電磁場(chǎng)與電磁波第3章

1、時(shí)變情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場(chǎng) 當(dāng)場(chǎng)源不隨時(shí)間變化時(shí)，激發(fā)不隨時(shí)間變化的靜態(tài)場(chǎng) 靜態(tài)情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)由各自的源激發(fā)，且相互獨(dú)立,第3章　靜態(tài)場(chǎng)分析,3.1 靜電場(chǎng)的靜電位及其微分方程,3.1.1 靜電場(chǎng)的靜電位,基本方程,邊界條件,在靜電場(chǎng)情況下，由　　　　　　　　　，即靜電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量的梯度來(lái)表示。標(biāo)量?稱為標(biāo)量位或標(biāo)量電位。,,任意常數(shù),電位的定義,對(duì)于連續(xù)分布電荷，有,,體電荷,,面電荷,,線電荷,

2、,位于r′處的點(diǎn)電荷,,位于不同位置r i′的N個(gè)點(diǎn)電荷,上式兩邊從點(diǎn)P到點(diǎn)Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得,P、Q兩點(diǎn)間的電位差,電場(chǎng)力做的功,關(guān)于電位差的說(shuō)明,P、Q兩點(diǎn)間的電位差等于電場(chǎng)力將單位正電荷從P點(diǎn)移至Q點(diǎn)所做的功，電場(chǎng)力使單位正電荷由高電位處移到低電位處 電位差也稱為電壓，可用U表示 電位差有確定值，只與首尾兩點(diǎn)位置有關(guān)，與積分路徑無(wú)關(guān),3.1.2 電位差,顯然，電位函數(shù)?不是唯一確定的，可以加上任意一個(gè)常數(shù)仍表示同一

3、個(gè)電場(chǎng)，即,為使空間各點(diǎn)電位具有確定值，可以選定空間某一點(diǎn)作為參考點(diǎn)，且令參考點(diǎn)的電位為零，由于空間各點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差為確定值，所以該點(diǎn)的電位也就具有確定值，即,選參考點(diǎn),,令參考點(diǎn)電位為零,電位確定值(電位差),兩點(diǎn)間電位差有定值,選擇電位參考點(diǎn)的原則 應(yīng)使電位表達(dá)式有意義 應(yīng)使電位表達(dá)式最簡(jiǎn)單 同一個(gè)問(wèn)題只能有一個(gè)參考點(diǎn),標(biāo)量泊松方程,在均勻、線性和各向同性的介質(zhì)中，利用 有,,拉

4、普拉斯方程,,3.1.3 電位的微分方程,,理想導(dǎo)體是等位體,靜電位的邊界條件,設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點(diǎn)，其電位分別為?1和?2。當(dāng)兩點(diǎn)間距離⊿l→0時(shí),理想介質(zhì)表面,,,點(diǎn)電荷：設(shè)點(diǎn)電荷q在原點(diǎn)，參考點(diǎn)Q，場(chǎng)點(diǎn) (電位考察點(diǎn))P，選擇路徑P→M → Q(路徑可以任意選擇)進(jìn)行積分，有,,積分貢獻(xiàn)為零,3.1.4 電位的表達(dá)式,線電荷：設(shè)線電荷?l在原點(diǎn)，參考點(diǎn)Q，場(chǎng)點(diǎn) (電位考察點(diǎn))P，沿如前路徑進(jìn)行積分，有

5、,如果選擇參考點(diǎn)在rQ=∞，得?P=∞，顯然不合理。如果選擇rQ=1，得　　　　　　，顯然這種形式最簡(jiǎn)單。,面電荷(例3-1)：無(wú)限大面電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在空間均勻分布。設(shè)均勻電場(chǎng)E0，場(chǎng)中任意兩點(diǎn)P1和P2的電位差為,例 3-2 電偶極子的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。電偶極子由空間兩個(gè)等量異號(hào)的點(diǎn)荷組成如圖。,解：設(shè)電偶極子中心位于座標(biāo)原點(diǎn)，p=ql。空間任意點(diǎn)M處的電位可以看成是由兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生，即有,當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)M到電偶極子的距離r>>

6、l時(shí)，得,,3.1.5 電位的多極展開(kāi),零極子　處于一個(gè)幾何點(diǎn)的電荷系統(tǒng)稱為零極子，其電性質(zhì)只需用總電量q表示，其電位為,電偶極子與電偶極矩 電偶極子：兩個(gè)等值異號(hào)相距微小距離的點(diǎn)電荷系統(tǒng)，總電量Q＝0，用電偶極矩p=ql表示其電特性 電荷系統(tǒng)的電偶極矩：并不是只有電偶極子才有電偶極矩,p與座標(biāo)系有關(guān)；對(duì)稱系統(tǒng)p＝0； p和Q是不同的物理量；Q＝0的電荷系統(tǒng)仍可能產(chǎn)生電位,電偶極子場(chǎng)：,電荷系統(tǒng)的電偶極矩場(chǎng)：只需將電偶極子場(chǎng)中的

7、p用相應(yīng)電荷系統(tǒng)的電偶極矩代入即可，顯然有,電四極子與電四極矩　電四極子：兩個(gè)大小相同、方向相反的電偶極子±p構(gòu)成的系統(tǒng)，Q＝0，p＝0，電特性用電四極矩表示?！‰娝臉O矩張量：共有9個(gè)分量，表示為,電四極子場(chǎng)：,電荷系統(tǒng)的電四極矩場(chǎng)：任何電荷系統(tǒng)都有電四極矩，其電位為,電荷系統(tǒng)電位的多極展開(kāi)　任意電荷系統(tǒng)有可能具有Q，p，Qij，其電位可表示成,式中各項(xiàng)分別為各級(jí)電極子產(chǎn)生的電位，隨著r增加，高階項(xiàng)可忽略。r很大時(shí)，可將

8、有限區(qū)域中分布的電荷等效成點(diǎn)電荷。,,導(dǎo)體所帶電荷與導(dǎo)體電位之比,電容C只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)和周圍介質(zhì)有關(guān)，與q和?無(wú)關(guān)　如空氣中半徑為a的孤立帶電球，,與q和?無(wú)關(guān),孤立導(dǎo)體：,雙導(dǎo)體組成的電容器,同樣地，電容C只與導(dǎo)體幾何性質(zhì)和介質(zhì)有關(guān)　如平行板電容器,與q和?無(wú)關(guān),,,3.2 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容,3.2.1 電容的定義與計(jì)算,例3-5　如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線相距為D，且D>>a。試求傳輸

9、線單位長(zhǎng)度的電容。,解：由于D>>a，近似認(rèn)為電荷均勻分布在導(dǎo)體表面，且可將導(dǎo)線看成線電荷，則利用高斯定理得x軸上的電場(chǎng)分布,單個(gè)導(dǎo)體上的電量,雙導(dǎo)體時(shí)，一個(gè)導(dǎo)體上的電量,如果把大地看成?0=0的導(dǎo)體，則單個(gè)導(dǎo)體存在時(shí)，導(dǎo)體上的電量為,兩個(gè)導(dǎo)體存在，且考慮大地影響時(shí)，相當(dāng)于3個(gè)導(dǎo)體的情況，其中一個(gè)導(dǎo)體上的電量為,其中C12為導(dǎo)體1，2間的電容，C10為導(dǎo)體與大地間的電容,N個(gè)導(dǎo)體存在，導(dǎo)體i上的電量與它和其它導(dǎo)體之間的電位差

10、（包括大地）有關(guān)，即有,3.2.4 部分電容,物理意義：　導(dǎo)體系統(tǒng)中各導(dǎo)體間都存在電容　各導(dǎo)體的電荷正比于導(dǎo)體間的電位差，其比例系數(shù)稱為部份電容,關(guān)于部份電容Cij的討論,Cij為導(dǎo)體i與導(dǎo)體j之間的電容；而Cii為導(dǎo)體i本身的電容，即與大地間的電容，可寫(xiě)成Cii=Ci0=Ci Cij=Cji （i≠j），對(duì)稱性（互易性） Cij只與導(dǎo)體的幾何形狀、介質(zhì)性質(zhì)和各導(dǎo)體的相對(duì)位置有關(guān)，與各導(dǎo)體所帶電量無(wú)關(guān),例1 兩個(gè)同心

11、導(dǎo)體球殼，半徑分別為a和b，離地很遠(yuǎn)。求部分電容。,解：由于球殼離地很遠(yuǎn)，可以認(rèn)為電荷在導(dǎo)體表面均勻分布。兩個(gè)球殼上的電量分別為,由于C12，C21，C11，C22與q1，q2無(wú)關(guān)，可任意選擇q1和q2值。令q1 =0， q2 =1，得,靜電屏蔽,,,孤立球的電容,不表示導(dǎo)體與地之間無(wú)電容，表示導(dǎo)體上電荷分布不受地的影響，是均勻分布。,,同心球電容,,3.3.1 電場(chǎng)能量,討論系統(tǒng)充電并穩(wěn)定后的電場(chǎng)能量，與充電過(guò)程無(wú)關(guān) 從零狀態(tài)開(kāi)

12、始充電，充電結(jié)束時(shí)，電荷為?、電位為? 充電過(guò)程中，電荷與電位同比增加，比例因子?，即充電過(guò)程中某一時(shí)刻電荷與電位分別為??和?? 充電過(guò)程由? = 0到? = 1，由無(wú)數(shù)個(gè)充電單元d? 組成 對(duì)于系統(tǒng)中的一個(gè)單位體積，在每個(gè)充電單元，電源將輸送電荷?d?，同時(shí)做功(??)(?d?)，此功將轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)的能量,所以，在一個(gè)充電單元中，整個(gè)系統(tǒng)能量的增加，即外電源為此所做的功為,3.3 靜電場(chǎng)能量和靜電力,當(dāng)V無(wú)窮大時(shí)，由于S包括了

13、整個(gè)電場(chǎng)空間，其外部沒(méi)有電場(chǎng)存在，所以沒(méi)有電場(chǎng)穿出S，即在S上D→0，第一項(xiàng)為零，得,由此得電場(chǎng)的能量密度為,對(duì)于線性各向同性介質(zhì)，有,空間任意點(diǎn)的能量密度由當(dāng)?shù)氐碾妶?chǎng)決定,關(guān)于靜電場(chǎng)能量表達(dá)式的補(bǔ)充說(shuō)明,討論的是充電完成系統(tǒng)穩(wěn)定后的情況，所以只適用于靜電場(chǎng) 積分區(qū)域?yàn)榇嬖陔姾煞植嫉目臻g，由于在無(wú)電荷分布的區(qū)域積分為零，所以積分也可以為整個(gè)空間 能量是分布在有電場(chǎng)存在的整個(gè)空間，并非僅僅存在于有電荷分布的區(qū)域，所以被積函數(shù)

14、 不代表能量密度 被積函數(shù) 代表能量密度，說(shuō)明有場(chǎng)存在的地方即會(huì)有能量,對(duì)N個(gè)點(diǎn)電荷組成的系統(tǒng)，電荷體密度為,利用?函數(shù)的挑選性,點(diǎn)電荷相互作用能,,對(duì)N個(gè)帶電導(dǎo)體組成的系統(tǒng)，各導(dǎo)體的電位為?i，電量為qi，表面積為Si，則導(dǎo)體系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為,3.3.2 帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的能量,3.3.3 點(diǎn)電荷系統(tǒng)的相互作用能,例3-7 原子核是一個(gè)帶電為q的點(diǎn)電荷，周圍均勻分布有帶負(fù)電的球形電子云。電子云的半徑為r

15、0，其總電量為－q。求原子模型的結(jié)合能。,解：結(jié)合能=電子云自能+云與核的相互作用能。由高斯定理得電子云產(chǎn)生的電場(chǎng),3.3.4 電荷分布在外電場(chǎng)中的能量,帶電體的自有能和相互作用能　設(shè)兩個(gè)帶電體電荷密度分別為?1和?2，產(chǎn)生的電位和電場(chǎng)分別為?1和?2，E1和E2。則總電場(chǎng)為E=E1+E2，電場(chǎng)總能量為,其中：We1和We2分別為帶電體1和2的自有能量，分別對(duì)應(yīng)各自所產(chǎn)生的電場(chǎng)； We互為兩個(gè)帶電體的相互作用能，在線性各向同性介質(zhì)中

16、有：,帶電體在外電場(chǎng)中的能量　帶電體在外電場(chǎng)中的能量，即為帶電體與產(chǎn)生外場(chǎng)的電荷之間的相互作用能。設(shè)外電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的電位為?e，帶電體的電荷密度為?，則帶電體在外電場(chǎng)中的能量為,當(dāng)電荷分布在一個(gè)小區(qū)域內(nèi)，且電位?e緩慢變化時(shí)，可將電位?e在=0處按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為：,,,,總電量的能量,電偶極矩的能量,電四極矩的能量,3.3.5 靜電力,靜止電荷間的作用力一般總可以用庫(kù)侖定律求得，但對(duì)于許多實(shí)際問(wèn)題，用庫(kù)侖定律計(jì)算非常復(fù)雜，通?？捎锰撐灰?/p>

17、法?！√撐灰品ǎ杭僭O(shè)帶電體在電場(chǎng)的作用下發(fā)生一個(gè)位移（假想的），電場(chǎng)能量將發(fā)生改變（電場(chǎng)做功，能量改變），根據(jù)能量的變化情況可以求出帶電體所受的力?！≡O(shè)有N個(gè)帶電導(dǎo)體組成的系統(tǒng)，第i個(gè)導(dǎo)體在電場(chǎng)力Fi的作用下發(fā)生位移??i，電場(chǎng)力做功為?A=Fi??i，此時(shí)系統(tǒng)靜電場(chǎng)能量的變化為?We。如果各導(dǎo)體與外電源相聯(lián)，則此時(shí)外電源將對(duì)系統(tǒng)提供能量?Ws。由能量守恒定律，得,,,,,,,外界提供的能量=電場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體做功+系統(tǒng)能量的增加,可見(jiàn)，系

18、統(tǒng)靜電能量的改變分別由電荷和電位的變化引起?！「鲗?dǎo)體不與電源相連，即?qi = 0　由于各導(dǎo)體不與電源相連，導(dǎo)體系統(tǒng)與外界隔絕，沒(méi)有能量交換，即?Ws= 0，則有,各導(dǎo)體與電源相連，即??i = 0　為保持各導(dǎo)體電位不變，電源將向?qū)wi提供電量?qi，同時(shí)即提供能量?i ?qi，則有,3.4 恒定電場(chǎng)及其基本方程,3.4.1 恒定電場(chǎng)的基本方程,恒定電場(chǎng)由密度不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生，但電荷并非靜止，即J≠0。此時(shí)有,均勻介質(zhì),

19、基本方程,,邊界條件,恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)有相似的特性，即同樣為無(wú)旋場(chǎng)，得,,3.4.2 焦?fàn)柖ɡ?設(shè)導(dǎo)體內(nèi)的電荷密度為?，運(yùn)動(dòng)速度為v，則在dt時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力對(duì)dV體積元中的電荷?dV所做的功為,由此得體積元dV中的損耗功率為,,功率密度,電場(chǎng)對(duì)電荷做功消耗的功率,3.4.3 電阻,在導(dǎo)電媒質(zhì)中，電流I從一個(gè)電極流向另一個(gè)電極，兩電極間電流I與電壓U之比稱為電導(dǎo)，即,,,恒定電場(chǎng)（源外）　　　　　靜電場(chǎng)（無(wú)源區(qū)）,,,,,,,靜電　

20、 E D ? 　q ? C,恒定　 E J 　　? 　　 I ? G,恒定電場(chǎng)與靜電場(chǎng)比擬,關(guān)于恒定電場(chǎng)的進(jìn)一步說(shuō)明,與靜電場(chǎng)性質(zhì)相同，但產(chǎn)生的源不同，分別為運(yùn)動(dòng)電荷和靜止電荷，但其密度都不隨時(shí)間變化 恒定電場(chǎng)同時(shí)存在于導(dǎo)電體外和導(dǎo)電體內(nèi)，其表面同時(shí)有法向和切向分量，電場(chǎng)不垂直于表面，此時(shí)導(dǎo)電體不是等位體,電場(chǎng)矢量在分界面上的折射關(guān)系,如?

21、2>>1，? 2≠90°，?1＝0，電力線近似垂直良導(dǎo)體表面，近似等位體 如介質(zhì)1為理想介質(zhì)，?1＝0，J1=0，導(dǎo)電體一側(cè)中只有切向電流和切向電場(chǎng),恒定電場(chǎng)問(wèn)題可利用對(duì)應(yīng)量變換，先變成靜電場(chǎng)問(wèn)題求解，最后再換回來(lái),,由J 的邊界條件可得,例3 同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，填充介質(zhì)?≠0，具有漏電現(xiàn)象。同軸線外加電源電壓為U，求漏電介質(zhì)內(nèi)的?、E、J和單位長(zhǎng)度的漏電電導(dǎo)。,解：內(nèi)外導(dǎo)體內(nèi)E=0，且表面是等位

22、面，介質(zhì)中電位只是r 的函數(shù)，滿足拉氏方程為,,,,例4　一個(gè)有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為?1、?1和?2、?2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。,解：極板是理想導(dǎo)體，為等位面，電流沿z方向。,,例5 同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a和b，其間填充電導(dǎo)率為?的導(dǎo)電介質(zhì)，求單位長(zhǎng)度的絕緣電阻。,解：先變成靜電場(chǎng)。內(nèi)外導(dǎo)體間,,例6 求半徑為a的金屬導(dǎo)體球形接地器的接地電阻。土壤的電導(dǎo)率為?。,解：導(dǎo)體深埋，不考慮地表對(duì)接地

23、電阻的影響,,例7 在一塊厚度為h的導(dǎo)電板上，由兩個(gè)半徑為r1和r2的圓弧和夾角為?0的兩半徑割出一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)。計(jì)算沿?方向的兩個(gè)電極間的電阻。,解：設(shè)兩極板間電壓為U0，則電流沿?方向流動(dòng)，電位?只是變量?的函數(shù)，即有,3.5 靜磁場(chǎng)的矢量磁位及其微分方程,3.5.1 靜磁場(chǎng)的矢量磁位,恒定磁場(chǎng)及其源（恒定電流）不隨時(shí)間變化，有,靜磁場(chǎng)的基本方程,邊界條件,對(duì)于理想介質(zhì)，表面不存在傳導(dǎo)電流,式中，A即磁場(chǎng)的矢量磁位，也稱為矢量

24、位。,矢量磁位的定義 磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，可以引入一個(gè)矢量來(lái)描述磁場(chǎng)，即　　　由,矢量位的任意性 與標(biāo)量位?一樣，矢量位A也不是唯一確定的，它加上任意一個(gè)標(biāo)量?的梯度以后，仍然表示同一個(gè)磁場(chǎng)，即,對(duì)矢量位的限制 矢量位A的任意性是因只規(guī)定了其旋度，沒(méi)有規(guī)定其散度造成。為得到確定的A，可對(duì)A的散度加以限制，即　　　　，稱為庫(kù)侖條件。另外，還有洛侖茲條件。,3.5.2 靜磁場(chǎng)的矢量磁位的微分方程,,,,泊松方程,,,拉普

25、拉斯方程,3.5.3 靜磁場(chǎng)的矢量磁位的表達(dá)式,在直角坐標(biāo)系中，矢量位A的各分量滿足標(biāo)量泊松方程，即,,其中1, 2, 3分別對(duì)應(yīng)x, y, z,與靜電場(chǎng)標(biāo)量位? 滿足的泊松方程比較，可得Ai之解，即,,滿足,對(duì)面電流和細(xì)導(dǎo)線電流回路，矢量位A的解為,用矢量位計(jì)算磁通量,矢量位的邊界條件,補(bǔ)充內(nèi)容：矢量位的多極展開(kāi),在靜電場(chǎng)中，體電荷產(chǎn)生的電位可展開(kāi)為各級(jí)電極子電位的疊加。同樣，對(duì)體電流產(chǎn)生的矢量位，也可以進(jìn)行多極展開(kāi)。,式中各項(xiàng)對(duì)應(yīng)

26、各級(jí)磁極子。對(duì)應(yīng)磁零極子的第1項(xiàng)等于零；對(duì)應(yīng)磁偶極子的第2項(xiàng)等于一個(gè)電流環(huán)的矢量位。隨著r增加，高階項(xiàng)可忽略。r很大時(shí)，可將體電流等效成一個(gè)電流環(huán)。,例8 求無(wú)限長(zhǎng)線電流I的矢量位和磁場(chǎng)。設(shè)電流沿+z方向流動(dòng)。,解：用靜電場(chǎng)標(biāo)量位比較法求解。由無(wú)限長(zhǎng)線電荷的電位,關(guān)于矢量位A 的補(bǔ)充說(shuō)明,線電流的矢量位與電流方向一致，求解比較簡(jiǎn)單 對(duì)體分布電流，需要直接從泊松方程求解，其過(guò)程比較復(fù)雜 引入矢量位A是為了簡(jiǎn)化求解磁場(chǎng)，但只有對(duì)復(fù)雜

27、問(wèn)題才能顯示出其優(yōu)越性，對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題，還是直接求解磁場(chǎng)為宜,Here,回路C通有電流I，空間磁場(chǎng)B，且B∝I，則B在回路C所圍面積中產(chǎn)生的磁通?∝I，即,對(duì)于粗導(dǎo)體，自感L＝內(nèi)自感Li＋外自感Lo 內(nèi)自感,外自感,自感,3.6 電感,3.6.1 電感的定義,例3-13 求同軸電纜單位長(zhǎng)度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)，其半徑為b，空氣填充。,解：先求內(nèi)自感。設(shè)電纜中的電流為I，由安培環(huán)路定律得,再求外自感。由安

28、培環(huán)路定律得內(nèi)外導(dǎo)體間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為,兩個(gè)回路C1和C2，分別通有電流I1和I2，C1在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)B1，B1在回路C1和C2所圍面積的磁通分別為?11 和?21，即,互易性：M12=M21=M 互感的符號(hào)：當(dāng)?11 與?12同方向時(shí)，取正，反之取負(fù) 互感的特性：與回路幾何性質(zhì)、相對(duì)位置和周圍介質(zhì)有關(guān)，與電流無(wú)關(guān),互感,N個(gè)回路系統(tǒng)的電感,紐曼公式,,兩個(gè)回路C1和C2，分別通有電流I1和I2，周圍是空氣。C1在空間產(chǎn)生的矢量

29、位為A1，磁場(chǎng)為B1=▽× A1，且,3.6.2 紐曼公式,電感與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系　回路中的磁通發(fā)生變化時(shí)，由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。由于磁通與回路的自感或互感成比例，所以感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與自感和互感也有關(guān)系?！?duì)兩個(gè)回路的情況，回路C1和C2的自感和互感電動(dòng)勢(shì)定義為,3.7 靜磁場(chǎng)能量和磁場(chǎng)力,3.7.1 電流回路系統(tǒng)的能量,單個(gè)電流回路的能量,回路C中的電流i由0變成I，dt 時(shí)間內(nèi)i變化di，并引

30、起磁通量?變化d? ，從而在回路中出現(xiàn)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) 　　　　。,由于回路中出現(xiàn)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?將阻止電流i的增加，必須由外電源附加一個(gè)反向電壓U=－?，保證電流i增加。所以，外電源在dt 時(shí)間內(nèi)使電流i增加di所做的功為,電源使電流i由0增加為I所做的功為,將以磁場(chǎng)能量的方式儲(chǔ)存在回路中,兩個(gè)電流回路的能量　設(shè)兩個(gè)回路C1和C2中的電流i1和i2均由其初始值0變成I1和I2。在此過(guò)程中，外電源要對(duì)回路系統(tǒng)做功，此功將作為磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在回

31、路系統(tǒng)中?！∈紫燃俣╥2=0，使i1由0↗I1。在dt 時(shí)間內(nèi)i1改變量為di1，引起兩個(gè)回路中的磁通量?11和?21改變d?11和d?21，并在回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?1和?2?！∮捎?1會(huì)阻止C1中電流i1的增加，所以須在C1上外加電壓U1=－?1。同時(shí)，為了使C2中的電流i2保持為零，也須在C2上外加電壓U2=－?2。所以，外電源在dt 時(shí)間內(nèi)所做的功為,外電源使i1由0變?yōu)镮1過(guò)程中所做的功為,然后，保持C1中的電流I1不變，

32、將i2由0變?yōu)镮2。在此過(guò)程中，C2上的外加電源U2＝－?2 所做的功為,與前一個(gè)過(guò)程不同的是，此過(guò)程中C1中的電流一直保持為I1，所以C1上的外加電源U1將做功，即有,兩個(gè)過(guò)程外加電源所做的總功，將全部以磁場(chǎng)能量的形式儲(chǔ)存在回路系統(tǒng)中，成為兩電流回路系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量，即有,或,N個(gè)電流回路的能量　將兩個(gè)回路的情況推廣到N個(gè)電流回路組成的系統(tǒng)，有,或者寫(xiě)成,得,其中的Ai為回路Ci上的合成矢量磁位，即由所有回路產(chǎn)生。,體分布電流的能量

33、　將此式應(yīng)用于體分布電流（粗回路）時(shí)，有,關(guān)于靜磁場(chǎng)能量表達(dá)式的補(bǔ)充說(shuō)明,只適用于靜磁場(chǎng)　積分可以只在J≠0的區(qū)域進(jìn)行 被積函數(shù)A·J不代表能量密度，雖然積分是在有電流的空間中進(jìn)行，但能量是分布在整個(gè)有磁場(chǎng)存在的空間,①,3.7.2 靜磁場(chǎng)能量,能量密度　與電場(chǎng)能量一樣，磁場(chǎng)能量分布于磁場(chǎng)存在的整個(gè)空間。將J=▽×H代入①式，得,當(dāng)V無(wú)窮大時(shí)，S將包圍整個(gè)磁場(chǎng)存在的空間，沒(méi)有磁場(chǎng)會(huì)穿出S，所以在S上有H→

34、0，第二項(xiàng)為零，得,得磁場(chǎng)能量密度,例8 求半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體單位長(zhǎng)度的內(nèi)自感。,解：,，其中?i為導(dǎo)體柱內(nèi)部的磁通。,由安培環(huán)路定理，可得導(dǎo)體內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為,則導(dǎo)體內(nèi)單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)能量為,例9 求內(nèi)外半徑分別為a和b的無(wú)限長(zhǎng)同軸線單位長(zhǎng)度的自感。（再解例3-13）,解：在內(nèi)外導(dǎo)體之間，,,由上題（例1）得,,例10 矩形回路與長(zhǎng)直導(dǎo)線共面，如圖。求二者之間的互感。當(dāng)矩形回路繞軸旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，求磁場(chǎng)能量的變化。

35、,解：長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)為,,此時(shí)磁場(chǎng)能量為Wm。當(dāng)矩形回路繞軸旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，?=0，此時(shí)的互感M=0，此時(shí)的磁場(chǎng)能量變?yōu)?3.7.3 電流分布在外磁場(chǎng)中的能量,電流分布在外磁場(chǎng)中的能量是指電流分布與產(chǎn)生外磁場(chǎng)的電流之間的相互作用能。設(shè)回路C中的電流為I，外磁場(chǎng)的矢量磁位為Ae。則電流I在外磁場(chǎng)中的能量為,將Be(r)在r=0處按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可得,用J(r)dV替代Idl，可得體分布電流在外磁場(chǎng)中的能量,,位于原點(diǎn)的磁矩

36、在外磁場(chǎng)中的能量,3.7.4 磁場(chǎng)力,與求靜電力一樣，可以用虛位移法求解磁場(chǎng)力?！≡O(shè)有N個(gè)回路的系統(tǒng)，第i個(gè)回路在磁場(chǎng)力Fi作用下發(fā)生位移??i，磁場(chǎng)力做功為?A=Fi ? ? i，此時(shí)系統(tǒng)靜磁場(chǎng)能量的變化為?Wm。如果各回路與外電源相聯(lián)，則此時(shí)外電源對(duì)系統(tǒng)提供的能量為?Ws。由能量守恒定律，得,,,,,,,外界提供的能量=磁場(chǎng)對(duì)回路做功+系統(tǒng)能量的增加,可見(jiàn)，系統(tǒng)靜磁能量的改變分別由電流和磁通量的變化引起。,各回路上電流不變，?

37、Ii =0　由于回路i運(yùn)動(dòng)時(shí)，各回路的磁通將變化，從而在各回路中引起感生電流。為了維持各回路中的電流不變，外接電源將對(duì)各回路提供反向電壓,,,磁通變化引起的感生電動(dòng)勢(shì)的負(fù)值,各回路上磁通不變，??i =0　此時(shí)不需與外電源相連，則有,例3-16 兩個(gè)互相平行且共軸的圓形線圈，相距為d，半徑分別為a1和a2，且a1<<d。線圈通有電流I1和I2。求兩線圈間的磁場(chǎng)力。,解：線圈2在線圈1上產(chǎn)生的磁場(chǎng)近似為均勻，為,,電流和

38、自感不變時(shí),3.8 靜態(tài)場(chǎng)的邊界條件,3.8.1 靜電場(chǎng)的邊界條件,電介質(zhì)分界面,導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面,3.8.2 電位的邊界條件,理想介質(zhì)表面,,3.8.3 恒定電場(chǎng)的邊界條件,3.8.4 靜磁場(chǎng)的邊界條件,3.8.5 矢量磁位的邊界條件,對(duì)于理想介質(zhì)，表面不存在傳導(dǎo)電流,為了簡(jiǎn)化磁場(chǎng)的求解過(guò)程，引入了磁場(chǎng)的矢量位A，建立了相應(yīng)的微分方程，即,矢量位滿足的是矢量泊松方程，其求解過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜。這里試圖像靜電場(chǎng)一樣，引入磁場(chǎng)的標(biāo)

39、量位。 標(biāo)量磁位(磁標(biāo)位)的引入　在無(wú)電流( J = 0)的空間中，有,,標(biāo)量磁位,A圖所示區(qū)域不能滿足上述條件 B圖所示區(qū)域可以滿足上述條件,3.9 靜磁場(chǎng)的標(biāo)量磁位及其微分方程,磁荷觀點(diǎn)與分子電流觀點(diǎn) 分子電流觀點(diǎn)：分子形成一個(gè)分子電流，分子電流有磁矩，受到外場(chǎng)影響時(shí)，顯出宏觀電流和磁矩 磁荷觀點(diǎn)：分子是由正負(fù)磁荷組成的磁偶極子，在外場(chǎng)影響下，出現(xiàn)宏觀磁荷分布 磁荷是不存在的。但是磁偶極子與分子電流的磁矩具有相

40、似性，所以磁荷觀點(diǎn)所得結(jié)果有某些情況下仍然可用 用磁荷觀點(diǎn)討論介質(zhì)的磁化,介質(zhì)極化　　　　　　　　磁荷觀點(diǎn),,,標(biāo)量磁位的微分方程,標(biāo)量磁位的邊界條件,,靜電場(chǎng)　　　　　　　　磁荷觀點(diǎn),,磁荷觀點(diǎn)結(jié)果與靜電場(chǎng)結(jié)果的比較,,,,,,,,靜電　 E D P ? 　?0　　?P,磁荷　 H 　B ?0M ?m 　 ?0　　?m,例3-17 半徑為a、長(zhǎng)為l的