離散數(shù)學(xué)第7章

1、第四篇圖論,圖論是近年來發(fā)展迅速而又應(yīng)用廣泛的一門新興學(xué)科。它最早起源于一些數(shù)學(xué)游戲的難題研究，如1736年歐拉（L.Euler)所解決的哥尼斯堡七橋問題。以及在民間廣為流傳的一些游戲問題：例如　迷宮問題、棋盤上馬的行走路線問題等等。這些古老的問題當(dāng)時(shí)吸引了許多學(xué)者的注意，從而在這些問題研究的基礎(chǔ)上，又提出了著名的四色猜想和環(huán)游世界各國的問題。,例：用定理解決哥尼斯堡橋的問題,第四篇 圖論,圖論不斷發(fā)展，它在解決運(yùn)籌學(xué)，網(wǎng)絡(luò)理論，

2、信息論，控制論，博奕論以及計(jì)算機(jī)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域的問題時(shí)，顯示出越來越大的效果。 對(duì)于這樣一門應(yīng)用廣泛的學(xué)科，其包含的內(nèi)容是豐富的，本篇我們只準(zhǔn)備介紹基本的概念和定理，為今后有關(guān)學(xué)科及課程的學(xué)習(xí)和研究提供方便。,WWW,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的事例——技術(shù)網(wǎng)絡(luò),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的事例——社會(huì)網(wǎng)絡(luò),朋友關(guān)系網(wǎng),科學(xué)引文網(wǎng),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的事例——交通運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的事例——生物網(wǎng)絡(luò),Santa Fe 研究所的科學(xué)家合作網(wǎng),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的事例——科學(xué)家合作網(wǎng),經(jīng)濟(jì)

3、物理學(xué)科學(xué)家合作網(wǎng),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的事例——科學(xué)家合作網(wǎng),復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的事例——中藥方劑網(wǎng)示意圖,點(diǎn)（藥材）， 邊（藥材之間相互作用）， 局域世界（方劑）,§1 圖的基本概念,定義: 圖（graph）G由一個(gè)三元組表示，其中： 非空集合V(G)={v1,v2,…,vr} 稱為圖G的結(jié)點(diǎn)集，其成員vi(i=1,2,…,r)稱為結(jié)點(diǎn)或頂點(diǎn)（nodes or vertices）；集合 E(G)={e1,e2,…,

4、es} 稱為圖G的邊集，其成員ej(j=1,2,…s)稱為邊(edges)。函數(shù)?G ：E(G)→(V(G),V(G)) ，稱為邊與頂點(diǎn)的關(guān)聯(lián)映射（associatve mapping）,§1 圖的基本概念,例：G=其中V(G)={a，b，c，d}，E(G)={e1，e2，e3，e4，e5，e6}，?G(e1)=(a，b)，?G(e2)=(a，c)，?G(e3)=(b，d)，?G(e4)=(b，c)，?G(e5)=(

5、d，c)，?G(e6)=(a，d),§1 圖的基本概念,討論定義： (1)V(G) ={V1，V2，…，Vn}為有限非空集合, Vi稱為結(jié)點(diǎn),簡(jiǎn)稱V是點(diǎn)集。 (2)E(G)={e1，…，em}為有限的邊集合,ei稱邊， 每個(gè)ei都有V中的結(jié)點(diǎn)對(duì)與之相對(duì)應(yīng),稱E為邊集。 即每條邊是連結(jié)V中的某兩個(gè)點(diǎn)的。,§1圖的基本概念,(3) 若Ｇ中每一條邊e與有序偶對(duì)或無序偶對(duì)(vi,vj)相關(guān)

6、聯(lián)，則可說邊e連接結(jié)點(diǎn)vi和vj(4) 可用e＝或e＝ (vi,vj)，以結(jié)點(diǎn)來表示圖的邊，這樣可把圖簡(jiǎn)化成：Ｇ＝。 例：有圖如下，試寫成定義表達(dá)式Ｇ＝〈Ｖ，Ｅ〉，其中Ｖ＝{v1,v2,v3,v4,v5} Ｅ＝{x1,x2,x3,x4,x5,x6},§1圖的基本概念,例：對(duì)有向圖可表示為：Ｇ＝〈Ｖ、Ｅ〉，其中Ｖ＝｛a、b、c、d｝Ｅ＝｛,,,,,｝,§1圖的基本概念,下面定義一些專門名詞：(1)有向

7、邊：若邊ej與結(jié)點(diǎn)序偶關(guān)聯(lián)，那么稱該邊為有向邊。(2)無向邊：若邊ej與結(jié)點(diǎn)無序偶(vj,vk)關(guān)聯(lián)，那么稱該邊為無向邊。,§1圖的基本概念,(3)鄰接結(jié)點(diǎn)：由一條邊（有向或無向）連接起來的結(jié)點(diǎn)偶對(duì)。 (4)（ｎ，ｅ）圖：具有ｎ個(gè)結(jié)點(diǎn)（頂點(diǎn)），ｅ條邊的圖。,§1圖的基本概念,(5)有向圖：在Ｇ中每一條邊均為有向邊。(6)無向圖：每條邊均為無向邊的圖。(7)混合圖：有些邊是無向邊，有些邊是有向邊的圖稱為混合圖

8、。,§1圖的基本概念,§1圖的基本概念,(8)點(diǎn)和邊的關(guān)聯(lián)：如ei=(u，v)或ei=稱u，v與ei關(guān)聯(lián)。(9)點(diǎn)與點(diǎn)的相鄰：關(guān)聯(lián)于同一條邊的結(jié)點(diǎn)稱為鄰接點(diǎn)。(10)邊與邊的鄰接：關(guān)聯(lián)于同一結(jié)點(diǎn)的邊稱為鄰接邊。,§1圖的基本概念,(11)孤立結(jié)點(diǎn)：不與任何結(jié)點(diǎn)相鄰接的結(jié)點(diǎn)稱為孤立結(jié)點(diǎn)。(12)零圖：僅有孤立結(jié)點(diǎn)的圖。(13)平凡圖：僅有一個(gè)孤立結(jié)點(diǎn)的圖。(14)自回路(環(huán))：關(guān)聯(lián)于同一結(jié)點(diǎn)的邊稱為

9、自回路，或稱為環(huán)。,§1圖的基本概念,(15) 平行邊：在有向圖中，始點(diǎn)和終點(diǎn)均相同的邊稱為平行邊，無向圖中若兩點(diǎn)間有多條邊，稱這些邊為平行邊，兩點(diǎn)間平行邊的條數(shù)稱為邊的重?cái)?shù)。,定義：在圖G=，v?V，與結(jié)點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊數(shù)稱為該點(diǎn)的度數(shù)，記為deg(v)。 孤立結(jié)點(diǎn)的度數(shù)為0。 圖G最大度記為?(G)=max{deg(v)|v?V(G)}， 最小度數(shù)記為 ?(G)=min{deg(v)|v?V(G)},

10、7;1圖的基本概念,定義：在有向圖中，v?V，以v為始點(diǎn)的邊數(shù)稱為該結(jié)點(diǎn)的出度，記作deg+(v);以v為終點(diǎn)的邊數(shù)稱為該結(jié)點(diǎn)的入度，記作deg-(v)。顯然有? deg(v)=deg+(v)+deg-(v),如：G1是無向圖，deg(v1)=3，deg(v2)=1G2是有向圖，deg+(v1)= 2 ，deg-(v1)=3，deg(v1)=5，,定理：每個(gè)圖中，結(jié)點(diǎn)度數(shù)總和等于邊數(shù)的兩倍。即 ?deg(v)=2|E|

11、 v?V,定理：在任何圖中, 度數(shù)為奇數(shù)的結(jié)點(diǎn)必定是偶數(shù)個(gè)。,,定理：在任何有向圖中，所有結(jié)點(diǎn)的入度之和等于所有結(jié)點(diǎn)的出度之和。,,定義：含有平行邊的圖稱為多重圖。,,簡(jiǎn)單圖：不含平行邊和環(huán)的圖稱為簡(jiǎn)單圖。,定義：簡(jiǎn)單圖G=中，若每一對(duì)結(jié)點(diǎn)間均有邊相連，則稱該圖為完全圖。有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的無向完全圖記為Kn。,,定理：在任何圖中, n個(gè)結(jié)點(diǎn)的無向完全圖Kn的邊數(shù)為n(n-1)/2。,無向完全圖：每一條邊都是無向邊

12、 不含有平行邊和環(huán) 每一對(duì)結(jié)點(diǎn)間都有邊相連,,證明： n個(gè)結(jié)點(diǎn)中任取兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的組合數(shù)為 Cn2 = n(n-1)/2故的邊數(shù)為 |E| = n(n-1)/2,,定義：給定一個(gè)簡(jiǎn)單圖G，由G中所有結(jié)點(diǎn)和所有能使G成為完全圖的添加邊組成的圖，稱為G的相對(duì)于完全圖的補(bǔ)圖，或簡(jiǎn)稱為G的補(bǔ)圖，記為

13、?G。即G=，?G=，其中E2={(u，v)?u，v?V，(u，v)?E1}。,,,定義：設(shè)圖G=，如果有圖G’=，且E’?E，V’?V，則稱G’為G的子圖。當(dāng)V’=V時(shí)，則稱G’為G的生成子圖。,,相對(duì)于圖G的補(bǔ)圖定義：設(shè)G’=是G=的子圖，若給定另一個(gè)圖G”=使得E”=E-E’，且V”中僅包含E”的邊所關(guān)聯(lián)的結(jié)點(diǎn)，則稱G”是子圖G’相對(duì)于圖G的補(bǔ)圖。,,定義：設(shè)圖G=及圖G’=，如果存在一一對(duì)應(yīng)的映射g：vi?vi’且e=(v

14、i，vj)(或)是G的一條邊，當(dāng)且僅當(dāng)e’=(g(vi)，g(vj))(或)是G’的一條邊，則稱G與G’同構(gòu)，記作G ≌ G’。,兩圖同構(gòu)的一些必要條件：1.結(jié)點(diǎn)數(shù)目相同；2.邊數(shù)相等；3.度數(shù)相同的結(jié)點(diǎn)數(shù)目相等。,§2 路與回路,定義: 給定圖G=,設(shè) v0,v1,…,vn?V， e1,…,en?E, 其中ei是關(guān)聯(lián)于結(jié)點(diǎn)vi-1,vi的邊，交替序列v0e1v1e2…envn稱為結(jié)點(diǎn)v0到vn的路（擬路徑Pseu

15、do path） 。 v0和vn分別稱為路的起點(diǎn)和終點(diǎn)， 邊的數(shù)目n稱作路的長(zhǎng)度。 當(dāng)v0=vn時(shí)，這條路稱作回路（閉路徑closed walk） 。,,例如路：v1e2v3e3v2e3v3e4v2e6v5e7v3 v5e8v4e5v2e6v5e7v3e4v2 v4e8v5e6v2e1v1e2v3 v2e1v1e2v3e7v5e6

16、v2,§2 路與回路,若一條路中所有的邊e1, …, en均不相同稱作跡（路徑walk） 。 若一條路中所有的結(jié)點(diǎn)v0, v1,…, vn均不相同,稱作通路（Path） 。 閉的通路,即除v0=vn之外，其余結(jié)點(diǎn)均不相同的路，稱作圈（回路circuit） 。,,§2路與回路,定理： 在一個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的圖中，如果從結(jié)點(diǎn)vj到結(jié)點(diǎn)vk存在一條路，則從結(jié)點(diǎn)vj到結(jié)點(diǎn)vk必存在一條不多于n-1

17、條邊的路。,§2路與回路,推論：在一個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的圖中，如果從結(jié)點(diǎn)vj到結(jié)點(diǎn)vk存在一條路，則從結(jié)點(diǎn)vj到結(jié)點(diǎn)vk必存在一條邊數(shù)小于n的通路。,,§2路與回路,定義： 在無向圖G中，如果從結(jié)點(diǎn)u和結(jié)點(diǎn)v之間若存在一條路，則稱結(jié)點(diǎn)u和結(jié)點(diǎn)v是連通的（connected） 。,,§2路與回路,結(jié)點(diǎn)之間的連通性是結(jié)點(diǎn)集V上的等價(jià)關(guān)系。 把子圖G(V1) , G(V2) , …, G(Vm)稱為圖

18、G的連通分支（connected components）,圖G的連通分支數(shù)記為W(G) 。,,§2路與回路,定義：若圖G只有一個(gè)連通分支，則稱G是連通圖。 顯然在連通圖中，任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間必是連通的。,,§2路與回路,對(duì)于連通圖，常常由于刪除了圖中的點(diǎn)或邊，而影響了圖的連通性。 刪除結(jié)點(diǎn)：所謂在圖中刪除結(jié)點(diǎn)v，即是把v以及與v關(guān)聯(lián)的邊都刪除。 刪除邊：所謂在圖中刪除某條邊，即是

19、把該邊刪除。,,§2路與回路,,定義：設(shè)無向圖G =是連通圖,若有結(jié)點(diǎn)集V1?V,使圖G中刪除了V1的所有結(jié)點(diǎn)后,所得到的子圖是不連通圖,而刪除了V1的任何真子集后,所得到的子圖仍是連通圖,則稱V1是G的一個(gè)點(diǎn)割集(cut-set of nodes) 。若某一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)割集，則稱該點(diǎn)為割點(diǎn)。,§2 路與回路,點(diǎn)連通度：為了產(chǎn)生一個(gè)不連通圖需要?jiǎng)h去的點(diǎn)的最少數(shù)目，也稱為連通度,記為k(G) 。 即k(G)=

20、min{|V1|| 是G的點(diǎn)割集} 稱為圖G的點(diǎn)連通度(node-connectivity) 。,,§2 路與回路,(1)若G是平凡圖則k(G)=0(2)k(Kn)=n-1(3)若圖存在割點(diǎn)，則k(G)=1(4)規(guī)定非連通圖的連通度k(G)=0,,§2 路與回路,,點(diǎn)割集V1={v2},§2 路與回路,定義：設(shè)無向圖G =是連通圖,若有邊集E1?E，使圖 G中刪除了E1的所有邊后，所得到

21、的子圖是不連通圖，而刪除了E1的任何真子集后，所得到的子圖仍是連通圖，則稱E1是G的一個(gè)邊割集(cut-set of edges) 。若某一條邊就構(gòu)成一個(gè)邊割集，則稱該邊為割邊或橋。 割邊e使圖G滿足W(G-e)>W(G) 。,§2路與回路,邊連通度(edge-connectivity) ? (G)定義：非平凡圖的邊連通度為 ? (G)=min{ |E1| | E1是G的邊割集} 邊連通度? (G)

22、是為了產(chǎn)生一個(gè)不連通圖需要?jiǎng)h去的邊的最少數(shù)目。,§2路與回路,(1)若G是平凡圖則?(G)=0(2)若G存在割邊，則?(G)=1， (3)規(guī)定非連通圖的邊連通度為?(G)=0,§2路與回路,定理： 對(duì)于任何一個(gè)圖G,有k(G)≤?(G)≤δ(G) 。,δ(G)=min(deg(v)，v?V),§2路與回路,若G不連通，則k(G)=?(G)=0，故上式成立。 若G連通，可分兩步證明上式也成立

23、： 1)先證明?(G)≤?(G)： 如果G是平凡圖，則?(G)=0≤?(G)， 若G是非平凡圖，則因每一結(jié)點(diǎn)的所有關(guān)聯(lián)邊必含一個(gè)邊割集，(因?(G)=min{deg(v)|v?V}，設(shè)u?V使的deg(u)=δ(G)，與u相關(guān)聯(lián)的?條邊必包含一個(gè)邊割集，至少這?條邊刪除使圖不連通。)故?(G)≤?(G)。,§2路與回路,2)再證k(G)≤?(G)：(a)設(shè)?(G)=1，即

24、G有一割邊，顯然這時(shí)k(G)=l，上式成立。,§2 路與回路,(b)設(shè)?(G)≥2，則必可刪去某?(G)條邊，使G不連通，而刪去其中?(G)-1條邊，它仍是連通的，且有一條橋e=(u，v)。對(duì)?(G)-1條邊中的每一條邊都選取一個(gè)不同于u，v的端點(diǎn)，把這些端點(diǎn)刪去則必至少刪去?(G)-1條邊。若這樣產(chǎn)生的圖是不連通的，則k(G)≤?(G)-1<?(G)，若這樣產(chǎn)生的圖是連通的，則e仍是橋，此時(shí)再刪去u或v就必產(chǎn)生一個(gè)

25、不連通圖，故k(G)≤?(G)。由1)和2)得k(G)≤?(G)≤?(G)。,§2路與回路,定理：一個(gè)連通無向圖G的結(jié)點(diǎn)v是割點(diǎn)的充分必要條件是存在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)u和w,使得結(jié)點(diǎn)u和w的每一條路都通過v 。,§2路與回路,1) 先證:v是割點(diǎn)?存在結(jié)點(diǎn)u和w的每條路都通過v 若v是連通圖G=割點(diǎn)，設(shè)刪去v得到的子圖G’ , 則G’至少包含兩個(gè)連通分支G1=和G2= 。任取u?V1，w?V2，因?yàn)镚是連通的，故在G中必

26、有一條連結(jié)u和w的路C，但u和w在G’中屬于兩個(gè)不同的連通分支，故u和w必不連通，因此C必須通過v，故u和w之間的任意一條路都通過v 。,§2路與回路,2)再證:存在結(jié)點(diǎn)u和w的每條路都通過v ?v是割點(diǎn) 若連通圖G中的某兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的每一條路都通過v，則刪去v得到子圖G’ ，在G’中這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)必然不連通，故v是圖G的割點(diǎn)。,§2路與回路,在無向圖G中，從結(jié)點(diǎn)u到v若存在一條路，則稱結(jié)點(diǎn)u到結(jié)點(diǎn)v是可達(dá)的。,

27、67;2路與回路,對(duì)于任何一個(gè)有向圖G=, 從結(jié)點(diǎn)u和到結(jié)點(diǎn)v有一條路,稱為從u可達(dá)v。 可達(dá)性(accesible),是結(jié)點(diǎn)集上的二元關(guān)系，它是自反的和傳遞的，但是一般來說不是對(duì)稱的。故可達(dá)性不是等價(jià)關(guān)系。,§2 路與回路,如果u可達(dá)v，它們之間可能不止一條路，在所有這些路中，最短路的長(zhǎng)度稱為u和v之間的距離（或短程線），記作d，它滿足下列性質(zhì)： d≥0 d =0

28、 d + d ≥ d,§2路與回路,如果從u到v是不可達(dá)的，則通常寫成 d =∞注意：當(dāng)u可達(dá)v，且v也可達(dá)u時(shí)， d 不一定等于d,§2路與回路,有關(guān)距離的概念對(duì)無向圖也適用，把 D=max d, u,v∈V稱作圖的直徑。,§2 路與回路,定義: 在簡(jiǎn)單有向圖G中，任何一對(duì)結(jié)點(diǎn)間，至少有一個(gè)結(jié)點(diǎn)到另一個(gè)結(jié)點(diǎn)是可達(dá)的，則稱這個(gè)圖是單側(cè)連通的 。,§2 路與回路,

29、如果對(duì)于圖G中的任何一對(duì)結(jié)點(diǎn)兩者之間是相互可達(dá)的，則稱這個(gè)圖是強(qiáng)連通的。 如果在圖G中略去邊的方向，將它看成無向圖后，圖是連通的，則稱該圖為弱連通的。 顯然，強(qiáng)連通圖→單側(cè)連通圖→弱連通圖。而逆推均不成立。,§2 路與回路,§2 路與回路,定理：一個(gè)有向圖是強(qiáng)連通的充分必要條件是G有一個(gè)回路，它至少包含每個(gè)結(jié)點(diǎn)一次。,§2 路與回路,證明：充分性：如G中有一條有向回路，經(jīng)過每一點(diǎn)至

30、少一次，則G中任意兩點(diǎn)u，v∈V，u可以沿著該有向回路的一部分的而到達(dá)v，則G是強(qiáng)連通圖。,§2 路與回路,必要性：任取u，v∈V，圖G是強(qiáng)連通圖，則u→v有有向路，v→u也有有向路，則u→v→u構(gòu)成了一個(gè)有向回路，如果該有向回路沒有包含w，而u→w，w→u均有有向路，則u→v→u→w→u又是一個(gè)有向回路，一直下去可以將圖中所有的點(diǎn)均包含進(jìn)去。,§2 路與回路,定義： 在簡(jiǎn)單有向圖中，具有強(qiáng)連通性質(zhì)的最

31、大子圖，稱為強(qiáng)分圖； 具有單側(cè)連通性質(zhì)的最大子圖，稱為單側(cè)分圖； 具有弱連通性質(zhì)的最大子圖，稱為弱分圖。,§2 路與回路,§2 路與回路,定理:在有向圖G=中，它的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)位于且只位于一個(gè)強(qiáng)分圖中。,§3圖的矩陣表示,圖的鄰接矩陣表示方法 定義：設(shè)Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是簡(jiǎn)單有向圖，其中V={v1,v2,…vn}定義一個(gè)nxn的矩陣A，并把其中各元素aij表示成：,,則稱矩陣A為圖G的

32、鄰接矩陣。,§3圖的矩陣表示,例：設(shè)圖Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞如下圖所示 討論定義：（1）圖G的鄰接矩陣中的元素為0和1，∴又稱為布爾矩陣；（2）圖G的鄰接矩陣中的元素的次序是無關(guān)緊要的，只要進(jìn)行行和行、列和列的交換，則可得到相同的矩陣。,§3圖的矩陣表示,∴若有二個(gè)簡(jiǎn)單有向圖，則可得到二個(gè)對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣，若對(duì)某一矩陣進(jìn)行行和行、列和列之間的交換后得到和另一矩陣相同的矩陣，則此二圖同構(gòu)。,,,（3）當(dāng)有向圖中的有向邊

33、表示關(guān)系時(shí)，鄰接矩陣就是關(guān)系矩陣；（4）零圖的鄰接矩陣稱為零矩陣，即矩陣中的所有元素均為0；（5）在圖的鄰接矩陣中， ①行中1的個(gè)數(shù)就是行中相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的引出次數(shù) ②列中1的個(gè)數(shù)就是列中相應(yīng)結(jié)點(diǎn)的引入次數(shù),§3圖的矩陣表示,２．矩陣的計(jì)算：,,,§3圖的矩陣表示,主對(duì)角線上的數(shù)表示結(jié)點(diǎn)i（或j）的引出次數(shù)。,,,主對(duì)角線上的數(shù)表示結(jié)點(diǎn)i（或j）的引入次數(shù)。,§3圖的矩陣表示,,,,,

34、,,,表示i和j之間具有長(zhǎng)度為2的路徑數(shù)， 表示i和j之間具有長(zhǎng)度為3的路徑數(shù)， 表示i和j之間具有長(zhǎng)度為4的路徑數(shù)，,§3圖的矩陣表示,bij表示從結(jié)點(diǎn)vi到vj有長(zhǎng)度分別為1，2，3，4的不同路徑總數(shù)。 此時(shí)， bij?0，表示從vi到vj是可達(dá)的。,,§3圖的矩陣表示,定義：設(shè)Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是簡(jiǎn)單有向圖，其中|V|=ｎ（ ），定義一個(gè) 矩陣P，它的元素為

35、：則P稱為圖G的可達(dá)性矩陣。 由 可計(jì)算出可達(dá)性矩陣，其方法是：若 中（i ,j）是非“0”元素，則對(duì)應(yīng) ，否則 。,,,,,,,,,§3圖的矩陣表示,定義：設(shè)無向圖Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞， 其中 ，則稱B為無向圖G的完全關(guān)聯(lián)矩陣。,,,,,

36、令,,可達(dá)矩陣表明了圖中任意兩結(jié)點(diǎn)間是否至少存在一條路以及在結(jié)點(diǎn)處是否有回路。 從圖G的鄰接矩陣A可以得到可達(dá)矩陣P，即令Bn=A+A2+A3+…+An，再從Bn中非零元素改為1而零元素不變，這種變換后的矩陣即是可達(dá)矩陣P。,§3圖的矩陣表示,例：,討論定義：（1）完全關(guān)聯(lián)矩陣為布爾矩陣；（2）對(duì)應(yīng)B中行均為0的結(jié)點(diǎn)為孤立結(jié)點(diǎn)，只有一個(gè)“1”的行的結(jié)點(diǎn)一定為懸掛的邊，且一定不在任一循環(huán)中全部為1的行的結(jié)點(diǎn)

37、必定聯(lián)結(jié)圖中所有的結(jié)點(diǎn)。,3) 每一條邊關(guān)聯(lián)兩個(gè)結(jié)點(diǎn),故每一列中只有兩個(gè)1。 4) 每一行中元素之和等于該行對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)的度數(shù)。 5) 兩個(gè)平行邊其對(duì)應(yīng)的兩列相同。 6) 同一個(gè)圖當(dāng)結(jié)點(diǎn)或邊的編號(hào)不同時(shí)，其對(duì)應(yīng)的矩陣只有行序列序的差別。,有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣,有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣的特點(diǎn)： (1)每一列中有一個(gè)1和一個(gè)-1，對(duì)應(yīng)一邊一個(gè)始點(diǎn)、一個(gè)終點(diǎn)，元素和為零。 (2)每一行元素的絕對(duì)值之和為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的度數(shù)。-1的個(gè)數(shù)等于入

38、度，1的個(gè)數(shù)等于出度。,,,有向圖G的兩行相加定義為：第i行第j列的對(duì)應(yīng)元素算術(shù)相加；相當(dāng)于刪除結(jié)點(diǎn)vi與結(jié)點(diǎn)vj之間的關(guān)聯(lián)邊，合并結(jié)點(diǎn)vi和vj 。合并后得到的新結(jié)點(diǎn)記為vi,j 。 無向圖G的兩行相加定義為：第i行第j列的對(duì)應(yīng)元素模2相加；相當(dāng)于刪除結(jié)點(diǎn)vi與結(jié)點(diǎn)vj之間的關(guān)聯(lián)邊，合并結(jié)點(diǎn)vi和vj 。合并后得到的新結(jié)點(diǎn)記為vi,j 。,3、關(guān)聯(lián)矩陣的秩,定理： 如果一個(gè)連通圖G=,有r個(gè)結(jié)點(diǎn),則其完全關(guān)聯(lián)矩陣M(G

39、)的秩為r-1,即rank M (G)=r-1 。,推論：如果一個(gè)連通圖G=,有r個(gè)結(jié)點(diǎn),w個(gè)最大連通子圖,則圖G的完全關(guān)聯(lián)矩陣M(G)的秩為r- w,即rank M (G)=r-w 。,,例：寫出如圖7-3.11所示的圖G的完全關(guān)聯(lián)矩陣，并驗(yàn)證其秩如定理7-3.2所述。,完全關(guān)聯(lián)矩陣為:,此圖為連通圖，由定理其秩為5。,§4 歐拉圖和漢密爾頓圖,2.定理7-4.1 無向圖G具有一條歐拉路，當(dāng)且僅當(dāng)G連通，并且有零個(gè)或

40、兩個(gè)奇數(shù)度結(jié)點(diǎn)。,1.定義7-4.1 如果無孤立結(jié)點(diǎn)圖G上有一條經(jīng)過G的所有邊一次且僅一次的路徑，則稱該路徑為圖G的歐拉路徑（Euler walk）。如果圖G上有一條經(jīng)過G邊一次且僅一次的的回路，則稱該回路為圖G的歐拉回路，具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖（Euler graph）。,由于有了歐拉路和歐拉回路的判別準(zhǔn)則，因此哥尼斯堡七橋問題立即有了確切的否定答案，因?yàn)閺膱D中可以看到deg(A)＝5，deg(B)＝deg(C)＝deg(D)

41、=3，故歐拉回路必不存在。,3.定理7-4.1的推論 無向圖G具有一條歐拉路，當(dāng)且僅當(dāng)G連通且所有結(jié)點(diǎn)度數(shù)皆為偶數(shù)。,例：用定理解決哥尼斯堡橋的問題,一筆畫問題 要判定一個(gè)圖G是否可一筆畫出，有兩種情況：一是從圖G中某一結(jié)點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過圖G的每一邊一次僅一次到達(dá)另一結(jié)點(diǎn)。另一種就是從G的某個(gè)結(jié)點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過G的每一邊一次僅一次再回到該結(jié)點(diǎn)。上述兩種情況分別可以由歐拉路和歐拉回路的判定條件予以解決。,定義7-4.2：給

42、定有向圖G，通過圖中每邊一次且僅一次的一條單向路（回路），稱作單向歐拉路（回路）。,可以將歐拉路和歐拉回路的概念推廣到有向圖中。,定理7-4.2 有向圖G為具有一條單向歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)G連通，并且每個(gè)結(jié)點(diǎn)的入度等于出度。有向圖G有單向歐拉路，當(dāng)且僅當(dāng)G連通，并且恰有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的入度與出度不等，它們中一個(gè)的出度比入度多1，另一個(gè)入度比出度多1。,例1有向歐拉圖應(yīng)用示例：計(jì)算機(jī)鼓輪的設(shè)計(jì)。 鼓輪表面分成24=16等份，其

43、中每一部分分別用絕緣體或?qū)w組成，絕緣體部分給出信號(hào)0，導(dǎo)體部分給出信號(hào)1，在下圖中陰影部分表示導(dǎo)體，空白體部分表示絕緣體，根據(jù)鼓輪的位置，觸點(diǎn)將得到信息4個(gè)觸點(diǎn)a,b,c,d讀出1101(狀態(tài)圖中的邊e13),轉(zhuǎn)一角度后將讀出1010 (邊e10)。 問鼓輪上16個(gè)部分怎樣安排導(dǎo)體及絕緣體才能使鼓輪每旋轉(zhuǎn)一個(gè)部分，四個(gè)觸點(diǎn)能得到一組不同的四位二進(jìn)制數(shù)信息。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0,1,

44、1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,1,1,0,a,b,c,d,,設(shè)有一個(gè)八個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向圖，如下圖所示。其結(jié)點(diǎn)分別記為三位二進(jìn)制數(shù){000，001，……，111}，設(shè)ai?{0,1}，從結(jié)點(diǎn)a1 a2 a3可引出兩條有向邊，其終點(diǎn)分別是a2 a30以及a2 a31。該兩條邊分別記為a1 a2 a30和a1 a2 a31。按照

45、上述方法，對(duì)于八個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向圖共有16條邊，在這種圖的任一條路中，其鄰接的邊必是a1 a2 a3a4和a2 a3a4a5的形式，即是第一條邊標(biāo)號(hào)的后三位數(shù)與第二條邊的頭三位數(shù)相同。 由于圖中16條邊被記為不同的二進(jìn)制數(shù)，可見前述鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)所得到16個(gè)不同位置觸點(diǎn)上的二進(jìn)制信息，即對(duì)應(yīng)于圖中的一條歐拉回路。,設(shè)有一個(gè)八個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向圖，如下圖所示。其結(jié)點(diǎn)分別記為三位二進(jìn)制數(shù){000，001，……，111}，設(shè)ai?{0,1}，從結(jié)點(diǎn)

46、a1 a2 a3可引出兩條有向邊，其終點(diǎn)分別是a2 a30以及a2 a31。該兩條邊分別記為a1 a2 a30和a1 a2 a31。按照上述方法，對(duì)于八個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向圖共有16條邊，在這種圖的任一條路中，其鄰接的邊必是a1 a2 a3a4和a2 a3a4a5的形式，即是第一條邊標(biāo)號(hào)的后三位數(shù)與第二條邊的頭三位數(shù)相同。 由于圖中16條邊被記為不同的二進(jìn)制數(shù)，可見前述鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)所得到16個(gè)不同位置觸點(diǎn)上的二進(jìn)制信息，即對(duì)應(yīng)于圖中的一條

47、歐拉回路。,所求的歐拉回路為： e0e1e2e4e9e3e6e13e10e5e11e7e16e14e12e8(e0) （從圖示位置開始） e13e10e5e11e7e16e14e12e8e0e1e2e4e9e3e6 (e13) 所求的二進(jìn)制序列為： 0000100110101111 (0) 1101011110000100 (1) （從圖示位置開始）,上述結(jié)論可推廣到鼓輪具有

48、n個(gè)觸點(diǎn)的情況。構(gòu)造2n-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)的有向圖，每個(gè)結(jié)點(diǎn)標(biāo)記為n-1位二進(jìn)制數(shù),從結(jié)點(diǎn)a1a2a3...an-1出發(fā),有一條終點(diǎn)為a2a3...an-10的邊,該邊記為a1a2a3...an-10；還有一條終點(diǎn)標(biāo)記為a2a3...an-11的邊,該邊記為a1a2a3...an-11 。鄰接邊的標(biāo)記規(guī)則為：“第一條邊后n-1位與第二條邊前n-1位二進(jìn)制數(shù)相同”。,二、漢密爾頓圖,與歐拉回路類似的是漢密爾頓回路。它是1859年漢密爾頓首先提出

49、的一個(gè)關(guān)于12面體的數(shù)學(xué)游戲：能否在圖7-4.6中找到一個(gè)回路，使它含有圖中所有結(jié)點(diǎn)一次且僅一次？若把每個(gè)結(jié)點(diǎn)看成一座城市，連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的邊看成是交通線，那么這個(gè)問題就變成能否找到一條旅行路線，使得沿著該旅行路線經(jīng)過每座城市恰好一次，再回到原來的出發(fā)地？他把這個(gè)問題稱為周游世界問題。,定義7-4.3：給定圖G，若存在一條路經(jīng)過圖中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)恰好一次，這條路稱作漢密爾頓路。若存在一條回路，經(jīng)過圖中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)恰好一次，這條回路稱作漢密爾頓回

50、路。 具有漢密爾頓回路的圖稱作漢密爾頓圖。,圖7-4.6存在一條漢密爾頓回路，它是漢密爾頓圖,定理7-4.3 若圖G＝具有漢密爾頓回路，則對(duì)于結(jié)點(diǎn)集V的每個(gè)非空子集S均有W(G-S)≤|S|，其中W(G-S)是G-S的連通分支數(shù)。,證明 設(shè)C是G的一條漢密爾頓回路，對(duì)于V的任何一個(gè)非空子集S，在C中刪去S中任一結(jié)點(diǎn)a1，則C-a1是連通的非回路， W(C- a1)=1， |S|≥1，這時(shí) W(C-S)≤|S|。 若再刪去S中

51、另一結(jié)點(diǎn)a2，則W(C-a1-a2)≤2，而 |S|≥2，這時(shí) W(C-S)≤|S|。由歸納法可得：W(C-S)≤|S|。同時(shí)C-S是G-S的一個(gè)生成子圖，因而W(G-S)≤W(C-S)，所以W(G-S)≤|S|。,此定理是必要條件，可以用來證明一個(gè)圖不是漢密爾頓圖。,如右圖，取S={v1,v4}，則G-S有3個(gè)連通分支，,不滿足W(G-S)≤|S|，故該圖不是漢密爾頓圖。,所以用此定理來證明某一特定圖是非漢密爾頓圖并不是總是有效的。例

52、如，著名的彼得森(Petersen)圖，在圖中刪去任一個(gè)結(jié)點(diǎn)或任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，不能使它不連通；刪去3個(gè)結(jié)點(diǎn)，最多只能得到有兩個(gè)連通分支的子圖；刪去4個(gè)結(jié)點(diǎn)，只能得到最多三個(gè)連通分支的子圖；刪去5個(gè)或5個(gè)以上的結(jié)點(diǎn)，余下子圖的結(jié)點(diǎn)數(shù)都不大于6，故必不能有5個(gè)以上的連通分支數(shù)。所以該圖滿足W(G-S)≤|S|，但是可以證明它是非漢密爾頓圖。,說明：此定理是必要條件而不是充分條件。有的圖滿足此必要條件，但也是非漢密爾頓圖。,下面的定理給出一個(gè)無

53、向圖具有漢密爾頓路的充分條件,定理7-4.4 設(shè)圖G具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖,如果G中每一對(duì)結(jié)點(diǎn)度數(shù)之和大于等于n-1,則G中存在一條漢密爾頓路。,? 證明思路：1) 先證G連通: 若G有兩個(gè)或多個(gè)互不連通的分支,設(shè)一個(gè)分圖有n1個(gè)結(jié)點(diǎn),任取一個(gè)結(jié)點(diǎn)v1,另一分圖有n2個(gè)結(jié)點(diǎn),任取一個(gè)結(jié)點(diǎn)v2,因?yàn)閐eg(v1)≤n1-1, deg(v2)≤n2-1, deg(v1)+ deg(v2)≤n1+n2-2<n-1 ,與假設(shè)

54、矛盾, G是連通的。,2) 先證(構(gòu)造)要求的漢密爾頓路存在: 設(shè)G中有p-1條邊的路,p<n,它的結(jié)點(diǎn)序列為v1, v2,…, vp。如果有v1或vp鄰接于不在這條路上的一個(gè)結(jié)點(diǎn),立刻擴(kuò)展該路,使它包含這個(gè)結(jié)點(diǎn),從而得到p條邊的路。否則v1和vp都只鄰接于這條路上的結(jié)點(diǎn),我們證明在這種情況下,存在一條回路包含結(jié)點(diǎn)v1, v2,…, vp。,若v1鄰接于vp,則v1, v2, …, vp即為所求。 若v1

55、鄰接于結(jié)點(diǎn)集{vl,vm,…,…,vj,…,vt}中之一,這里2≤l,m,...,j,...,t≤p-1,如果vp是鄰接于vl-1,vm-1,…,…,vj-1, …,vt-1中之一,譬如是vj-1,則v1v2…vj-1vpvp-1...vjv1 是所求回路（如圖7-4.9(a)所示）。 如果vp不鄰接于vl-1,vm-1,…,…,vj-1, …,vt-1中任一個(gè),則vp最多鄰接于p-k-1個(gè)結(jié)點(diǎn), deg(vp)≤p-k-1

56、, deg(v1)=k,故deg(vp)+deg(v1)≤p-k-1+k<n-1,即v1與 vp 度數(shù)之和最多為n-2，得到矛盾。,至此，已經(jīng)構(gòu)造出一條包含結(jié)點(diǎn)v1,v2,…,vp的回路,因?yàn)镚是連通的,所以在G中必有一個(gè)不屬于該回路的結(jié)點(diǎn)vx與回路中某一結(jié)點(diǎn)vk鄰接,如圖7-4.9(b)所示, 于是就得到一條包含p條邊的回路(vx,vk,vk+1,…,vj-1,vp,vp-1,…, vj,v1, v2 , …, vk

57、-1),如圖7-4.9(c)所示,重復(fù)前述構(gòu)造方法，直到得到n-1條邊的路。 ?,例 某地有5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，若每個(gè)景點(diǎn)均有兩條道路與其他景點(diǎn)相通，問是否可經(jīng)過每個(gè)景點(diǎn)一次而游完這5處。,解 將景點(diǎn)作為結(jié)點(diǎn)，道路作為邊，則得到一個(gè)有5個(gè)結(jié)點(diǎn)的無向圖。 由題意，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)vi(i=1,2,3,4,5)有 deg(vi)=2。 則對(duì)任兩點(diǎn)和均有

58、 deg(vi) + deg(vj)=2 + 2 =4 = 5 – 1 所以此圖有一條漢密爾頓回路。即經(jīng)過每個(gè)景點(diǎn)一次而游完這5個(gè)景點(diǎn)。,例：在七天內(nèi)安排七門課程的考試，使得同一位教師所任的兩門課程不排在接連的兩天中，試證明如果沒有教師擔(dān)任多于四門課程，則符合上述要求的考試安排總是可能的。,證明：設(shè)G為具有七個(gè)結(jié)點(diǎn)的圖，每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一門課程考試，如果這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的課程考試是由不同教師擔(dān)任的，那么這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間有一條邊

59、，因?yàn)槊總€(gè)教師所任課程數(shù)不超過4，故每個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)至少是3，任兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的度數(shù)之和至少是6，故G總是包含一條漢密爾頓路，它對(duì)應(yīng)于一個(gè)七門考試課程的一個(gè)適當(dāng)?shù)陌才拧?4.定理7-4.5 設(shè)圖G具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單圖,如果G中每一對(duì)結(jié)點(diǎn)度數(shù)之和大于等于n,則G中存在一條漢密爾頓回路。,? 證明思路：由定理7-4.4知,必有一條漢密爾頓路,設(shè)為v1,v2,…,vn,若v1與vn鄰接,則定理得證。 若v1與vn不鄰接,假設(shè)v1鄰接于{

60、vi1,vi2,…,vik}, 2≤ij≤n-1, vn必鄰接于vi1-1,vi2-1,…,vik-1中之一。若vn不鄰接于vi1-1,vi2-1,…,vik-1中之一,則vn至多鄰接于n-k-1個(gè)結(jié)點(diǎn),因而, deg(vn)≤n-k-1,而 deg(v1)=k, deg(v1)+ deg(vn)≤n-k-1+k=n-1 ,與假設(shè)矛盾, 所以必有一條漢密爾頓路v1v2…vj-1vnvn-

61、1 …vjv1,如圖7-4.11所示。 ?,圖的閉包 定義7-4.4：給定圖G=有n個(gè)結(jié)點(diǎn)，若將圖G中度數(shù)之和至少是n的非鄰接結(jié)點(diǎn)連接起來得圖G’，對(duì)圖G’重復(fù)上述步驟，直到不再有這樣的結(jié)點(diǎn)對(duì)存在為止，所得到的圖，稱為是原圖G的閉包，記作C(G)。,定理7-4.6：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)簡(jiǎn)單圖的閉包是漢密爾頓圖時(shí)，這個(gè)簡(jiǎn)單圖是漢密爾頓圖。推論：n?3的有向(無向)完全圖Kn為漢密爾頓圖。,判別漢密爾頓路不

62、存在的標(biāo)號(hào)法,關(guān)于圖中沒有漢密爾頓路的判別尚沒有確定的方法，下面通過一個(gè)例子，介紹一個(gè)判別漢密爾頓路不存在的標(biāo)號(hào)法。,例 證明下圖沒有漢密爾頓路。,證明 任取一結(jié)點(diǎn)如v1,用A標(biāo)記，所有與它鄰接的結(jié)點(diǎn)標(biāo)B。,繼續(xù)不斷地用A標(biāo)記所有與B鄰接的結(jié)點(diǎn)，用B標(biāo)記所有與A鄰接的結(jié)點(diǎn)，直到圖中的所有結(jié)點(diǎn)全部標(biāo)記完畢。,如果圖中有一條漢密爾頓路，則必交替通過結(jié)點(diǎn)A和B。因此或者結(jié)點(diǎn)A和B數(shù)目一樣，或者兩者相差1個(gè)。而本題有3個(gè)結(jié)點(diǎn)標(biāo)記A，5個(gè)結(jié)

63、點(diǎn)標(biāo)記B，它們相差2個(gè)，所以該圖不存在漢密爾頓路。,再看310頁例題2,遇到相鄰結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)相同標(biāo)記，可在此對(duì)應(yīng)邊上增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，并標(biāo)上相異標(biāo)記。見圖7-4.14,練習(xí) 311頁（7）,有7個(gè)結(jié)點(diǎn)標(biāo)記A，6個(gè)結(jié)點(diǎn)標(biāo)記B，所以該圖不存在一條漢密爾頓回路。,311頁（6）,a)畫一個(gè)有一條歐拉回路和一條漢密爾頓回路的圖。,在無孤立結(jié)點(diǎn)圖G中，經(jīng)過圖中每條邊一次且僅有一次的一條回路，稱為歐拉回路。,給定圖G，經(jīng)過圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)恰好一次的回路稱作漢

64、密爾頓回路。,b)畫一個(gè)有一條歐拉回路，但沒有一條漢密爾頓回路的圖。,c)畫一個(gè)沒有一條歐拉回路，但有一條漢密爾頓回路的圖。,311頁（2）構(gòu)造一個(gè)歐拉圖，其結(jié)點(diǎn)數(shù)v和邊數(shù)e滿足下述條件,a)v，e的奇偶性一樣。b) v，e的奇偶性相反。 如果不可能，說明原因。,v=3,e=3,v=5,e=5,v=4,e=4,v=4,e=6,v=7,e=8,v=6,e=7,無向圖G具有一條歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)G是連通的，并且所有結(jié)點(diǎn)度數(shù)全為偶數(shù)。下面

65、的圖中所有結(jié)點(diǎn)度數(shù)全為偶數(shù)，所以都是歐拉圖。,5.定義7-4.2：給定有向圖G，通過圖中每邊一次且僅一次的一條單向路（回路），稱作單向歐拉路（回路）。,可以將歐拉路和歐拉回路的概念推廣到有向圖中。,6.定理7-4.2 有向圖G為具有一條單向歐拉回路，當(dāng)且僅當(dāng)G連通，并且每個(gè)結(jié)點(diǎn)的入度等于出度。有向圖G有單向歐拉路，當(dāng)且僅當(dāng)G連通，并且恰有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的入度與出度不等，它們中一個(gè)的出度比入度多1，另一個(gè)入度比出度多1。 證

66、明思路與定理7-4.1類似,§4歐拉圖和漢密爾頓圖,《定理》：設(shè)G是一連通有向圖，則當(dāng)且僅當(dāng)G中每一個(gè)結(jié)點(diǎn)的 ＝ ，G才有歐拉循環(huán)；當(dāng)且僅當(dāng)除了二個(gè)結(jié)點(diǎn)（其中一個(gè)的引入次數(shù)比引出次數(shù)大１，另一個(gè)的引入次數(shù)比引出次數(shù)?。保┮酝獾乃薪Y(jié)點(diǎn)的 ＝ ，則圖G才有歐拉路徑。,§4歐拉圖和漢密爾頓圖,漢密爾頓路徑：穿程無向圖的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)一次且僅一

67、次的路徑。漢密爾頓循環(huán)：穿程無向圖的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)一次且僅一次的循環(huán)。漢密爾頓圖：具有漢密爾頓循環(huán)的圖。到目前為止，還沒有找到哈密爾頓路徑存在的充分必要條件。下面介紹兩個(gè)定理。,§4歐拉圖和漢密爾頓圖,《定理》：設(shè)Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是具有n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單無向圖，若在G中每對(duì)結(jié)點(diǎn)次數(shù)之和大于或等于(n-1)，則在G中一定存在一條漢密爾頓路徑。實(shí)際上，此定理只是充分條件，而不是充分必要條件。例：ｎ＝７，Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞見圖：