復變函數(shù)ppt第一章

1、1,復變函數(shù)論,主講人 周金華,2,第一章　復 數(shù),復平面,復數(shù)的球面表示 擴充復平面,第一章總結與習題,,,,,復數(shù)的幾何意義,復數(shù)的定義及其代數(shù)運算,序言,引言,3,復變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀.1774年,Euler(歐拉)在他的一篇論文中考慮了由復變函數(shù)的積分導出的兩個方程.而比他更早時,法國數(shù)學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中,就已經(jīng)得到了它們.因此,后來人們提到這兩個方程,把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”.到了十九

2、世紀,上述兩個方程在Cauchy(柯西)和Riemann(黎曼)研究流體力學時,作了更詳細的研究,所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件(C-R條件)”.,,,,,序 言,4,,,,,復變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀,就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣,復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學.當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支,并且稱為這個世紀的數(shù)學享受,也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一.,

3、復變函數(shù)論在應用方面,涉及的面很廣,有很多復雜的計算都是用它來解決的.比如物理學上有很多不同的穩(wěn)定平面場, 對它們的研究是用復變函數(shù)來解決的.,5,,,,,比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候,就用復變函數(shù)論解決了飛機機翼的結構問題,他在運用復變函數(shù)論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻.,復變函數(shù)論不但在其他學科得到了廣泛的應用,而且在數(shù)學領域的許多分支也都應用了它的理論.它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論

4、和數(shù)論等學科,對它們的發(fā)展很有影響.,6,,,,,復數(shù)的概念起源于求方程的根,在二次、三次代數(shù)方程的求根中就出現(xiàn)了負數(shù)開平方的情況.在很長時間里,人們對這類數(shù)不能理解.但隨著數(shù)學的發(fā)展,這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來.復數(shù)的一般形式是: a+bi,其中i是虛數(shù)單位.,以復數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù),而與之相關的理論就是復變函數(shù)論.,7,,,,,解析函數(shù)是復變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù),復變函數(shù)論主要就研究復數(shù)域上的解

5、析函數(shù),因此通常也稱復變函數(shù)論為解析函數(shù)論.,復變函數(shù)是以研究復變量之間的相互依賴關系為主要任務的一門數(shù)學課程.它與高等數(shù)學中的許多概念、理論和方法有相似之處.但又有其固有的特性.因此充分運用已學過的高等數(shù)學知識,緊緊抓住復變函數(shù)的固有特性,是把本門課程學好的關鍵 .,8,第一節(jié)　復數(shù)的定義及其代數(shù)運算,復數(shù)的運算及復數(shù)域,例2,復數(shù)的模與共軛復數(shù),,,,,復數(shù)的概念及表示,教學要求,例1,例3,例4,9,引 言,,,,,本

6、章的內(nèi)容對以后學習將起到重要的作用.從這章開始,我們將學習一個更大的數(shù)域—復數(shù)域!大部分理論是微積分內(nèi)容的延伸,因此學習本課程,要求我們回顧微積分的內(nèi)容,比較相同和不同的地方.,10,教學要求,,,,,教學要求:對于概念和理論方面,從高到低分別用“理解”,“了解”,“知道”三級來表述; 對于方法,運算和能力方面,從高到低分別用“熟練掌握”,“掌握”,“能/會”三級來表述.,11,,復數(shù)出現(xiàn)的必要性:我們熟悉的實數(shù)已經(jīng)

7、不能滿足需要了，如方程,就沒有實數(shù)解,甚至我們知道,在實數(shù)范圍內(nèi),這個方程沒有意義！要使(1)有意義,需要把數(shù)的范圍擴大,下面我們學習復數(shù).,(1),復數(shù)的概念及表示,,,,,12,,,,,形如,,,,,在復數(shù)中,引進記號“i ”(虛數(shù)單位),定義 “i2 = -1 ”.,的數(shù),稱為復數(shù).其中實數(shù)x和y分別,稱為復數(shù)的實部和虛部,常記為,復數(shù),13,,,,,(1)加(減)法,復數(shù)的運算及復數(shù)域,(2)乘法,(3)除法,14,,

8、,,,求 的和,差,積,商.,參考解答,15,,,,,引進四則運算后的全體復數(shù)稱為復數(shù)域.,注:實數(shù)域 復數(shù)域,復數(shù)域也有自己的特點.,在復數(shù)域上,復數(shù)的運算可以和實數(shù)類似地可以合并同類項、作多項式乘法、分母有理化等.,復數(shù)域,16,,,,,,由于復數(shù)z與從原點到z的向量的對應,稱向量的長度為復數(shù)z的模(或絕對值),記作 |z| (或用 r 表示).,復數(shù)的模與共軛復數(shù),復數(shù)的模,

9、計算式為,17,,,,,,,,,,z1,z2,z1+z2,,,x1+x2,y1+y2,,z1-z2,模的性質(zhì),18,,,,,復數(shù)與共軛復數(shù)、模之間有下面的關系:,共軛復數(shù),19,,求,,,,,設,證明若,參考解答,參考解答,參考解答,20,第二節(jié)　復數(shù)的幾何意義,輻角,例3,,,,,復平面與復數(shù)加法的幾何意義,例1,復數(shù)乘(除)法的幾何意義,復數(shù)的冪與方根,例6,例8,復數(shù)的三種表示形式,例2,exe,思考,教學要求(見第一節(jié) ),ex

10、e,例4,例5,例7,21,,,,,復平面與復數(shù)加法的幾何意義,如圖,1.一個復數(shù)z和一對有序?qū)崝?shù)(x,y)對應,因此平面上的點與全體復數(shù)之間可以建立一一對應關系.,2.一個復數(shù)z與從原點到z的向量也對應.,．,,r,,22,,,,,P,Q,復數(shù)z可以從幾何上來刻畫:,(1) |z|=|oM|=r,(2) Rez=x,Imz=y (投影),,,,,,z1,z2,z1+z2,,,x1+x2,y1+y2,,z1-z2,23,,,,,求下

11、復數(shù)的模.,參考解答,24,,,,,輻角,輻角,記作 ,任何非零復數(shù)都有無窮多個 的輻角.,25,,,,,,稱滿足條件 的一個值為Argz的主值，也稱為z的主輻角.,輻角主值,,26,,,,,,argz,,,27,,,,,求,解答參考,解答參考,28,,,,,復數(shù)的三種表示形式,(1) 解析形式,z=x+iy,(2) 三角形式,(3) 指數(shù)形式,,,29,,,,,將下復數(shù)化為指數(shù)形式,參考解答,

12、參考解答,參考解答,30,將下復數(shù)化為指數(shù)形式,,,,,31,,,,,復數(shù)乘(除)法的幾何意義,用復數(shù)的指數(shù)形式表示復數(shù)的乘法和除法很方便,如,復數(shù)的乘/除法的幾何意義從圖上看更直觀.,,32,,,,,應理解為集合相等的關系.,33,,,,,求復數(shù) 的模和輻角主值.,參考解答,參考解答,34,,,,,,已知正方形的兩個對角頂點為(0,0),(1,1),求另一對頂點.,,,,(1,1),,x,y,Ref：

13、(0,1),(1,0),35,,,,,復數(shù)的冪與方根,利用兩個復數(shù)的乘法,很快可以得到n個復數(shù)的 乘積的模和輻角的計算.,模:,輻角:,36,,,,,利用指數(shù)形式,有De Moivre(德摩弗)公式,37,,,,,由于n次冪與n次方根是互逆運算 ,因此定義復數(shù)的開n方的運算如下,這些根記作,,n次方根,38,,,,,由于復根的成對性，以及習慣用0和正數(shù)表示下標，事實上只要取k=0,1,…,n-1即可以了.即,39,,,,,由上面

14、的結果知道,這n個根均勻分布以 為半徑的圓周上.,,,,,,,,,,40,,,,,計算 .,,1,,,,1,,,,,,,,,參考解答,41,第三節(jié)　復平面點集,復解析幾何,exe1,例2,例3,,,,,常見的復平面點集,例1,42,,,,,鄰域,,,常用的復平面點集,43,,,,,,內(nèi)點、開集、邊界點、邊界,,,,E,,內(nèi)點,如果 E 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那末E 稱 為開集.,44,,

15、,,,如果在z0的任意一個鄰域內(nèi),都有屬于E的點,也有不屬于E的點,則稱z0為E的邊界點。,點集E的全體邊界組成的集合稱為E的邊界.記為 ??E,,,,,45,,,,,區(qū)域,如果平面點集E滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.,(1) E是一個開集；,(2) E是連通的(即E中任何兩點都可以用完全屬于E的一條折線連結起來.),E加上E的邊界稱為閉域.,,z1?,z2?,,E,,記為?E＝E+?E,46,,,,,有界區(qū)域,,,,

16、,z,x,y,E有界！,o,,E,47,,,,,Jordan曲線,光滑曲線,表示復數(shù)平面上的一條曲線C.,起點z(?),終點z(?),,,z,x,y,,,,C,C的正向:從起點??終點,o,,48,,,,,稱沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲線(Jordan曲線).,簡單曲線自身不相交.,,,重點,,重點,,重點,,,,,,49,,,,,判斷下列曲線是否為簡單曲線?,,,,,簡單閉,簡單不閉,不簡單閉,不簡單不閉,50,,,,,由幾

17、段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線.,（1）光滑曲線上的各點都有切線,（2）光滑曲線可以求長,光滑曲線,特點,51,,,,,復平面上的一個區(qū)域D, 如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于D, 就稱D為單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通域.,,,單連通域,,,,多連通域,,單連通域與多連通域,52,,,,,復解析幾何,在初等解析幾何中,一個圖形的方程可以表示為x與y的關系(解析式),同時也可以

18、用圖形表示(圖示),通過幾個例子來說明這個問題.,在復平面上,這種關系用復數(shù)表示起來有時也是很方便的.這就是復解析幾何.,53,,,,,求下列方程表示的曲線,參考解答,參考解答,參考解答,54,第四節(jié) 復數(shù)的球面表示,擴充復平面,擴充復平面,,,,,復數(shù)的球面表示,教學要求(見第一節(jié) ),55,,,,,單位球面上的點, 除去北極 N 外, 與復平面內(nèi)的點之間存在著一一對應的關系.我們可以用球面上的點來表示復數(shù).,球面上的每一個點 p