7-3空間點線面位置

1、,第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,,1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義．2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理．3．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.,1．平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過 的三點，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們過該點的公共直線．,兩點,不在一條直線上,有

2、且只有一條,2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類,,,,,,,(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．,銳角(或直角),3．直線和平面的位置關(guān)系,4．兩個平面的位置關(guān)系,5.平行公理平行于同一條直線的兩條直線,互相平行．,1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是(　　)A．異面　　　　　　　B．平行

3、C．相交 D．以上都有可能解析：兩直線可相交、異面或平行，選D.答案：D,2．在空間內(nèi)，可以確定一個平面的條件是(　　)A．兩兩相交的三條直線B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相交C．三個點D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點,解析：A中兩兩相交的三條直線，它們可能交于同一個點，也可能不交于同一個點，若交于同一個點，則三直線不一定在同一個平面內(nèi)，故排除A；B中的另外兩條直線可能共面，也可能不共面，當(dāng)

4、另外兩條直線不共面時，則三條直線不能確定一個平面，故排除B；對于C來說，三個點的位置可能不在同一直線上，也可能在同一直線上，只有前者成立才能確定一個平面，因此，排除C；,只有條件D中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點，因而其三個交點不在同一直線上，由公理2知其可以確定一個平面．答案：D,3．已知a、b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b(　　)A．一定是異面直線　　B．一定是相交直線C．不可能是平行直線 D．不可能是相

5、交直線解析：假設(shè)c∥b，∵c∥a，∴“a∥b”與“a，b是異面直線”矛盾．∴假設(shè)不成立，即c不可能平行于b.答案：C,5．對于空間三條直線，有下列四個條件：①三條直線兩兩相交且不共點；②三條直線兩兩平行；③三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交．其中，使三條直線共面的充分條件是________．,4．三條直線兩兩相交，可以確定________個平面．答案：1或3,解析：①中兩直線相交確定平面，則第三條

6、直線在這個平面內(nèi)．②中可能有直線和平面平行．③中直線最多可確定3個平面．④同①.答案：①④,熱點之一 平面基本性質(zhì)的應(yīng)用平面的基本性質(zhì)是通過三個與平面的特征有關(guān)的公理來規(guī)定的．(1)公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法．(2)公理2揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法．,(3)

7、公理3及其三個推論是空間里確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化使得立體幾何的問題得以在確定的平面內(nèi)充分使用平面幾何的知識來解決，是立體幾何中解決相當(dāng)一部分問題的主要的思想方法．,,(2)方法1：證明D點在EF、CH確定的平面內(nèi)．方法2：延長FE、DC分別與AB交于M，M′，可證M與M′重合，從而FE與DC相交．,,G為FA中點知，BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥B

8、G.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點共面．,方法2：如右圖，延長FE，DC分別與AB交于點M，M′，∴M與M′重合，即FE與DC交于點M(M′)，∴C、D、F、E四點共面．,即時訓(xùn)練 如右圖所示，O1是正方體ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點．求證：O1、M、A三點共線．,證明：∵A1C1∩B1D1＝

9、O1，又B1D1?平面B1D1A，A1C1?平面AA1C1C，∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C.∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C?平面AA1C1C，∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C.又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C，∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交線上，由公理3可知O1、M、A三點共線．,熱點之二 兩條直線位置關(guān)系的判定異面直線的判定方法：1．定義法：由定義判

10、斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)．2．反證法：反證法是證異面直線的常用方法．定義法僅僅用來直觀判斷，直觀判斷還可用以下結(jié)論：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．,[例2]　(遼寧高考)如下圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．,

11、[思路探究]　對于第(1)問可以根據(jù)線面角的概念作出線面角，在已知條件“平面ABCD⊥平面DCEF ”下，這個線面角很容易作出來，然后解一個直角三角形即可；第(2)問明確用反證法證明，反設(shè)結(jié)論，根據(jù)線面位置關(guān)系進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾結(jié)果．[課堂記錄]　(1)如下圖所示，取CD的中點G，連接MG，NG.設(shè)正方形ABCD，DCEF的邊長為2，,,(2)假設(shè)直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN.由

12、已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設(shè)不成立．所以ME與BN不共面，它們是異面直線．,[思維拓展]　本題考查線面角的計算及用反證法證明兩條直線異面，試題的核心部分就是用反證法證明兩直線異面，既考查空間線面位置關(guān)系的應(yīng)用又考查重要的數(shù)學(xué)方法——反證法，是高考中立體幾

13、何解答題的一個創(chuàng)新，值得關(guān)注．,即時訓(xùn)練 已知α∩β＝a，b?β，且b∩a＝A，c?α，且c∥a.求證：b和c是異面直線．證明：證法1：如右圖，因為α∩β＝a，b∩a＝A，所以A∈α，又c?α，c∥a.所以A?c，在直線b上任取一點B(不同于A)，則B?α.所以b，c是異面直線．,證法2：假設(shè)b，c共面，則b∥c或b與c相交．(1)若b∥c，又因為a∥c，所以a∥b.與已知b∩a＝A矛盾．故b∥c不成立．(2)若b與c相交，

14、設(shè)交點為O，因b?β，c?α且α∩β＝a，則交點O必在直線a上．所以a與c交于O，與已知a∥c矛盾．所以b與c不相交．由上可知b和c是異面直線．,熱點之三 異面直線所成的角1．求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移．2．求異面直線所成角的步驟：①作：通過作平行線，得到相交直線；②證：證明相交直線所成的角為異面直線所成

15、的角；③求：通過解三角形，求出該角．,[例3]　已知正方體ABCD－A′B′C′D′，(1)求A′B與B′D′所成的角；(2)求AC與BD′所成的角．[思路探究]　求異面直線所成的角關(guān)鍵是根據(jù)題目所給幾何體的特征，利用定義將其轉(zhuǎn)化為一個平面角來解決．,[課堂記錄]　如下圖所示．,(1)連結(jié)BD，A′D.∵ABCD－A′B′C′D′是正方體，∴DD′綊BB′.∴四邊形DBB′D′是平行四邊形．∴DB∥B′D′.∴A′B、DB、A′

16、D是全等的正方形的對角線．∴A′B＝BD＝A′D，即△A′BD是正三角形．∴∠A′BD＝60°.∵∠A′BD是銳角，∴∠A′BD是異面直線A′B與B′D′所成的角．∴A′B與B′D′所成的角為60°.,(2)取DD′的中點E，連結(jié)EO、EA、EC.∵O為BD的中點，∴OE∥BD′.∵∠EDA＝∠EDC＝90°，AD＝DC，∴△EDA≌△EDC.∴EA＝EC.在等腰△EAC中，O是AC的中點，∴EO⊥AC.

17、∴∠EOA＝90°，∠EOA是異面直線AC與BD′所成的角．∴AC與BD′所成的角為90°.,,即時訓(xùn)練,,從近年的高考試題來看，異面直線的判定、異面直線所成角在高考試題中偶爾會出現(xiàn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度屬低中檔題，重點考查異面直線的概念、異面直線所成角的定義及求法，同時考查反證法，以及學(xué)生的空間想象能力．,[例4]　(浙江高考)如右圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120

18、76;，E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點．(1)求證：BF∥平面A′DE；(2)設(shè)M為線段DE的中點，求直線FM與平面A′DE所成角的余弦值．,,,,,,答案：D,,,(2)過點B作BG∥CD，交AD于點G，則∠BGA＝∠CDA＝45°.由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB.從而CD⊥AB.又CD⊥FA，F(xiàn)A∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF