第03章 靜電場的邊值問題1

1、第三章 靜電場的邊值問題,主 要 內(nèi) 容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。,3.1.1 電位微分方程,3-1 鏡像法,靜態(tài)場問題通常分為兩大類：分布型問題和邊值問題。由已知場源（電荷、電流）分布，直接從場的積分公式求空間各點(diǎn)的場分布，稱為分布型問題。如果已知場量在場域邊界上的值，求場域內(nèi)的場分布，則屬于邊值型問題。前面所講靜電場問題就是一些簡單的分布問題。而本節(jié)的鏡像法以及接下來要講的分離變量法都是靜態(tài)場邊值問題的具體

2、求解方法。此外，數(shù)值方法目前也已經(jīng)成為求解靜態(tài)場邊值問題的一種十分普遍有效的手段，尤其目前計算機(jī)技術(shù)的飛速進(jìn)步，更是給數(shù)值方法帶來了十分美好前景。,那么，線性各向同性的均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程式為,該方程稱為泊松方程。,對于無源區(qū)，上式變?yōu)?上式稱為拉普拉斯方程。,不管是電位函數(shù)的泊松方程還是拉普拉斯方程，從數(shù)學(xué)角度來說，它們都是數(shù)學(xué)物理方程，一般是二階偏微分方程。事實(shí)上，所有靜電場問題都是泊松方程或拉普拉斯在不同邊界條件下的具體

3、解答。,已知，電位 ? 與電場強(qiáng)度 E 的關(guān)系為,對上式兩邊取散度，得,對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場強(qiáng)度 E 的散度為,數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場的場量與時間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位，

4、或者在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程就是靜電場的邊值問題。,3.1.2 靜態(tài)場的邊值問題的分類及唯一性定理,1.靜電場邊值問題分類,第一類邊值問題（或狄里赫利問題）,已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即,第三類邊值問題（或混合邊值問題）,已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,第二類邊值問題（或紐曼問題）,已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即,2.靜電場邊值問題的唯一性

5、定理,對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。,解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會發(fā)生很大的變化。,解的存在性是指在給定的定解條件下，方程是否有解。,泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。,由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。,解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。,靜電場是客觀存

6、在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。,唯一性定理是靜電場邊值問題的一個重要定理，表述為：在場域V的邊界面S上，給定 或 的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V內(nèi)具有唯一解。,因此，對于導(dǎo)體邊界的靜電場問題，當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時，或?qū)w表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。,惟一性定理的重要意義,給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件,為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù),

7、為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù),例：,（第三類邊值問題）,例：,（第一類邊值問題）,惟一性定理的證明,反證法：假設(shè)解不惟一，則有兩個位函數(shù)和 在場域V內(nèi)滿足同樣的方程，即,且在邊界面S 上有,且在邊界面S 上滿足同樣的邊界條件。,令 ，則在場域V內(nèi),或,或,由格林第一恒等式,可得到,,,,對于第一類邊界條件：,,,對于第二類邊界條件：若 和 取同一點(diǎn)Q為參考點(diǎn) ，則,對于

8、第三類邊界條件：,,,,當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,3.1.3 鏡像法,幾個實(shí)例　接地導(dǎo)體板附近有一個點(diǎn)電荷，如圖所示。,1.問題的提出,接地導(dǎo)體球附近有一個點(diǎn)電荷，如圖。,非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代,接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電

9、 荷為線電荷。,結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點(diǎn)電荷 或線電荷的作用。,問題：這種等效電荷是否存在？ 這種等效是否合理？,2 鏡像法的原理,用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。,在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特

10、性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法,3. 鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理,像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小——“三要素” ；,4. 鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn),5. 確定鏡像電荷的兩條原則,等效求解的“有效場域”。,鏡像電荷的確定,像電荷必須位于所求解的

11、場區(qū)域以外的空間中；,像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場 區(qū)域 的邊界條件來確定。,鏡像法的局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。,（1）點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。,6. 鏡像法分類舉例,鏡像電荷,電位函數(shù),因z = 0時，,上半空間( z≥0 ）的電位函數(shù),,導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為,導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為,(2)線電荷對

12、無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,鏡像線電荷：,滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。,電位函數(shù),原問題,當(dāng)z=0時，,,（3）點(diǎn)電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點(diǎn)電荷q 位于(d1, d2 )處。,顯然，q1 對平面 2 以及q2 對平面 1 均不能滿足邊界條件。,對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1, d2 ),對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于( d1, －d2 ),

13、只有在(－d1, －d2 )處再設(shè)置一鏡像電荷q3 = q，所有邊界條件才能得到滿足。,電位函數(shù),對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于 ? 的整數(shù)(n)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入(2n-1)個鏡像電荷。例如，夾角為 的導(dǎo)電劈需引入 5 個鏡像電荷。,,連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。,（4）點(diǎn)電

14、荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像,球面上的感應(yīng)電荷可用鏡像電荷q'來等效。q'應(yīng)位于導(dǎo)體球內(nèi)（顯然不影響原方程），且在點(diǎn)電荷q與球心的連線上，距球心為d'。則有,如圖所示，點(diǎn)電荷q 位于半徑為a 的接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定d' 和q′。,問題：,令r＝a，由球面上電位為零，即? ＝0，得,,此式應(yīng)在整個球面上都成立。,,條件：若,,,O,可見，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也

15、與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,球外的電位函數(shù)為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,點(diǎn)電荷對接地空心導(dǎo)體球殼的鏡像,如圖所示接地空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑為a 、外半徑為b，點(diǎn)電荷q 位于球殼內(nèi)，與球心相距為d ( d < a )，求球內(nèi)電位。,由于球殼接地，感應(yīng)電荷分布在球殼的內(nèi)表面上。與鏡像電荷q 應(yīng)位于導(dǎo)體球殼外，且在點(diǎn)電荷q與球心的連線的延長線上。與點(diǎn)荷位于接地導(dǎo)體球外同樣的分析，可得到,| q'|>|

16、q|，可見鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量　像電荷的位置和電量與外半徑 b 無關(guān)（為什么？）,球殼內(nèi)的電位,感應(yīng)電荷分布在導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上，電荷面密度為,導(dǎo)體球面的內(nèi)表面上上的總感應(yīng)電荷為,可見，在這種情況下，鏡像電荷與感應(yīng)電荷的電荷量不相等。,（5）點(diǎn)電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像,先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則,導(dǎo)體球不接地時的特點(diǎn)：,導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面,球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布

17、也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng) 電荷為零,采用疊加原理來確定鏡像電荷,點(diǎn)電荷q 位于一個半徑為a 的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d 。,然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q' 可用一個位于球心的鏡像電荷q"來替代，即,球外任意點(diǎn)的電位為,,,,q,P,,,,,,,,,,a,q',r,R',R,d,,d',,,q&quo

18、t;,,,,,,,,,,,,,,,,,,問題：如圖 1 所示，一根電荷線密度為 的無限長線電荷位于半徑為a 的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。,特點(diǎn)：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。,分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。,(6) 線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像,由于上式對任意的都成立，因此，將上式對求導(dǎo)，可以得到,由于導(dǎo)體圓柱接地

19、，所以當(dāng) 時，電位應(yīng)為零，即,所以有,設(shè)鏡像電荷的線密度為 ，且距圓柱的軸線為 ，則由 和 共同產(chǎn)生的電位函數(shù),,導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：,由 時，,故,導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為,導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,,(7) 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,特點(diǎn)：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電

20、荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為 、且相距為2b 的兩根無限長帶電細(xì)線來等效替代，如圖 2所示。,問題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷 和 。,通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。,由,,,利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b 。,思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行

21、圓柱導(dǎo)體問題？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(8) 點(diǎn)電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像,特點(diǎn)：在點(diǎn)電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點(diǎn)的電場由點(diǎn)電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。,問題：如圖 1 所示，介電常數(shù)分別為 和 的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì) 1 中有一個點(diǎn)電荷q，距分界平面為h 。,分析方法：計算電介質(zhì) 1 中的電位

22、時，用位于介質(zhì) 2 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖2所示。,介質(zhì)1中的電位為,計算電介質(zhì) 2 中的電位時，用位于介質(zhì) 1 中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)，如圖 3 所示。介質(zhì)2中的電位為,可得到,說明：對位于無限大平表面介質(zhì)分界面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為,,利用電位滿足的邊界條件

23、,3-2 直角坐標(biāo)系中的分離變量法,無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中的展開式為,令,代入上式，兩邊再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得,顯然，式中各項(xiàng)僅與一個變量有關(guān)。因此，將上式對變量 x 求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零，求得第一項(xiàng)對 x 的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項(xiàng)等于常數(shù)。同理，再分別對變量 y 及 z 求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于常數(shù)。令各項(xiàng)的常數(shù)分別為 ，分別求得,

24、式中kx ，ky ，kz 稱為分離常數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。顯然，三個分離常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們必須滿足下列方程,由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量 x 的常微分方程的通解為,或者,式中A, B, C, D為待定常數(shù)。,分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng) kx 為虛數(shù)時，令 ，則上述通解變?yōu)?或者,

25、含變量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。,例 兩個相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為d ，其有限端被電位為?0的導(dǎo)電平面封閉，且與無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。,解 選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿 z 軸無限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與 z 無

26、關(guān)，因此，這是一個二維場的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)?應(yīng)用分離變量法，令,根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為,為了滿足 及 邊界條件，應(yīng)選 Y(y) 的解為,因?yàn)?y = 0 時，電位 ? = 0，因此上式中常數(shù) B = 0。為了滿足邊界條件 ，分離常數(shù) ky 應(yīng)為,求得,已知 ，求得,可見，分離常數(shù) kx 為虛數(shù)，故 X(x) 的解應(yīng)為,因?yàn)?x =

27、 0 時，?電位 ? ? ?，因此，式中常數(shù) C = 0，即,那么，,式中常數(shù) C = AD 。,由邊界條件獲知，當(dāng) x = 0 時，電位 ? = ?0 ，代入上式，得,上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即,為了滿足 x = 0， ? = ?0 邊界條件，由上式得,上式右端為傅里葉級數(shù)。利用傅里葉級數(shù)的正交性，可以求出系數(shù)Cn為,最后求得槽中電位分布