2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)——電子教學(xué)教案,西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院航空結(jié)構(gòu)工程系,第五章 位移法Displacement Method ofStructure Analysis,第一講,位移法概述桿元素與桁架的位移法求解,5.1 位移法概述,以結(jié)點位移(廣義位移)作為基本未知量,寫出由未知位移表示的應(yīng)變,由物理方程寫出仍由未知位移表示的應(yīng)力表達(dá)式,最后由平衡條件解出所有的未知位移,這就是位移法的基本思路。,在計算機(jī)科學(xué)飛速發(fā)展的今

2、天,適合于計算機(jī)應(yīng)用的“有限元素法”正在逐步取代其他方法而成為飛行器結(jié)構(gòu)分析方法的主流,并已發(fā)展為一門獨立的新興學(xué)科。本章所討論的位移法,是以矩陣運算作為數(shù)學(xué)工具來處理結(jié)構(gòu)位移計算的,故也稱為矩陣位移法,它是有限元素法的基礎(chǔ)。,矩陣位移法主要內(nèi)容包括兩個部分:,(1)單元分析,即將結(jié)構(gòu)分解為有限個較小的單元,進(jìn)行所謂離散化。對于桿系結(jié)構(gòu),一般以一根桿件或桿件的一段作為一個單元,分析單元的內(nèi)力與位移之間的關(guān)系,建立單元剛度矩陣。,(2)整

3、體分析,即將各單元又集合成原來的結(jié)構(gòu),要求各單元滿足原結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件,從而建立整個結(jié)構(gòu)的剛度方程,以求解原結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力。,在桿系結(jié)構(gòu)中,若單元只受軸力作用,則稱為桿元素,如桁架;若單元不僅受軸力,還受剪力和彎矩作用,則稱為梁元素,如梁、剛架等。,由于桿元素和梁元素是最簡單的元素,對這兩個元素的分析,既有鮮明的物理意義,又能反映位移法的實質(zhì)。所以,本章主要對桿元素和梁元素進(jìn)行分析,并用于桁架和剛架的位移法求解。,5.2

4、桿元素與桁架位移法求解,本節(jié)將由最簡單的桿元素和桁架開始,逐步介紹矩陣位移法的基本原理和計算過程 。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,對于圖示桁架,編號為1、2、3、4、5、6的鉸結(jié)點稱為結(jié)點,兩結(jié)點之間的鏈桿稱為桿元素,如桿元素12、桿元素23等。,位移法中,將以每個結(jié)點處的位移(結(jié)點位移)作為基本未知量,建立關(guān)于未知結(jié)點位移的方程,首先求出結(jié)點位移,然后利用求出的結(jié)點位移,再求出其他的物理量(如元素應(yīng)變、應(yīng)力、內(nèi)力等)。,在圖示坐

5、標(biāo)系中,由于每一桿元素的方位不盡相同,為具普遍性,任取其中一桿元素i j,首先來研究桿元素的平衡關(guān)系。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,一、桿元素的平衡方程及剛度矩陣,定義:,為桿元素在局部坐標(biāo)系下的結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣。,桿元素,結(jié)點上的結(jié)點位移分別記為 和 ,與結(jié)點位移相對應(yīng)的結(jié)點力分別記為 和 ,結(jié)點位移和結(jié)點力一律以順坐標(biāo)系的正方向為正。,如圖所示的桿元素 i j ,建立元素局部坐標(biāo)系

6、 , 軸沿桿元素的軸線由 i 結(jié)點指向 j 結(jié)點,桿長為Lij 。,5.2 桿元素與桁架位移法求解,關(guān)鍵:將桿元素的其他物理量(如元素內(nèi)位移、應(yīng)變、應(yīng)力、結(jié)點力,應(yīng)變能等)用結(jié)點位移表示。,(1)元素內(nèi)位移,元素內(nèi)各點的位移叫做內(nèi)位移。桿元素的內(nèi)位移可用結(jié)點位移通過線性插值得到:,式中, Ni (x)、Nj (x) 稱為位移形狀函數(shù); [N(x)] 稱為元素的位移形狀函數(shù)矩陣。,對于桿元素,其位移形狀

7、函數(shù)具有如圖所示的形狀:,式中,[B]稱為元素的幾何矩陣。,(2)變形協(xié)調(diào)條件與幾何矩陣,利用變形協(xié)調(diào)條件,求元素應(yīng)變,并用節(jié)點位移表示:,式中,[ S ]稱為元素的應(yīng)力矩陣。,(3)物理關(guān)系與應(yīng)力矩陣,(4)桿元素軸力N,對于等面積 A 的桿元素,其軸力用節(jié)點位移表示為,對于桿元素,[D] = E,應(yīng)力可以用節(jié)點位移表示為,利用物理關(guān)系, ,[D]為元素彈性矩陣,由材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式得到。,作

8、用在桿元素上的結(jié)點力與桿軸力,滿足平衡條件:,(5)平衡條件與剛度矩陣,,上式就是位移法中桿元素的平衡方程,也稱為剛度方程。它表示元素結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系式。,或,,(5)平衡條件與剛度矩陣,,式中的,稱為桿元素在局部坐標(biāo)系中的剛度矩陣。剛度矩陣將元素的結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣聯(lián)系了起來。,kii、kij、kji 和 kjj 稱為剛度矩陣系數(shù),簡稱剛度系數(shù)。,或,,將平衡方程展開后,得到:,,可見,剛度系數(shù)的物理意義為:,對線彈性

9、系統(tǒng):kij = kji ( i≠j )因此,元素剛度矩陣為一對稱方陣 。,平衡方程的物理意義:,,i 點的位移在 i 點上引起的結(jié)點力。,j 點的位移在 i 點上引起的結(jié)點力。,i 點的位移在 j 點上引起的結(jié)點力。,j 點的位移在 j 點上引起的結(jié)點力。,應(yīng)注意以下幾點:,(1)剛度矩陣 的列對應(yīng)于結(jié)點位移,行則對應(yīng)于結(jié)點力;,(2)根據(jù)元素平衡條件,必定有:,由此可以看出,由于結(jié)點位移 都可以有值,所以元素

10、是可移動的,結(jié)點位移列陣中包含有剛體運動,用結(jié)點位移表示的平衡方程是奇異的,剛度矩陣 的行列式等于零。這就意味著在去除剛體運動自由度之前,平衡方程不能直接用來求解位移。,元素剛度方程也可以通過虛功原理導(dǎo)出。,二、元素剛度矩陣的坐標(biāo)變換,由于結(jié)構(gòu)是由許多不同元素組成的,而各個元素的局部坐標(biāo)系又是不全相同的,用位移法求解結(jié)點位移時,必須規(guī)定統(tǒng)一的坐標(biāo)系,各結(jié)點位移的矢量必須按統(tǒng)一的坐標(biāo)系來定義,便于建立全結(jié)構(gòu)的平衡方程。因

11、此,由各個元素局部坐標(biāo)系定義的元素結(jié)點位移和元素剛度矩陣必須向一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換,統(tǒng)一的坐標(biāo)系稱之為“總體坐標(biāo)系”或“結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系”。,總體坐標(biāo)系,,考察圖示平面桿元素的情況,將 x、y 坐標(biāo)系定義為總體坐標(biāo)系,而將 、 坐標(biāo)系定義為局部坐標(biāo)系,總體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系之間的夾角為θ(以逆時針方向為正)。,二、元素剛度矩陣的坐標(biāo)變換,元素在局部坐標(biāo)下的結(jié)點位移列陣、結(jié)點力列陣:,元素剛度矩陣擴(kuò)階后,變?yōu)椋?局部坐標(biāo)系中的結(jié)點位

12、移與總體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移,有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系:,二、元素剛度矩陣的坐標(biāo)變換,將其寫成矩陣形式:,則對結(jié)點位移:,記: , ,則有:,分別表示元素在總體坐標(biāo)系下的結(jié)點位移列陣和結(jié)點力列陣。,T 矩陣稱為坐標(biāo)變換矩陣。,,相應(yīng)地,對結(jié)點力:,元素在局部坐標(biāo)中的作功與元素在總體坐標(biāo)中的作功是相等的,據(jù)此,有:,則元素在總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣的變換式為:,即,元素在總體坐標(biāo)系中的剛度方程為:,需要指

13、出:由于T 矩陣中僅僅包含坐標(biāo)的傾角,當(dāng)坐標(biāo)平移時,對剛度矩陣沒有影響。因而如果僅平行移動坐標(biāo)軸,剛度矩陣中元素值不變。,元素剛度矩陣的轉(zhuǎn)換:,平面桿元素在總體坐標(biāo)下的剛度矩陣的展開式:,三、全結(jié)構(gòu)平衡方程及結(jié)構(gòu)總剛度矩陣,利用結(jié)點的力系平衡,建立結(jié)點平衡方程,從而得到全部結(jié)點的平衡方程。,例如圖示平面桁架,考慮結(jié)點2的平衡。作用在結(jié)點2上的沿總體坐標(biāo)系軸正向的外載荷為X 2、Y 2,與結(jié)點2相連的桿元素的結(jié)點力如圖所示,桿元素

14、給結(jié)點2提供的力與桿元素的結(jié)點力大小相等,但方向相反,在結(jié)點2處形成平衡的共點力系。,結(jié)點2上的平衡方程為,或?qū)懗桑?利用桿元素的平衡方程,可以得到桿元素的結(jié)點力。,例如桿元素1-2的平衡方程為:,由此得到桿元素1-2在結(jié)點2處的結(jié)點力為:,結(jié)構(gòu)在結(jié)點2處的平衡方程,就可寫作:,一般地,對于結(jié)構(gòu)中的結(jié)點 i 的平衡方程,可寫作:,設(shè)全結(jié)構(gòu)有 N 個結(jié)點,將 N 個結(jié)點的平衡方程聯(lián)立起來,組成全結(jié)構(gòu)的平衡方程為:,簡記為:,稱之為

15、全結(jié)構(gòu)的平衡方程或總剛度方程,[K ]稱之為全結(jié)構(gòu)的剛度矩陣,簡稱為總剛度矩陣。,四、總剛度矩陣[K ]的組集,總剛度矩陣[K ]實際上是由各個元素的剛度矩陣組集而成的。元素的剛度矩陣只需按其結(jié)點位移在總剛度矩陣中的位置“按號就座”。,設(shè)全結(jié)構(gòu)有 N 個結(jié)點,這 N 個結(jié)點的結(jié)點位移列陣為:,按結(jié)點位移列陣,排列結(jié)點外載荷列陣。,四、總剛度矩陣[K ]的組集,對于元素i j 的剛度矩陣, 遵照“按號就座”的原則,放置在總剛度矩陣[K ]

16、中的{δ i } 和{δ j } 所在行和列的交叉點處。,,,,,,,,,注意:剛度系數(shù)在此疊加。,五、總剛度方程的求解,總剛度方程在沒有引入位移約束條件之前,是不能求解的。這是因為,結(jié)構(gòu)在沒有引入位移約束條件之前是自由體,整體上存在3個(空間體6個)靜力平衡條件,結(jié)點力列陣{P}中的項并不是完全獨立的,或剛度矩陣[ K ]中的相關(guān)行和列有線性相關(guān)性,導(dǎo)致剛度矩陣的逆陣不存在,是奇異矩陣。,在結(jié)構(gòu)分析中,采用引入邊界條件的辦法刪去相關(guān)的

17、行(列)。如果一個結(jié)構(gòu)的剛體位移被限制,則與限制位移相對應(yīng)的支反力自行保持全結(jié)構(gòu)的平衡,也即這些支反力必然是其他外力的線性組合,而它所對應(yīng)的行(列),恰恰是線性相關(guān)的行列。位移邊界條件處理之后,線性相關(guān)的行(列)就刪去,處理之后的總剛度矩陣[ K ]變成可逆的,此時,總剛度方程才能求解。,對零位移邊界條件,從總剛度矩陣中刪去零位移所對應(yīng)的行和列,這種方法稱為刪行刪列法。,六、桁架的位移法求解,【例題1】試用位移法求圖示桁架中3點的位移以

18、及元素內(nèi)力和支反力。設(shè)全部桿件的拉伸剛度均為EA。,解:以此例說明位移法的解題步驟。,1、結(jié)點編號、元素編號。,2、建立總體坐標(biāo)系xoy 。,3、建立元素在總體坐標(biāo)系xoy 中的剛度矩陣。,元素1-2,長度為L,,,元素1-3,長度為,元素2-3,長度為L,,,4、組集總剛度矩陣,建立總剛度方程。,按編號順序列出結(jié)點位移和結(jié)點力列陣:,,5、引入位移約束條件:,消除剛體位移。,簡單做法:從總剛度方程中,刪去等式兩端零位移所在的行和列。,

19、6、解引入位移約束條件后的總剛度方程,求出結(jié)點位移。,,7、求支反力。,可以從總剛度方程中,求出支反力。,,8、求元素內(nèi)力,即桿軸力。,方法1:將已求出的結(jié)點位移代入到元素剛度方程中,可得到元素的結(jié)點力,然后合成得到桿的軸力。,對于元素i-j :,注意:這里需要根據(jù)結(jié)點力的正負(fù),來判斷桿子是受拉、還是受壓。,,8、求元素內(nèi)力,即桿軸力。,方法2:將總體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移,轉(zhuǎn)化到元素局部坐標(biāo)系中,在元素坐標(biāo)系中計算桿的軸力。,對于元素i-

20、j :,并且:Nij > 0,桿受拉; Nij > 0,桿受壓。,【例題2】用位移法求圖示桁架中結(jié)點1、3的位移,以及元素內(nèi)力,設(shè)全部桿件的拉伸剛度均為EA。,解:,1、結(jié)點編號、元素編號。,2、建立總體坐標(biāo)系xoy ,考慮到對稱性,取一半結(jié)構(gòu)來分析。,3、建立元素剛度矩陣。,元素2-1,,元素2-3,,元素1-3,,4、組集總剛度矩陣,建立總剛度方程。,按編號順序列出結(jié)點位移和結(jié)點力列陣:,考慮到位移約束條件:,因為要從總

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