于調(diào)和均值。 X=exprnd(1,10,6); harmonic=harmmean

21、(X) average=mean(X),22,4.2.3（平均值）mean,功能：樣本數(shù)據(jù)的平均值。說明：平均值定義為舉例：x=normrnd(0,1,100,5); xbar=mean(X),23,4.2.4:median,功能：樣本數(shù)據(jù)的中值。說明：中值即數(shù)據(jù)樣本的50%中位數(shù)。中位數(shù)對(duì)野值出現(xiàn)的影響較小。舉例：xodd=1:5;

22、 modd=median(xodd) meven=median(xeven),24,4.2.5:trimmean,功能：剔除極端數(shù)據(jù)的樣本均值。格式：m=trimmean(X,percent)說明：函數(shù)計(jì)算剔除觀測(cè)量中最高百分比和最低百分比數(shù)據(jù)后的均值。 函數(shù)中percent代表百分比。舉例：X=normrnd(0,1,100,100);

23、 m=mean(X) trim=trimmean(X,10) sm=std(m) strim=std(trim) efficiency=(sm/strim).^2,25,4.3散布度量,散布度量可以理解為樣本中的數(shù)據(jù)偏離其數(shù)值中心的程度，也稱離差。極差，定義為樣本最大觀測(cè)值與最小觀測(cè)值之差。

24、標(biāo)準(zhǔn)差和方差為常用的散布度量，對(duì)正態(tài)分布的樣本描述是最優(yōu)的。但抗野值干擾能力較小。平均絕對(duì)值偏差對(duì)野值也敏感。四分位數(shù)間距為隨機(jī)變量的上四分位數(shù) 和下四分位之差。,26,在Matlab里，有關(guān)散布度量計(jì)算的函數(shù)為：1:計(jì)算樣本的內(nèi)四分位數(shù)間距的 iqr(X).2:求樣本數(shù)據(jù)的平均絕對(duì)偏差的 mad(X).3:計(jì)算樣本極差的 range(X).4: 計(jì)算樣本方差的 var(X,w).5: 求樣本的標(biāo)準(zhǔn)差的 std(X

25、).6: 求協(xié)方差矩陣的cov(X).這些函數(shù)的詳細(xì)說明可以參見Matlab的幫助文檔。,4.4 Matlab里有關(guān)散布度量計(jì)算的函數(shù),27,4.5處理缺失數(shù)據(jù)的函數(shù),在對(duì)大量的數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行處理分析時(shí)，常會(huì)遇到一些數(shù)據(jù)無(wú)法找到或不能確定的情況。這時(shí)可用NaN標(biāo)注這個(gè)數(shù)據(jù)。而工具箱中有一些函數(shù)自動(dòng)處理它們。如 ：忽視NaN, 求其他數(shù)據(jù)的最大值的nanmax.格式：m=nanmax(X)舉例：m=magic(3);

26、 m([1 6 8])=[NaN NaN NaN] [nmax,maxidx]=nanmax(m),28,4.6中心矩,中心矩是關(guān)于數(shù)學(xué)期望的矩。對(duì)于任意的r 0,稱 為隨機(jī)變量X的r階中心矩。一階中心矩為0，二階中心矩為方差： 函數(shù)moment計(jì)算任意階中心矩。 格式：m=moment(X,order)

27、 說明：order確定階。,29,4.7相關(guān)系數(shù),相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量間線性相依程度的度量?？捎煤瘮?shù)corrcoef計(jì)算它。格式：R=corrcoef(X)說明：輸入矩陣X的行元素為觀測(cè)值，列元素為變量，R=corrcoef(X)返回相關(guān)系數(shù)矩陣R.,30,五.假設(shè)檢驗(yàn),假設(shè)檢驗(yàn) 是統(tǒng)計(jì)的基本問題.旨在應(yīng)用得到的少量信息,判斷整體是否滿足給定條件或達(dá)到給定的標(biāo)準(zhǔn). 回顧一下我們以

28、前在統(tǒng)計(jì)學(xué)中所學(xué)的假設(shè)檢驗(yàn).其步驟為:,31,5.1 假設(shè)檢驗(yàn)步驟,1.設(shè): 零假設(shè).(成立則h=0,否則h=1).2.取得一組觀測(cè)值(子樣).3.給定顯著型水平α(一般取0.05). 4.應(yīng)用子樣的某些統(tǒng)計(jì)量特征.5.在 成立前提下,若出現(xiàn)已知觀測(cè)值的概率小于5%,則拒絕,否則認(rèn)為觀測(cè)值與假設(shè)無(wú)顯著差別.,32,5.2 ranksum函數(shù),調(diào)用方法: [p,h]=ranksum(x,y,

29、alpha) p返回x,y的母體一致的顯著性水平,h為假設(shè)檢驗(yàn)的返回值.x,y為兩組觀測(cè)值,alpha為顯著性水平. 請(qǐng)參考下面例子,33,5.2.1 Ranksum函數(shù)舉例,例:檢驗(yàn)兩組服從poisson分布的隨機(jī)數(shù)樣本的均值是否相同. x=poissrnd(5,10,1); y=poissrnd(2,10,1); [p,h]=ranksum(x,

30、y,0.05) p= 0.0028 h= 1,34,5.3 signrank函數(shù),調(diào)用方法: [p,h]=signrank(x,y,alpha) 參數(shù)與ranksum函數(shù)類似. 例:檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)分布的樣本子樣均值是否相等. x=normrnd(0,

31、1,20,1); y=normrnd(0,2,20,1); [p,h]=signrank(x,y,0.05) p=     0.2568 h= 0,35,5.4 ttest---t檢驗(yàn),調(diào)用方法: [h,sig,ci]=

32、ttest(x,m,alpha) h為假設(shè)檢驗(yàn)的返回值.sig與T統(tǒng)計(jì)量有關(guān),T= . ci為均值的(1-alpha)置信區(qū)域.m為假設(shè)的樣本均值.,,36,5.4.1 ttest函數(shù)舉例,例:給出理論均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1的100個(gè)正態(tài)隨機(jī)數(shù)樣本。當(dāng)然，觀測(cè)樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差與理論值不同的，但假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果卻還原其本質(zhì)規(guī)律。 x=normr

33、nd(0,1,1,100); [h,sig,ci]=ttest(x,0); h= 0 sig= 0.4474 ci= -0.1165 0.2620 結(jié)果h=0,意味著我們不能拒絕零假設(shè)。,37

34、,5.5 ztest函數(shù),已知方差的單樣本均值的檢驗(yàn)假設(shè).調(diào)用方法: [h,sig,ci]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) ztest(x,m,sigma)是在0.05顯著性水平下檢驗(yàn)正態(tài)分布的樣本是否具有均值m和標(biāo)準(zhǔn)差sigma. h=ztest(x,m,sigma,alpha)則可由您確定顯著性水平alpha值,并返回檢驗(yàn)結(jié)果h。

35、 Sig、ci與ttest函數(shù)中相應(yīng)的意義相同。,38,5.5.1函數(shù)ztest舉例,例： x=normrnd(0,1,100,1); m=mean(x); m=0.0727 [h,sig,ci]=ztest(x,0,1); h= 0 sig= 0.4669 ci=

36、 -0.1232 0.2687,39,六 統(tǒng)計(jì)繪圖,概述統(tǒng)計(jì)工具箱在Matlab豐富的繪圖功能上又添加了圖形表現(xiàn)函數(shù)，box圖用于展現(xiàn)樣本及其統(tǒng)計(jì)量的內(nèi)在規(guī)律，也用于通過圖形來(lái)比較多個(gè)樣本的均值。正態(tài)概率圖是確定樣本是否為正態(tài)分布的圖形。分位數(shù)-分位數(shù)圖用于比較兩個(gè)樣本的分布。,40,6.1 Box圖,--boxplot功能：數(shù)據(jù)樣本的box圖。格式：boxplot(X)

37、 boxplot(X,notch,’sym’,vert,whis) 舉例：x1=normrnd(5,1,100,1); x2=normrnd(6,1,100,1); x=[x1 x2]; boxplot(x,1),41,6.2誤差條圖,---errorbar功能：誤差條圖。格式：errorbar(X,Y,L,U,symb

38、ol)舉例：lambda=(0.1:0.2:0.5); r=poissrnd(lambda(ones(50,1),:）); [p,pci]=poissfit(r,0.001); L=p-pci(1,: ) U=pci(2,: )-p errorbar(1:3,p,L,U,’+’),42,還有其他函

39、數(shù)：1: fsurfht 畫交互輪廓圖2: gline 繪制交互3:gname 用實(shí)例名稱或?qū)嵗?hào)來(lái)標(biāo)記圖中的點(diǎn)4: lsline 繪制數(shù)據(jù)的最小二乘擬合線5: normplot 圖形化正態(tài)檢驗(yàn)的正態(tài)概率圖6: pareto 帕累托圖7: qqplot 兩個(gè)樣本的分位數(shù)-分位數(shù)圖8 :rcoplot 回歸殘差圖9: refcurve 在當(dāng)前圖形中給出多項(xiàng)式擬合曲線,6.3,43,幾個(gè)統(tǒng)計(jì)繪圖的例子,畫正

40、態(tài)概率圖Normplot(x)畫數(shù)據(jù)的正態(tài)概率圖X=normrnd(0,1,50,1)H=normplot(x);,44,pareto圖,Pareto(y,’names’)defects=['pits ';'cracks';'holes ';'dents '];quantify[5,3,19,25];quantity=[5,3,19,25];,45,用實(shí)例名

41、來(lái)標(biāo)記圖中的點(diǎn),Gname(‘case’)功能：用實(shí)例名來(lái)標(biāo)記圖中的點(diǎn)Load citiesEduation=rating(:,6);arts=ratings(:,7);Plot(eduation,artsk,’+’)Gname(names),46,第四章 最優(yōu)工具箱（Optimization Toolbox Ver 5.0）,優(yōu)化工具箱簡(jiǎn)介 Matlab 的優(yōu)化工具箱提供了對(duì)各種優(yōu)化問題的一

42、個(gè)完整的解決方案，其內(nèi)容涵蓋線性規(guī)劃，二次規(guī)劃，非線性規(guī)劃，最小二成問題，非線性方程求解，多目標(biāo)決策，最小最大問題，以及半無(wú)限問題等的優(yōu)化問題。,一個(gè)簡(jiǎn)單的例子:例一 ,考慮如下優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù):minf(x)x=?x1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)約束方程:x1x2－x1－x2+1.5≤0x1x2≥－10,47,為了求解該優(yōu)化問題，必須先編寫一個(gè)能夠返回函數(shù)值的M文件，將函數(shù)表達(dá)式寫入，然后調(diào)用有約束非線性

43、優(yōu)化函數(shù)constr，由于優(yōu)化函數(shù)要求約束方程具有G(x)≤0的形式，因此必須將約束方程規(guī)范化，進(jìn)行與處理。,規(guī)范化后約束方程變?yōu)閤1x2－x1－x2+1.5≤0－x1x2－10≤0,求解過程第一步：為目標(biāo)函數(shù)及約束方程編寫M文件———fun.mfunction [f,g] = fun(x) f =exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1) ;g(1,1)

44、= 1.5+x(1)*x(2) –x(1) –x(2) ; % 約束g(2,1) = －(1)*x(2) –10 ;第二步：在命令窗口調(diào)用有約束非線性優(yōu)化函數(shù) constrx0 = [-1,1] ; % 設(shè)置初始解向量x = constr (‘fun’, x0)經(jīng)過２９次函數(shù)調(diào)用后，得出如下結(jié)果：x = 9.5474 1.0474極值點(diǎn)處的函數(shù)值和約束條件的值為：[f,g] = fun(x),48,f =0.0236

45、g = 0e –15* .8882 可見，使用Matlab的優(yōu)化工具箱解決優(yōu)化問題簡(jiǎn)潔，明了。用戶應(yīng)該將精力集中于需要解決的問題，而不需要考慮各種算法的具體實(shí)現(xiàn)。,4.2.2 約束方程的規(guī)范化 由于Matlab的優(yōu)化工具箱僅支持形如G(x)≤0的約束方程以及變量的上下界約束。因此，對(duì)于非規(guī)范型的約束方程，必須進(jìn)行變換。將其變 換為形如 –g(x)≤0 對(duì)于

46、等式約束，Matlab 要求必須將等式約束方程置于約束變量g 的前幾個(gè)元素中，并在優(yōu)化參數(shù)設(shè)置選項(xiàng) options 相兩種設(shè)置 options(13) 為等式約束方程的個(gè)數(shù)。 以例一的優(yōu)化問題為例，加入一個(gè)等式約束: x1+x2 = 1 將其改為規(guī)范等式約束: x1+x2 – 1= 0

47、 并在第二步中加入: options(13) = 1 ; %有一個(gè)等式約束 對(duì)于上下界約，Matlab 通過優(yōu)化函數(shù)的有界語(yǔ)法調(diào)用來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如， 對(duì)于 constr函數(shù)，其有界語(yǔ)法調(diào)用格式為: x = constr ( ‘fun’, x0 , options , vlb , vub ) ; 該調(diào)用將x 限制在 vlb≤x≤vub

48、,49,4.2.3 參數(shù)設(shè)置與附加參數(shù)傳遞優(yōu)化問題求解時(shí)常常要對(duì)相對(duì)誤差，使用算法等進(jìn)行設(shè)置，Matlab 提供了 options 向量來(lái)對(duì)優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。如果沒有使用 options 向量或者 options 向量唯為空向量， 則回自動(dòng)生成一個(gè) options 向量并使用一組缺省值。如果要對(duì) options 向量中的某些元素重新賦值，則可首先通過 foptions 函數(shù)來(lái)產(chǎn)生一個(gè) options 向量，然后對(duì)有需要的元素賦值，

49、其他仍然為空缺值。,foptions 功能：設(shè)置優(yōu)化參數(shù)， 顯示參數(shù)值 格式： help foptions options = foptions需要注意的是，附加參數(shù)不能超過 10 個(gè)。,4.2.4 表達(dá)式優(yōu)化直接對(duì)由表達(dá)式描述的簡(jiǎn)單函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化注意，當(dāng)書寫這種表達(dá)式時(shí)，自變量必須以小寫字母 x 表示。例3 表達(dá)式優(yōu)化的例子:x = fminu (‘sin(x)’ , 1) % 求sin(

50、x)的最小值，初始值為1x = fxolve (‘x*x*x –[1,2;3,4]’ , ones(2,2)) % 矩陣方程求解x = leastsq ( ‘x*x –[3 5; 9 10]’ , eye(2,2)) % 最小方差問題,50,4.3 線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù): minc1x1+c2x2+…cnxn 約束 : a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

51、 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 … am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xi≥0, i = 1,2, …n,注意，所有的決策變量xi 均假定為非負(fù)，否則可用 x’i –x’’i 取代它，x’i>0，x’’i>0,

52、如果有不等式約束，則對(duì)含≤的約束，在左邊加上一個(gè)非負(fù)變量使其成為等式約束；對(duì)含≥的約束，在左邊減去一個(gè)非負(fù)變量使其成為等式約束。,4.3.2 lp函數(shù)lp 功能 ：求解線性規(guī)劃問題 格式 ：x = lp(c,A,b) x = lp(c,A,b,vlb) x = lp(c,A,b,vlb,vub) % 設(shè)置解向量的上下界 x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0) % 設(shè)

53、置初始解向量 x0 x = lp(c,A,b,vlb,vub,x0,neqcstr) % 設(shè)置在約束中的等式約束的個(gè)數(shù) [x,lambda,how] = lp (c,A,b,…) % 同時(shí)返回拉格朗日乘子,51,例子 求下面線性規(guī)劃問題：目標(biāo)函數(shù) ：f(x) = –5x1 –4x2 –6x3 約束方程 ：x1-x2+x3≤20 3x1+2x2+4x3≤42

54、 3x1+2x2≤30 0≤x1, 0≤x2, 0≤x3,第一步：輸入系數(shù) c = [ -4,-5,-6 ] a = [ 1 –1 1 3 2 4 3 2 0 ]; b = [ 20 ; 42 ; 30 ] ;第二步 ：求解[ x, lambda ] = lp ( c, a

55、, b, zeros (3,1))解為：x = 0 15.0000 3.000lambda = 0 1.5000 0.5000 1.0000 0 0,A 為約束方程系數(shù)矩陣 c 為目標(biāo)方程系數(shù) b 為約束方程系數(shù)向量,52,例子： 求無(wú)約束非線性問題f(x) = 100 ( x2 –x12 )2 + (1 –x1)2初始解向量： x=[ -1.2 1 ]第一步：編寫Ｍ文件function f = f

56、un(x)f = 100*(x(2) –x(1)^2)^2+(1 –x(1)^2;第二步：求解x = [ -1.2 , 1 ]x = fminu (‘fun’, x) x = 1.0000 1.0000 fun(x) = 8.8348e-11,4.4 非線性規(guī)劃4.4.1 無(wú)約束規(guī)劃fminu, fmins 功能 ： 求解無(wú)約束非線性最優(yōu)化問題 格式 ： x = fminu ( ‘fun’ , x0)

57、 % 求函數(shù)fun的最小值，并設(shè)置初始值向量為x0 x = fminu ( ‘fun’ , x0, options) % 可選參數(shù)在options向量中設(shè)置 x = fminu ( ‘fun’ , x0, options, ‘grad’) x = fminu ( ‘fun’ , x0, options, ‘grad’ , p1, p2, …)

58、 [ x, options ] = fminu ( ‘fun’, x0, …) […] = fmins ( ‘fun’, x0, … ) options(2)控制x的精度 options(3)控制目標(biāo)函數(shù)f的精度,,53,fmins 線性搜索算法的控制:

59、缺省 options(7)=0，使用一種二次和三次多項(xiàng)式插值的混合算法 options(7)=1時(shí)，使用三次多項(xiàng)式插值算法。目標(biāo)函數(shù)大于２階，一般用fminu函數(shù)；但對(duì)于非常不連續(xù)的函數(shù)則用fmuns函數(shù),4.4.2二次規(guī)劃4.4.3有約束規(guī)劃 fmin函數(shù) ― 標(biāo)量最優(yōu)求解標(biāo)量最優(yōu)問題的一般描述: 目標(biāo)函數(shù)： mina f(a) 區(qū)域約束單變量問題: 目標(biāo)函數(shù)：minaf(a) 約束條件

60、：a1<a< a2,,fminu函數(shù)優(yōu)化算法的控制：缺省options(6)=0 時(shí)，用擬牛頓方法 options(6) = 1 時(shí)，用DFP公式來(lái)逼近Hessian矩陣options(6) = 2 時(shí)，用最速下降法,54,例子 ：求下面標(biāo)量函數(shù)在(0,5)區(qū)間的最小值 目標(biāo)函數(shù)：f = (a-3)2 –1 第一步： 編寫M函數(shù)

61、 function f = fun(a) f = (a-3)^2 –1 ; 第二步： 求解 a = fmin (‘fun’, 0,5) a = 3 The value at the minimum is Y= f(a) Y = 1,fmin 功能：

62、 求解區(qū)域約束單變量問題。 格式：a = fmin( ‘fun’, a1, a2 ) a = fmin( ‘fun’, a1, a2, options ) a = fmin( ‘fun’, a1, a2, options, p1, p2,….) [ a, opt

63、ions ] = fmin( ‘function’, a1, a2,…) 說明： options(2) 控制x的精度 options(14)控制函數(shù)的計(jì)算次數(shù),55,constr 功能 ：多變量非線性約束最優(yōu)問題求解 格式 ：x =constr ( ‘fun’, x0 ) % 求解非線性約束最優(yōu)化問題，初始向量為x0 x

64、 =constr ( ‘fun’, x0, options ) x =constr ( ‘fun’, x0, options, vlb, vub, ‘grad’, ) % 設(shè)置解向量上下界 x =constr ( ‘fun’, x0, options, vlb, vub, ‘grad’, p1, p2, …) [ x,

65、 options ] = constr (‘fun’. X0, …) [ x, options, lambda ] = constr (‘fun’, x0, …) [ x, options, lambda, hess ] = constr (‘fun’, x0, …) options(4)控制對(duì)約束的

66、越限程度,,3 constr函數(shù)多變量非線性約束最優(yōu)化問題的一般描述目標(biāo)函數(shù)： minx f(x)約束條件： G(x)≤0,56,目標(biāo)函數(shù)：f(x) = -x1*x2*x3約束條件：-x1 –2x2 –2x3≤0; x1+2x2+2x3≤72初始解向量：x = [ 10 10 10 ]第一步：編寫M文件function [ f , g ] = fun(x)f = -x(1)*x(2)*x(3) ;g(1) = -x(

67、1) –2*x(2) –2*x(3) ;g(2) = x(1) + 2*x(2) + 2*x(3) –72 ;第二步：求解x0 = [ 10, 10, 10 ] ;x = constr ( ‘fun’, x0 )經(jīng)過４９次運(yùn)算后，結(jié)果為x = 24.0000 12.0000 12.0000[ f, g ] = fun(x)f = 3.4560e+03g = 72 0,例子,57,4.5最小最大（minmax

68、)問題一般描述：目標(biāo)函數(shù)：約束條件： G(x)≤0,minimax 功能：求解最小最大問題 格式：x = minimax( ‘fun’,x0) % 求解最小最大問題，初始解向量為x0 x = minimax( ‘fun’,x0 , options) x = minimax( ‘fun’,x0