《模態(tài)分析與綜合技術》04復雜振動系統(tǒng)-02有限元法一般原理和表達格式

1、第6章 FEM一般原理和表達格式,6.1 引言 本章將通過彈性力學變分原理建立彈性力學問題有限單元法的表達格式。最小勢能原理的未知場變量是位移。以結(jié)點位移為基本未知量、并基于最小勢能原理建立的有限單元稱為位移元，它是有限單元法中最常用的單元。本章以平面問題3結(jié)點三角形單元為例，給出有限元求解方程的一般原理和詳細步驟。并進而引出廣義坐標有限單元法的一般格式。有了有限元法的一般表達格式，原則上說可以推得對任一種單元的表達格

2、式。 對于除3結(jié)點三角形而外的單元，如何通過廣義坐標導出單元的插值函數(shù)也進行討論，這對于今后研究和建立各類形式的單元是非常有用的。,,6.2 常應變?nèi)切危ㄆ矫鎽栴}） 由于三角形單元對復雜邊界有較強的適應能力，可以用其逼近任何形狀，因此很容易將一個平面結(jié)構離散成有限個三角形單元。故在二維問題的分析中，三角形單元是最為流行的單元。,6.2.1 單元劃分　　將ABCD劃分（離散）為8個三角形（單元

3、），編號①—⑧。節(jié)點編號1—9。建立坐標系后，不難定出各節(jié)點的坐標（xi, yi）。,右圖為一邊長為a、厚度為t的正方形薄板。其中AB邊固定，BC、CD邊自由，AD邊作用均布壓力q。以對這一問題為例，說明平面應力問題有限元分析的步驟。,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2.2 單元分析 任取一個一般性的單元，如圖所示。三個節(jié)點的編號為i, j, k。節(jié)點位移為( ui, vi )、( uj, vj ) 、( uk,

4、vk )　，單元節(jié)點位移為：,1 單元位移模式和插值函數(shù) 假定單元內(nèi)一點（x,y）位移u, v 是x, y的一次函數(shù):,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?a1～ a6稱為廣義坐標。 在節(jié)點處應有:,可解出：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?其中:,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常

5、應變?nèi)切?當 i, j, k的位置為逆時針排列時，2Δ恒正，且等于三角形單元面積的兩倍。將這些結(jié)果代入,有：,類似可得到,,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?可以合并成,Ni、Nj、Nk稱為單元的插值函數(shù)或形函數(shù)，為x，y的一次函數(shù)。,,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?形函數(shù)具有以下性質(zhì)： (i)在節(jié)點上形函數(shù)的值為：,也就是說在i節(jié)點上Ni=1，在j,k節(jié)點上Ni

6、=0。當x=xi,y=yi時，即在節(jié)點i應有u=ui，由上面得到的單元一點位移與節(jié)點位移關系式：,,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?也必然要求： Ni=1， Nj= Nk=0。同樣利用別的節(jié)點的位移協(xié)調(diào)可以其他兩個形函數(shù)也具有同樣的性質(zhì)。,(ii)在任一點，單元的三個形函數(shù)之和應等于1，即（反映單元的剛性位移）：,,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?若形函數(shù)不滿足此要求，則不能反映單

7、元的剛體位移，用以求解必然得不到正確的結(jié)果。,,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?(iii)對于現(xiàn)在的單元，插值函數(shù)是線性的，在單元內(nèi)部及單元的邊界上位移也是線性的，可由節(jié)點上的位移值唯一地確定。由于相鄰單元公共節(jié)點的位移是相等的，因此也就保證了相鄰單元在公共邊界上位移的連續(xù)性。,2　 單元的應變、應力 利用：,不難求得,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?其中,S稱為應力矩陣

8、。　　在在假定單元內(nèi)u、v是一次函數(shù)的前提下，單元內(nèi)的應變和應力將是常數(shù)，故這種單元又常應變?nèi)窃?,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?6.2.3 利用最小位能原理建立有限元方程,對于每個單元，其最小位能原理的總位能泛函為：,f是作用在單元體內(nèi)的體積力（密度）；T是作用在單元邊界上的面積力（密度）。,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常

9、應變?nèi)切?對于離散模型，系統(tǒng)位能是各單元位能的和，即有：,對單元使用最小位能原理，即：,可以得到單元的有限元方程：,其中：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?稱為單元剛度矩陣。對于3節(jié)點三角形單元，應變矩陣B為常量陣，因此有：,單元剛度矩陣每一個元素Keij的意義為：當?shù)趈個節(jié)點位移為1而其他節(jié)點位移為0時，在第i個節(jié)點上需施加的力的大小。單元的剛性越大，則使節(jié)點產(chǎn)生單元位移所需施加的節(jié)點力就越大。因此單元剛

10、度矩陣反映了單元剛性的大小。,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?稱為體力f 和面力T的單元等效節(jié)點載荷列陣。,稱為單元等效節(jié)點載荷列陣。,單元剛度矩陣具有如下特性： (1) 對稱性（作用與反作用）； (2) 奇異性（無約束） ，即不存在逆矩陣（節(jié)點力線性相關）。 (3) 主元恒為正（力與位移同向）,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)?/p>

11、形,單元的單位體積重量為r，如圖所示。則有：,根據(jù)：,(1) 均質(zhì)等厚單元的自重,有：,,下面給出常見的兩種載荷的等效結(jié)果：,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?自重的等效節(jié)點載荷是：,其中每個節(jié)點的等效載荷是：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?沿x方向作用在ij邊，分布集度為q,如圖所示。則邊上的面力為：,(2) x方向均布壓力,利用前面類似體積力的單元節(jié)點載荷等效過程，可很容易得單元

12、等效節(jié)點載荷為：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?上面例子中單元①和②的邊上作用著均布的外載荷，可以把它們的合力平分到兩節(jié)點，如圖所示。,,,其中：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?將單元節(jié)點位移u用結(jié)構節(jié)點位移a表示：,G為位置轉(zhuǎn)換矩陣（定位矩陣）。,前面已經(jīng)提到，離散結(jié)構總的位能等于各單元位能之和：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?使用最小位能原理，

13、整個離散系統(tǒng)的總位能對結(jié)構節(jié)點位移的變分為0，可以得到系統(tǒng)的有限元求解方程：,將上面的坐標變換，即從單元節(jié)點位移（局部）轉(zhuǎn)換到整體節(jié)點位移，代入上面總位能表達式，有：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?其中：,稱為結(jié)構整體剛度矩陣。,稱為結(jié)構節(jié)點載荷列陣。,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?6.2.4 解方程獲得位移及應力 解上述方程可得到各非約束自由度的位移，再

14、由,可求得各單元的應力。,,最小位能原理是具有附加條件的變分原理，它要求場函數(shù)要滿足幾何方程和位移邊界條件，為了實現(xiàn)位移約束條件：,這些自由度對應的行和列可以不必組裝。,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.2 常應變?nèi)切?第2節(jié)給出了三角形單元的廣義坐標有限元法的具體的實施步驟。 但在用有限元法進行分析問題時，所遇到的單元種類繁多，如二維單元有三角形單元、矩形單元，三維單元有四面體、五面體或平行六面體等，即使同樣形

15、狀的單元還可有不同的節(jié)點數(shù)目。 如何選擇合適的單元進行計算？主要要考慮以下因素：求解問題的類型、計算精度要求及計算量等。 下面給出廣義坐標有限元法的一般步驟。,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.3 廣義坐標有限元法的一般步驟,1 以廣義坐標b為待定參數(shù)，給出單元內(nèi)位移u:,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.3 廣義坐標有限元法的一般步驟,單元的位移模式一般采用以廣義坐標為待定參數(shù)的有限項

16、多項式作為近似函數(shù)，若選取有限項多項式插值函數(shù)應考慮以下幾點： (1) 廣義坐標的個數(shù)應與節(jié)點自由度數(shù)相等；　 (2) 常數(shù)項（剛體位移）和一次項（常應變）必須完備；,2 用節(jié)點位移ae表示廣義坐標b:,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.3 廣義坐標有限元法的一般步驟,(3) 多項式的選取應由低階到高階，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。 一般來說，對于單元每邊具有２個端節(jié)點的應保證一

17、次完全多項式；每邊有３個節(jié)點應取二次完全多項式。,3 用單元節(jié)點位移ae表示單元位移函數(shù)u，得到插值函數(shù)N,4 以單元節(jié)點位移ae表示單元應變和應力：,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.3 廣義坐標有限元法的一般步驟,5 用最小位能原理建立離散體系的平衡方程,6 引入邊界條件,7 解系統(tǒng)方程得單元節(jié)點位移及進一步得應變和應力,,第6章 FEM一般原理和表達格式,6.3 廣義坐標有限元法的一般步驟,一管道系統(tǒng)，具體結(jié)構和參數(shù)見系