07-概率統(tǒng)計(jì)-假設(shè)檢驗(yàn)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),第七章 假設(shè)檢驗(yàn),主要內(nèi)容,假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)*多個(gè)正態(tài)總體均值的比較——單因素方差分析*?2擬合優(yōu)度檢驗(yàn),§7.1 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念,一、統(tǒng)計(jì)假設(shè)與統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn),統(tǒng)計(jì)假設(shè)：通過(guò)實(shí)際觀察或理論分析對(duì)總體分布形式或?qū)傮w分布形式中的某些參數(shù)作出某種假設(shè)。同一問(wèn)題中的統(tǒng)計(jì)假設(shè)有兩個(gè)：原假設(shè)和備擇假設(shè),統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)：根據(jù)問(wèn)題的要求提出假設(shè)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，按照樣本提供的信息，以及

2、一定的規(guī)則，在原假設(shè)和備擇假設(shè)之間作出接受哪一個(gè)的合理判斷。,基本原則——小概率事件在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。,引例：已知某班《概率統(tǒng)計(jì)》的期末考試成績(jī)服從正態(tài)分布。根據(jù)平時(shí)的學(xué)習(xí)情況及試卷的難易程度，估計(jì)平均成績(jī)?yōu)?5分，考試后隨機(jī)抽樣5位同學(xué)的試卷，得平均成績(jī)?yōu)?2分，試問(wèn)所估計(jì)的75分是否正確？,“全班平均成績(jī)是75分”，這就是一個(gè)假設(shè),根據(jù)樣本均值為72分，和已有的定理結(jié)論，對(duì)EX=75是否正確作出判斷，這就是檢驗(yàn)，對(duì)

3、總體均值的檢驗(yàn)。,判斷結(jié)果：接受原假設(shè)，或拒絕原假設(shè)。,表達(dá)：原假設(shè)：H0：EX=75；備擇假設(shè)： H1：EX≠75,,雙側(cè)檢驗(yàn)與單側(cè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)與非參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè)：可以用有限個(gè)參數(shù)假設(shè)來(lái)的假設(shè)非參數(shù)假設(shè)：不用參數(shù)假設(shè)，如例7.3簡(jiǎn)單假設(shè)與復(fù)合假設(shè)簡(jiǎn)單假設(shè)：一個(gè)假設(shè)只指定參數(shù)空間的一個(gè)點(diǎn)復(fù)合假設(shè)：指定多個(gè)點(diǎn),引例問(wèn)題,原假設(shè) H0：EX=75；H1：EX≠75,假定原假設(shè)正確，則X~N（75，?2），于是T統(tǒng)計(jì)量,可得

4、,如果樣本的觀測(cè)值,則拒絕H0,,檢驗(yàn)水平,,臨界值,,拒絕域,,二、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和拒絕域,檢驗(yàn)法則：規(guī)則能告訴我們，在有了樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)提供的信息后，是接受還是拒絕原假設(shè)。,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：可以把樣本中包含的我們所關(guān)心的未知參數(shù)的信息最大限度地集中起來(lái)，當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，其精確分布或極限分布應(yīng)已知或部分已知，且它取值的大小可以反映對(duì)原假設(shè)有利或不利的傾向。,臨界值：一個(gè)適當(dāng)?shù)慕缦蓿员阕鞒鼍芙^或接受原假設(shè)拒絕域：接受域：,三、兩類錯(cuò)誤和顯著

5、性水平,第一類錯(cuò)誤（拒真錯(cuò)誤）——原假設(shè)H0為真，而檢驗(yàn)結(jié)果為拒絕H0；記其概率為?，即 P{拒絕H0|H0為真}= ?,第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）——原假設(shè)H0不符合實(shí)際，而檢驗(yàn)結(jié)果為接受H0；記其概率為?，即 P{接受H0|H0不真}= ?,希望：犯兩類錯(cuò)誤的概率越小越好，但樣本容量一定 的前提下，不可能同時(shí)降低?和?。,奈曼和皮爾遜提出

6、的原則：保護(hù)原假設(shè)，即限制?的前提下，使?盡可能的小。,注意：“接受H0”，并不意味著H0一定為真；“拒絕H0” 也不意味著H0一定不真。,三、兩類錯(cuò)誤和顯著性水平,為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，實(shí)際進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，著重對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制，再適當(dāng)考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率大小。這樣的檢驗(yàn)稱為顯著性檢驗(yàn)。在檢驗(yàn)一個(gè)給定假設(shè)時(shí)，允許犯第一類錯(cuò)誤的最大概率稱為檢驗(yàn)的顯著性水平，記為? 即：P{

7、拒絕H0|H0為真}=(?) ?,基本思想——小概率原理,參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)：已知總體的分布類型，對(duì)分布函數(shù)或密度函數(shù)中的某些參數(shù)提出假設(shè)，并檢驗(yàn)。,基本原則——小概率事件在一次試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。,思想：如果原假設(shè)成立，那么某個(gè)分布已知的統(tǒng)計(jì)量在某個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的概率?應(yīng)該較小，如果樣本的觀測(cè)數(shù)值落在這個(gè)小概率區(qū)域內(nèi)，則原假設(shè)不正確，所以，拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。,假設(shè)檢驗(yàn)的推理用到概率性質(zhì)的反證法：先假設(shè)H0正確，看由此可

8、以推出什么結(jié)果。如果樣本觀測(cè)值導(dǎo)致了一個(gè)不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則有理由否定原假設(shè)H0，而接受備擇假設(shè)H1；否則，只能將原假設(shè)H0當(dāng)做真的保留下來(lái)。應(yīng)從統(tǒng)計(jì)意義上理解假設(shè)檢驗(yàn)得出的結(jié)論：如果檢驗(yàn)的結(jié)果是接受原假設(shè)H0，并不意味著原假設(shè)H0一定是真的，只是我們尚無(wú)充分的統(tǒng)計(jì)證據(jù)去拒絕原假設(shè)H0；如果得出的結(jié)論拒絕原假設(shè)H0，也并不意味著H0一定不真，只是現(xiàn)有的樣本數(shù)據(jù)沒(méi)有支持H0成立，故有理由拒絕H0。,四、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟,1. 提

9、出原假設(shè)，確定備擇假設(shè)；,2. 選取或構(gòu)造分布已知的合適的統(tǒng)計(jì)量；,3. 由給定的檢驗(yàn)水平?，求出在H0成立的條件下的 臨界值（上側(cè)?分位數(shù)，或雙側(cè)?分位數(shù)）；,4. 根據(jù)樣本的觀測(cè)值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值。,5. 作出拒絕或接受原假設(shè)的統(tǒng)計(jì)判斷：如果落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)，否則，接受原假設(shè)。,§7.2 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),方差已知，關(guān)于均值的假設(shè)檢驗(yàn)——U檢驗(yàn),問(wèn)題：總體X~N（?，?2），?2已知,

10、一、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),假設(shè) H0：?=?0；H1：?≠?0,構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量,由,雙邊檢驗(yàn),如果統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定拒絕域,H0為真的前提下,例1 由經(jīng)驗(yàn)知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個(gè)零件，測(cè)得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計(jì)推斷，平均重量是否仍為15克？（?=0.

11、05）,解 由題意可知：零件重量X~N（?，?2），且技術(shù) 革新前后的方差不變?2=0.052，要求對(duì)均值進(jìn)行 檢驗(yàn)，采用U檢驗(yàn)法。,假設(shè) H0：?=15； H1： ?≠15,構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量，得U的0.05雙側(cè)分位數(shù)為,例1 由經(jīng)驗(yàn)知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個(gè)零件，測(cè)得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14

12、.6，已知方差不變，試統(tǒng)計(jì)推斷，平均重量是否仍為15克？（?=0.05）,解,因?yàn)?.9>1.96 ，即觀測(cè)值落在拒絕域內(nèi),所以拒絕原假設(shè)。,而樣本均值為,故U統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為,H0：?=?0；H1：???0,H0：?=?0；H1：???0,或,單 邊 檢 驗(yàn),拒絕域?yàn)?拒絕域?yàn)?例2 由經(jīng)驗(yàn)知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個(gè)零件，測(cè)得重量為（單位：克）14.7 15.1 1

13、4.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計(jì)推斷，技術(shù)革新后，零件的平均重量是否降低？（?=0.05）,解 由題意可知：零件重量X~N（?，?2），且技術(shù) 革新前后的方差不變?2=0.052，要求對(duì)均值進(jìn)行 檢驗(yàn)，采用U檢驗(yàn)法。,假設(shè) H0：?=15； H1： ??15,構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量，得U的0.05上側(cè)分位數(shù)為,單側(cè)檢驗(yàn),因?yàn)?，即

14、觀測(cè)值落在拒絕域內(nèi),所以拒絕原假設(shè)，即可認(rèn)為平均重量是降低了。,而樣本均值為,故U統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為,例2 由經(jīng)驗(yàn)知某零件的重量X~N（?，?2），?=15，?=0.05；技術(shù)革新后，抽出6個(gè)零件，測(cè)得重量為（單位：克）14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6，已知方差不變，試統(tǒng)計(jì)推斷，技術(shù)革新后，零件的平均重量是否降低？（?=0.05）,解,表7.1 方差已知時(shí)單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)法則（U檢驗(yàn)法）

15、,單個(gè)正態(tài)總體方差未知的均值檢驗(yàn)——T檢驗(yàn),問(wèn)題：總體X~N（?，?2），?2未知,假設(shè) H0：?=?0；H1：?≠?0,構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量,由,雙邊檢驗(yàn),如果統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定拒絕域,例3 化工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝化肥，每包重量服從正態(tài)分布，額定重量為100公斤。某日開(kāi)工后，為了確定包裝機(jī)這天的工作是否正常，隨機(jī)抽取9袋化肥，稱得平均重量為99.978，均方差為1.212，能否認(rèn)為這天的包裝機(jī)

16、工作正常？（?=0.1）,解 由題意可知：化肥重量X~N（?，?2），?0=100 方差未知，要求對(duì)均值進(jìn)行檢驗(yàn)，采用T檢驗(yàn)法。,假設(shè) H0：?=100； H1： ?≠100,構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量，得T的0.1雙側(cè)分位數(shù)為,解,因?yàn)?.0545<1.86 ，即觀測(cè)值落在接受域內(nèi),所以接受原假設(shè)，即可認(rèn)為這天的包裝機(jī)工作正常。,而樣本均值、均方差為,故T統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為,例3 化工廠用自動(dòng)包裝機(jī)包裝化肥，每包重量服從正

17、態(tài)分布，額定重量為100公斤。某日開(kāi)工后，為了確定包裝機(jī)這天的工作是否正常，隨機(jī)抽取9袋化肥，稱得平均重量為99.978，均方差為1.212，能否認(rèn)為這天的包裝機(jī)工作正常？（?=0.1）,H0：?=?0；H1：???0,H0：?=?0；H1：???0,或,單邊檢驗(yàn),拒絕域?yàn)?拒絕域?yàn)?表7.2 方差未知時(shí)單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)法則（T檢驗(yàn)法）,一個(gè)正態(tài)總體均值未知的方差檢驗(yàn)——?2檢驗(yàn),問(wèn)題：設(shè)總體X~N（?，?2），?未知

18、,構(gòu)造?2統(tǒng)計(jì)量,由,如果統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定臨界值,或,假設(shè),,,雙邊檢驗(yàn),表7.3 均值未知時(shí)單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)法則（?2檢驗(yàn)法）,單個(gè)正態(tài)總體均值已知的方差檢驗(yàn)——?2檢驗(yàn),問(wèn)題：總體X~N（?，?2），?已知,構(gòu)造?2統(tǒng)計(jì)量,由,如果統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值,則拒絕原假設(shè)；否則接受原假設(shè),確定臨界值,或,假設(shè),,,拒絕域,表7.4 均值已知時(shí)單個(gè)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)法則（?2檢驗(yàn)法）,例4 某煉鐵廠

19、的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對(duì)工藝進(jìn)行了某些改進(jìn)，從中抽取5爐鐵水測(cè)得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082（?=0.05）？,解 這是一個(gè)均值未知，正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)， 用?2檢驗(yàn)法,由?=0.05，得臨界值,假設(shè),例4 某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對(duì)工藝進(jìn)行了某些改進(jìn)，從中抽取5爐

20、鐵水測(cè)得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為0.1082（?=0.05）？,解,?2統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為17.8543,因?yàn)?所以拒絕原假設(shè),即可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差不是0.1082,問(wèn)題的提出：有時(shí)，我們需要比較兩總體的參數(shù)是否存在顯著差異。比如，兩個(gè)農(nóng)作物品種的產(chǎn)量，兩種電子元件的使用壽命，兩種加工工藝對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量的影響，兩地區(qū)的氣候差異等

21、等。,二、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),已知 ，檢驗(yàn)H0：,1. 方差已知，檢驗(yàn)均值相等 （即檢驗(yàn)均值差）,問(wèn)題：,則,所以，,從而，當(dāng)H0成立時(shí)，,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 得H0的拒絕域：,兩個(gè)正態(tài)總體的均值檢驗(yàn) ——U檢驗(yàn)法,已知 ，檢驗(yàn)H0：,1. 方差已知，檢驗(yàn)均值相等,問(wèn)題：,表7.5 方差已知時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)法則（U檢驗(yàn)法）,解 假設(shè)：,因?yàn)椋?/p>

22、,所以接受H0假設(shè)，即認(rèn)為 A、B兩法的平均產(chǎn)量無(wú)統(tǒng)計(jì)意義。,例 據(jù)以往資料，已知某品種小麥每4平方米產(chǎn)量（千克）的 方差為 。今在一塊地上用A，B 兩法試驗(yàn)，A 法設(shè)12個(gè)樣本點(diǎn)，得平均產(chǎn)量 ；B 法設(shè)8個(gè)樣本點(diǎn)，得平均產(chǎn)量 ，試比較A、B兩法的平均產(chǎn)量是否有統(tǒng)計(jì)意義。,兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的均值檢驗(yàn),2. 方差未知，但兩個(gè)總體的方差相等，檢

23、驗(yàn)均值相等,問(wèn)題：,未知 ，但知 ，檢驗(yàn)H0：,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平 得H0的拒絕域：,若 H0 成立，則,兩個(gè)正態(tài)總體的均值檢驗(yàn) ——T檢驗(yàn)法,2. 方差未知，但兩個(gè)總體的方差相等，檢驗(yàn)均值相等,,具體的檢驗(yàn)法則見(jiàn)P189，表7.6例7.7 （P189）,解 假設(shè)：,所以拒絕H0假設(shè)，即認(rèn)為 A、B兩種燈泡的平均壽命有統(tǒng)計(jì)意義。,例2 有兩種燈泡，一種用

24、 A 型燈絲，另一種用 B 型燈絲。隨機(jī) 抽取兩種燈泡各10 只做試驗(yàn)，測(cè)得它們的壽命（小時(shí)）為：A 型：1293 1380 1614 1497 1340 1643 1466 1677 1387 1711B 型：1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1028 1119 設(shè)兩種燈泡的壽命均服從正態(tài)分布且方差相等，試檢驗(yàn)兩種

25、 燈泡的平均壽命之間是否存在顯著差異？,方法一：大樣本方法——近似U檢驗(yàn)法；方法二：成對(duì)數(shù)據(jù)的比較——T檢驗(yàn)法,兩個(gè)正態(tài)總體的均值檢驗(yàn) ——T檢驗(yàn)法,3. 方差未知，且兩總體的方差不等，檢驗(yàn)均值相等,方法三：兩獨(dú)立的小樣本——近似T檢驗(yàn)法；,兩個(gè)正態(tài)總體的均值檢驗(yàn) ——T檢驗(yàn)法,3. 方差未知，且兩總體的方差不等，檢驗(yàn)均值相等,未知 ，檢驗(yàn)假設(shè)H0：,若假設(shè)H0成立，則,對(duì)給定的檢驗(yàn)水平

26、 得H0的拒絕域：,及,兩個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)——F檢驗(yàn),問(wèn)題：,由于,例3 測(cè)得兩批電子器材的樣本的電阻為：（單位：?）第一批：0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140設(shè)這兩批器材的電阻均服從正態(tài)分布，試檢驗(yàn)H0：,解 這是一個(gè)兩正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，用F檢驗(yàn)法,由

27、樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)得,假設(shè),所以,而,所以，接受原假設(shè)，即可認(rèn)為兩批電子器材的方差相等,例4 對(duì)甲、乙兩種玉米進(jìn)行評(píng)比試驗(yàn)，得如下產(chǎn)量資料： 甲：951 966 1008 1082 983 乙：730 864 742 774 990 問(wèn)這兩種玉米的產(chǎn)量差異有沒(méi)有統(tǒng)計(jì)意義？,解 先對(duì)方差作檢驗(yàn)：,因?yàn)?所以可認(rèn)為甲、乙兩種玉米的方差沒(méi)有顯著差異即可認(rèn)為,例4 對(duì)甲、乙兩