one電磁學(xué)與電磁波

1、第一章 矢量分析,1.1 場(chǎng)的概念 1.2 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度 1.3 矢量場(chǎng)的通量和散度 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 1.5 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系 1.6 亥姆霍茲定理,1.1 場(chǎng)的概念,1.1.1 矢性函數(shù),在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)P， 它是一個(gè)既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實(shí)數(shù)矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫一條帶有

2、箭頭的直線段，直線段的長度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量， 如電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H、速度v等等。,若某一矢量的模和方向都保持不變， 此矢量稱為常矢，如某物體所受到的重力。而在實(shí)際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。 設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢，對(duì)于某一區(qū)間G［a, b］內(nèi)的每一個(gè)

3、數(shù)值t, A都有一個(gè)確定的矢量A (t)與之對(duì)應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為,而G為A的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數(shù)A (t)也可用其坐標(biāo)表示為,其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。,1.1.2 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng),如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。換句話說

4、， 在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)， 除有限個(gè)點(diǎn)和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時(shí)間無關(guān)，則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)； 若該物理量與時(shí)間有關(guān)，則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。,在研究物理系統(tǒng)中溫度、 壓力、 密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來描述， 這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))

5、所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)， 如溫度場(chǎng)T(x, y, z)、電位場(chǎng)φ(x, y, z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中， 其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需要用一個(gè)矢量來描述， 因此稱為矢量場(chǎng)，例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。,標(biāo)量場(chǎng)φ(x, y, z)的等值面方程為,圖 1-1 矢量場(chǎng)的矢量線,例1-1 求數(shù)量場(chǎng)φ =(x+y)2-z通過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，則

6、該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為,或,例1-2 求矢量場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為,從而有,解之即得矢量方程,c1和c2是積分常數(shù)。,,1.2 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度,1.2.1 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù),圖 1-2 方向?qū)?shù)的定義,的極限存在，則稱此極限為函數(shù)φ(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為,若函數(shù)φ=φ(x, y, z)在點(diǎn)M0(x0, y

7、0, z0)處可微，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)φ在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為,證明：M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函數(shù)φ在M0處可微，故,兩邊除以ρ，可得,當(dāng)ρ趨于零時(shí)對(duì)上式取極限，可得,例1-3 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。  解：l方向的方向余弦為,而,

8、數(shù)量場(chǎng)在l方向的方向?qū)?shù)為,在點(diǎn)M處沿l方向的方向?qū)?shù),1.2.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,標(biāo)量場(chǎng)φ(x, y, z)在l方向上的方向?qū)?shù)為,在直角坐標(biāo)系中，令,矢量l°是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點(diǎn)處的一常矢量。 由上式顯然可見，當(dāng)l與G的方向一致時(shí)，即cos(G, l°)=1 時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為,在標(biāo)量場(chǎng)φ(M)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)φ(M)在M點(diǎn)處變

9、化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標(biāo)量場(chǎng)φ(M)在M點(diǎn)處的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐標(biāo)系中， 梯度的表達(dá)式為,梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為,設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場(chǎng)，很容易證明下面梯度運(yùn)算法則的成立。,例1-4 設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模， 即 ， 證明：,證：,因?yàn)?所

10、以,例1-5 求r在M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解： 由例1-2知r的梯度為,點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1, y=0, z=1,,所以r在M點(diǎn)處的梯度為,r在M點(diǎn)沿l方向的方向?qū)?shù)為,而,所以,例1-6 已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x, y, z)處產(chǎn)生的電位為 ，其中矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是E=-▽?duì)?，求電?chǎng)強(qiáng)度E。 ,解：

11、,根據(jù)▽f(u)=f′(u)·u的運(yùn)算法則，,,1.3 矢量場(chǎng)的通量和散度,1.3.1 矢量場(chǎng)的通量,將曲面的一個(gè)面元用矢量dS來表示，其方向取為面元的法線方向， 其大小為dS，即,n是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況：對(duì)開曲面上的面元，設(shè)這個(gè)開曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定繞行l(wèi)的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如圖1-3(a)所示；,圖 1-3 法線方向的取法,將曲面S各面元上的A

12、3;dS相加，它表示矢量場(chǎng)A穿過整個(gè)曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：,如果曲面是一個(gè)封閉曲面，則,1.3.2 矢量場(chǎng)的散度,稱此極限為矢量場(chǎng)A在某點(diǎn)的散度，記為divA，即散度的定義式為,矢量場(chǎng)A的散度可表示為哈密頓微分算子▽與矢量A的標(biāo)量積， 即,1.3.3 散度定理,例1-7 已知矢量場(chǎng)r=xex+yey+zez，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。 解：,例1-8

13、在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的電位移矢量為,求穿過原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖 1-4)。,圖 1-4 例 1-8 圖,解：,由于球面的法線方向與D的方向一致，所以,例1-9 原點(diǎn)處點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位移矢量 ，試求電位移矢量D的散度。,解：,例 1-10 球面S上任意點(diǎn)的位置矢量為r=xex+yey+zez，求,解： 根據(jù)散度定理知,而r的散度為,所

14、以,,1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度,在力場(chǎng)中，某一質(zhì)點(diǎn)沿著指定的曲線c運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場(chǎng)所做的功可表示為力場(chǎng)F沿曲線c的線積分，即,圖 1-5 矢量場(chǎng)的環(huán)量,1.4.2 矢量場(chǎng)的旋度,1.4.3 斯托克斯定理,因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量，因此矢量場(chǎng)在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和， 即,此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方

15、向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。,例1-11 求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量(見圖 1-6)。,圖 1-6 例 1-11 圖,解： 由于在曲線l上z=0，所以dz=0。,例1-12 求矢量場(chǎng)A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。 解： 矢量場(chǎng)A的旋度,在點(diǎn)M(1

16、，0，1)處的旋度,n方向的單位矢量,在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度,例 1-13 在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為,求自由空間任意點(diǎn)(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度▽×E。,解：,,1.5 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系,1.5.1 圓柱坐標(biāo)系,圖 1-7 圓柱坐標(biāo)系,哈密頓微分算子▽的表示式為,拉普拉斯微分算子▽ 2的表示式為,1.5.2 球面坐標(biāo)系,圖 1-8 球面坐標(biāo)系,故拉梅系數(shù)分別為,哈密頓微分算

17、子▽的表示式為,拉普拉斯微分算子▽ 2的表示式為,例1-14 在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q和-q的靜電場(chǎng)中，當(dāng)距離r>>l時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為,求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r, θ, φ)。,解： 在球面坐標(biāo)系中，哈密頓微分算子▽的表達(dá)式為,因?yàn)?,1.6 亥姆霍茲定理,亥姆霍茲定理的簡單表達(dá)是：若矢量場(chǎng)F在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度

18、和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和， 即,假設(shè)在無限空間中有兩個(gè)矢量函數(shù)F和G，它們具有相同的散度和旋度。但這兩個(gè)矢量函數(shù)不等，可令,由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根據(jù)矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定，那么矢量g應(yīng)該為零矢量，也就是矢量F與矢量G是同一個(gè)矢量。,因?yàn)楱?#183;F= ▽ ·G， 所以,同樣由于▽ ×G= ▽ ×F， 所以,由矢量恒等式▽× ▽?duì)?=0, 可令,在無限空間中一個(gè)既有散度

19、又有旋度的矢量場(chǎng)，可表示為一個(gè)無旋場(chǎng)Fd(有散度)和一個(gè)無散場(chǎng)Fc(有旋度)之和：,對(duì)于無旋場(chǎng)Fd來說，▽×Fd=0，但這個(gè)場(chǎng)的散度不會(huì)處處為零。因?yàn)?，任何一個(gè)物理場(chǎng)必然有源來激發(fā)它，若這個(gè)場(chǎng)的旋渦源和通量源都為零，那么這個(gè)場(chǎng)就不存在了。因此無旋場(chǎng)必然對(duì)應(yīng)于有散場(chǎng)，根據(jù)矢量恒等式▽ × ▽ φ =0，可令(負(fù)號(hào)是人為加的),對(duì)于無散場(chǎng)Fc, ▽·Fc=0，但這個(gè)場(chǎng)的旋度不會(huì)處處為零，根據(jù)矢量恒等式▽